Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Thái Nguyên – 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS ĐÀM VĂN NHỈ Phản biện 1: PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN
Phản biện 2: TS NGUYỄN MINH KHOA

Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên

a > b ⇐⇒ a
2n+1
> a
2n+1
|a| > |b| ⇐⇒ a
2n
> a
2n
a  b ⇐⇒

a=b
a>b.
a > b, c > 0 ⇐⇒ ac > bc
c < 0 ⇐⇒ ac < bc.
a > b, b > c =⇒ a > c.
|a|  α ⇐⇒

α  0
−α  a  α.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a, b, c, x, y, z d = 0
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(a −b)
2
= a

= (a − b)(a + b).
a
3
− b
3
= (a − b)(a
2
+ ab + b
2
) a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
− ab + b
2
).
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
+ (ay − bx)
2

a, b, c, x, y, z d = 0
a
2
+ b
2
 2ab.
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)  (ax + by)
2
.
(a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
)  (ax + by + cz)

2
+ y
2
)  (ax + by)
2
.
a
x
=
b
y
.
(a
2
+b
2
+c
2
)(x
2
+y
2
+z
2
) = (ax+by+cz)
2
+(ay−bx)
2
+(bz−cy)
2

a+b < 0 |a+b| = −a−b  |a|+|b|. |a+b|  |a|+|b|.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
|a| = |a +b +(−b)|  |a +b|+|−b| = |a + b|+ |b| |a|−|b|  |a + b|.
|b| = |a + b + (−a)|  |a + b| + | − a| = |a + b| + |a|
|b| −|a|  |a + b|. ||a| −|b||  |a + b|  |a| + |b|.
a, b, c, x, y, z, u, v, t  0
a + b + c  3
3
√
abc.
3

(a + x)(b + y)(c + z) 
3
√
abc +
3
√
xyz.
3

(a + x + u)(b + y + v)(c + z + t) 
3
√
abc +
3
√
xyz +
3
√








a
a + x
+
b
b + y
+
c
c + z
 3
3

abc
(a + x)(b + y)(c + z)
x
a + x
+
y
b + y
+
z
c + z
 3
3

√
xyz+
3
√
uvt.
a, b, c  0.
1
1 + a
2
+
1
1 + b
2

2
1 + ab
ab  1.
1
1 + a
2
+
1
1 + b
2
+
1
1 + c
2

3

2
+
1
(1 + c)
2

3
1 + abc
a, b, c  1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
√
1 + a
2
+
1
√
1 + b
2

2

1 +

a + b
2

2
1
√

1
1 + a
2
+
1
1 + b
2

2
1 + ab
ab  1.
a, b, c  1











1
1 + a
2
+
1
1 + b
2

2
1 + abc
1
1 + a
2
+
1
1 + b
2
+
1
1 + c
2

3
1 + abc
.
(ab −1)
2
+ ab(a −b)
2
 0.
1
(1 + a)
2
+
1
(1 + b)
2


1
(1 + b)
2
+
1
(1 + c)
2

2
1 + bc

2
1 + abc
1
(1 + c)
2
+
1
(1 + a)
2

2
1 + ca

2
1 + abc
1
(1 + a)
2
+

2
)
−3/2
=
2x
2
− 1

(1 + x
2
)
5

0 x 
1
√
2
y
1
√
1 + a
2
+
1
√
1 + b
2

2


a, b, c 
1
√
2
.
ab > 1 a = 2, b = 1
ab = 2 > 1
1
(1 + a)
2
+
1
(1 + b)
2
=
1
9
+
1
4
<
2
3
=
2
1 + ab
; a =
9, b = 1 ab = 9 > 1
1
(1 + a)

.
a + b + c  3
3
√
abc
1
a
+
1
b
+
1
c

3
3
√
abc
1
a
+
1
b
+
1
c

9
a + b + c
.

+ c
2
+ 2(
√
a +
√
b +
√
c)  9.
a
2
+
√
a +
√
a  3a, b
2
+
√
b +
√
b  3b, c
2
+
√
c +
√
c  3c
a
2


a
(b + c)
2
+
b
(c + a)
2
+
c
(a + b)
2



a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b

2
.
a
b + c
+
b

+
b
2
b + 2c
2
+
c
2
c + 2a
2
 1.
[a
2
(a + 2b
2
) + b
2
(b + 2c
2
) + c
2
(c + 2a
2
)]T  (a
2
+ b
2
+ c
2
)

.
(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
 a
3
+ b
3
+ c
3
+ 2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
a
4

2
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)  (a + b + c)
2
= 9 a
3
+ b
3
+ c
3
 a
2
+ b
2
+ c
2
.
(a
4
+ b
4
+ c
4
)(a
2

2
+ 1
2
+

b
2
+ 1
2
+

c
2
+ 1
2
+

d
2
+ 1
2
.
(a + b)(a + c)(a + d) = (a
2
+ 1)(a + b + c + d).
a
2
+ 1
a + b
=

a + b + c+ d

a
2
+ 1
a + b
+
b
2
+ 1
b + c
+
c
2
+ 1
c + d
+
d
2
+ 1
d + a



√
a
2
+ 1 +
√
b

+

d
2
+ 1
2
.
a, b, c, d > 0, abcd = 1,
(a + b + c + d)
6
 2
8
(a
2
+ 1)(b
2
+ 1)(c
2
+ 1)(d
2
+ 1).
a = x
2
, b = y
2
, c = z
2
, d = t
2
x, y, z, t > 0, xyxt = 1.

6

2
8
(x
3
+ yzt)(y
3
+ xzt)(z
3
+ xyt)(t
3
+ xyz).
4(x
3
+yzt)(y
3
+xzt)  (x
3
+y
3
+xzt+yzt)
2
= (x+y)
2
(x
2
−xy+y
2
+zt)

2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
)
2
(x + y)(z + t) = xz + yt + xt + yz  x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
a, b, c > 0, abc = 1,

a + b
a + 1
+

b + c
b + 1
+

c + a
c + 1
 3.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2[ab(a + b)+ bc(b +c) +ca(c + a)]  5(a + b + c) −(ab + bc + ca).
b
2
a + b
2
a + a
2
b + a
2
b + c  5ab
b
2
c + b
2
c + c
2
b + c
2
b + a  5bc
a
2
c + a
2
c + c
2
a + c
2
a + b  5ca
2[ab(a + b)+ bc(b +c) +ca(c + a)]  5(ab + bc + ca) −(a + b + c).

a
c
+
a
a + b
+
b
b + c
+
c
c + a

9
2
c + b
b
+
b + a
a
+
a + c
c
+
a
a + b
+
b
b + c
+
c

4b
+
b
b + c
+
c + a
4c
+
c
c + a
 3.
3
4

a + b
a
+
b + c
b
+
c + a
c

=
3
4

3 +
b
a

 b
2
, a
2
−ac+c
2
 (a+c)
2
, a
2
−ab+b
2
 (a+c)
2
−(a+c)b+b
2
.
M = b
2
(a+c)
2
((a+c)
2
−(a+c)b+b
2
)  12.
x =
a −b + c
2
 0, s =

2
+ 3x
2
) 

4
3
s
2

3
=
27
9
4
M  27 M  12.
c = 0, s
2
= 9x
2
a = 2, b = 1, c = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) = ax
2
+bx+c, a = 0.
x
1
, x
2
f(x) = 0.

2
− 4ac.
f(x) > 0 x

a > 0
∆ < 0.
f(x)  0 x

a > 0
∆  0.
f(x) < 0 x

a < 0
∆ < 0.
f(x)  0 x

a < 0
∆  0.
f(x) = 0 x
1
, x
2
x
1
< α < x
2
af(α) < 0.
(a
n
)


a
n+1
− 6a
n

2
= 35a
2
n
+ 2010
a
2
n+1
− 12a
n
a
n+1
+ a
2
n
− 2010 = 0 n  0. n + 1 n
a
2
n−1
−12a
n
a
n−1
+ a

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a
1
, a
2
, a
3
, b
1
, b
2
, b
3
a
2
1
− a
2
2
− a
2
3
> 0.

a
2
1
− a
2
2

.
f(x) =

a
2
1
−a
2
2
−a
2
3

x
2
−2

a
1
b
1
−a
2
b
2
−a
3
b
3


.
a
1
= 0 f

b
1
a
1

 0. f(x) = 0 ∆

 0.
x, y, z ABC
x
2
+ y
2
+ z
2
 2xy cos C + 2yz cos A + 2zx cos B.
1
3
cos A +
1
4
cos B +
1
5
cos C 

5
cos C 
5
12
.
a, b, c > 0.





x + y + z = a + b + c
4xyz = abc + a
2
x + b
2
y + c
2
z
x, y, z > 0.
1 =
abc
4xyz
+
a
2
4yz
+
b
2

0 < cos A, cos B, cos C < 1.
a + b + c = x + y + z x + y + z = 2
√
yz cos A + 2
√
zx cos B +
2
√
xy cos C  x + y + z
√
x
sin A
=
√
y
sin B
=
√
z
sin C
x
sin
2
A
=
y
sin
2
B
=

0
a  −4.
x
0
x
2
+ 2(a −b−3)x +
a −b − 13 = 0. x
0
a  2, b  1.











y + 2 = (3 −x)
2
(2z − y)(y + 2) = 9 + 4y
x
2
+ z
2
= 4x
z  0.

4x −x
2
sin
2
x + y
2
+ 2 cos(x + y)

= 13 + 4 cos
2
(x + y).
(x; y)
3 + 2 cos(x − y)
2
=

3 + 2x − x
2
cos
2
x −y
2
+
sin
2
(x −y)
2
.
a
(x; y)

3
<
1
4
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n = 2, n = 3, n > 3
T =
1
2
3
+
1
3
3
+
1
4
3
+ ···+
1
n
3
<
1
8
+
1
27
+

+ ···+
1
n −1
−
1
n

<
1
8
+
1
24
+
1
12
.
T <
1
4
.
(a
n
) a
0
= 1, a
1
= 3, a
2
= 6, a

<
1
3
+
1
n
.
a
1
= 3 = a
0
+2, a
2
= 6 = a
1
+3, a
3
= 10 = a
2
+4, a
4
= 15 =
a
3
+ 5, a
5
= 21 = a
4
+ 6 a
n


1 −
1
k + 1

1 +
1
k + 2

T =

1 −
1
2

1 +
1
3

1 −
1
3

1 +
1
4

. . .

1 −

(n + 1)
2

1 +
1
n + 2

=
1
2

3
2
− 1
3
2

4
2
− 1
4
2

5
2
− 1
5
2

. . .

2
(n + 1)
2
(n + 2)
=
n + 3
3(n + 1)
<
n + 3
3n
=
1
3
+
1
n
.
a
n
=
(n + 1)(n + 2)
2
T <
1
3
+
1
n
.
0 < d  c  b  a a + b + c + d  1.

2
+ 3b
2
+ 5c
2
+ 7d
2
.
a, b, c  0 a + b + c = abc
a
2
+ b
2
+ c
2
+
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
 10.
abc = a + b + c  3
3

2
+
1
3

(abc)
2

, T  3

t +
1
t

t  3.
T  3

t +
1
t

 10 (t − 3)(3t −1)  0 :
a, b, c a
2
+ b
2
+ c
2
= 1.
T = abc + 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca)  0.

2 + c + a
.
2+a
2
+b
2
= 1+a
2
+1+b
2
 2(a+b)
a + b
2 + a
2
+ b
2

1
2
.
b + c
2 + b
2
+ c
2

1
2
,
c + a














1 +
y + z
x + y
+
z + x
x + y

12
x + y
1 +
z + x
y + z
+
x + y
y + z

12

z + x
x + y
+
x + y
z + x
+
x + z
y + z
+
y + z
x + z
 9.
2
2 + a + b
+
2
2 + b + c
+
2
2 + c + a
=
2
x + y
+
2
y + z
+
2
z + x


3 + 3abc  ab + a + bc + b + ca + c.

3 + 3abc

1
ab + a
+
1
bc + b
+
1
ca + c



ab + a + bc + b + ca + c

1
a(b + 1)
+
1
b(c + 1)
+
1
c(a + 1)

 9
1
a(b + 1)
+



ab + a + 1 + bc + b + 1 + ca + c + 1


1
ab + a + 1
+
1
bc + b + 1
+
1
ca + c + 1

 9
1
ab + a + 1
+
1
bc + b + 1
+
1
ca + c + 1

3
2 + abc
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A, B, C x, y, z
AB + BC  AC.

+ bc + c
2
+

c
2
+ ca + a
2

√
3.
a =

a +
b
2
;
√
3b
2

,

b =

b +
c
2
;
√

√
a
2
+ ab + b
2
+
√
b
2
+ bc + c
2
+
√
c
2
+ ca + a
2

√
3.
a, b, c 0  c  a, 0  c  b.

c(a −c) +

c(b −c) 
√
ab.
c = 0. c > 0,
OAB OAC O OC =
√

2006
+ d
2006
 2 + a
2006
b + b
2006
c + c
2006
d + d
2006
a.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ABCD M, N, P
Q AB, BC, CD DA AQ = a, BM = b, CN = c
DP = d.
1
2
a(1 −b) +
1
2
b(1 −c) +
1
2
c(1 −d) +
1
2
d(1 −a)
= S
MAQ

2006
c + c
2006
d + d
2006
a.
x
2
+ y
2
= r
2
, r > 0,





x = r cos α
y = r sin α
α ∈ [0; 2π].
x
2
a
2
+
y
2
b
2



x = r cos α
y = r sin α
α ∈ [0; 2π]
0  r  1.
|x|  r x = r cos α α ∈ [0; π] x = r sin α α ∈
[−
π
2
;
π
2
].
a b a
2
+ b
2
= 2
2(a
3
− b
3
) −3(a − b)  2.
a =
√
2 cos u, b =
√
2 sin u. 2(a
3

a, b, c.
T =

1 + ab
a −b

2
+

1 + bc
b −c

2
+

1 + ca
c −a

2
 1.
a = tan α, b = tan β, c = tan γ, α, β, γ ∈ [−
π
2
;
π
2
].
M = cot
2
(α − β) + cot

a −b
a + b
+
c −d
c + d
+
ad + bc
ac −bd




.
a = 0 M =




−1 +
c −d
c + d
−
c
d




=


−x +
x −2
x




=
x
2
+ 2 − x
|x|

2
√
2|x| −|x|
|x|
= 2
√
2−1 >
√
3.
c = 0, M >
√
3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a, c = 0,
b
a
= tan α

c + d
=
1 −
d
c
1 +
d
c
=
tan
π
4
− tan β
1 + tan
π
4
tan β
= tan

π
4
− β

z =
ad + bc
ac + bd
=
d
c
+

3.
a, b, c
(ab + bc + ca − 1)
2
 (a
2
+ 1)(b
2
+ 1)(c
2
+ 1).
a = tan u, b = tan v, c = tan w u, v, w ∈

−
π
2
,
π
2

.
(a
2
+ 1)(b
2
+ 1)(c
2
+ 1) =
1
cos

)
+
|b −c|

(1 + b
2
)(1 + c
2
)

|a −c|

(1 + a
2
)(1 + c
2
)
.
a = tan u, b = tan v, c = tan w.
|sin(u − v)| + |sin(v − w)|  |sin(u − w)|. |sin(x + y)| =
|sin x cos y + sin y cos x|  |sin x| + |sin y| |sin(u −w)| =
|sin(u −v + v −w)|  |sin(u − v)| + |sin(v − w)|.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a
0
= 1, a
1
, . . . , a
n
, a

√
b
2
+ 1
+
|b −c|
√
b
2
+ 1
√
c
2
+ 1

|c −a|
√
c
2
+ 1
√
a
2
+ 1
|sin(x − y)| + |sin(y − z)|  |sin(x − z)|. |sin(u + v)| =
|sin u cos v + sin v cos u|  |sin u| + |sin v|
|sin(x −z)| = |sin(x −y + y −z)|  |sin(x − y)|+ |sin(y −z)|.
|a
1
− a

1
− a
3
|

a
2
1
+ 1

a
2
3
+ 1
.
n
n

i=0
|a
i
− a
i+1
|

a
2
i
+ 1


>
2n
3(n + 2)
.
n a
0
= 0, a
i
> 0 i =
1, 2, . . . , n
n

i=1
a
i
= 1.
1 
n

i=1
a
i
√
1 + a
0
+ ···+ a
i−1
√
a
i


i=1
a
i
√
1 + a
0
+ ···+ a
i−1
√
a
i
+ ···+ a
n

n

i=1
a
i
1
= 1. u
i
=
arcsin(a
0
+ ···+ a
i−1
+ a
i

i−1
)
2
=

1 + a
0
+ ···+ a
i−1
√
a
i
+ ···+ a
n
, i = 1, . . . , n.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên