ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN HÀ CHI
MỘT VÀI MỞ RỘNG VÉCTƠ
CỦA NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Chương 1. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 2. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND VÉCTƠ . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 3. NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELANDVÉCTƠ DỰA TRÊN SỰ TỒN
TẠI ĐIỂM CỰC TIỂU CỦA MỘT TẬP TRONG KHÔNG GIAN
TÍCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.Quan hệ thứ tự trong không gian tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.Sự tồn tại điểm cực tiểu của một tập trong không gian tích. . . . . . . . . . 27
3.3.Mở rộng Định lý 2.2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.Ứng dụng: Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị . 40
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

thiệu trong bài báo [12] . Qua cách tiếp cận mới này, ta có được các kết
quả đã trình bày ở chương 2.
Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn PGS.TS Trương Xuân Đức Hà,
người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả xin được bầy tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô của Trường Đại học Sư
phạm Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm I - Hà Nội, Viện Toán học Hà Nội
đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học.
Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trung tâm Giáo dục thường xuyên
và Đào tạo cán bộ tỉnh Quảng Ninh, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ tác giả rất
nhiều trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chương 1
NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND
CỔ ĐIỂN
Trong chương này, chúng tôi trình bày lại nguyên lý biến phân được
I.Ekeland đề xuất năm 1974 trong bài báo [6] .
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức cổ điển về hàm nửa liên tục dưới và
một số tính chất của nó.
Cho X là một không gian tôpô và hàm số f : X → R∪{ + ∞} . Kí hiệu miền
hữu hiệu và trên đồ thị của hàm f như sau:
dom f :=
{
x ∈ X
|
f (x) < +∞
}
.

Nhận xét 1.1.2. Hàm f là nửa liên tục dưới tại x
0
khi và chỉ khi ∀ε > 0 tồn tại
một lân cận U của x
0
sao cho ∀x ∈ U ta có f (x)  f (x
0
) −ε.
Sau đây là một ví dụ minh họa cho tính nửa liên tục dưới của hàm số.
Ví dụ 1.1.3. Cho hàm số f : R → R xác định bởi
f (x) =



x
2
,x = 0
−1,x = 0
Khi đó f là hàm nửa liên tục dưới trên R.
Ta có một số tính chất của hàm nửa liên tục dưới như sau:
Mệnh đề 1.1.4. Cho X là một không gian tôpô và hàm f : X → R ∪ { + ∞} .
Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X.
(ii) Trên đồ thị của f là tập đóng trong X ×R.
(iii) ∀a ∈ R thì tập mức L
a
f là tập đóng trong X.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Giả sử f là hàm nửa liên tục dưới trên X. Ta lấy dãy
{(x
n

n
)  f (x
0
). Ta lại có
{ (x
n
,a
n
)} ⊂ epi f nên f (x
n
)  a
n
(∀n ∈ N), do đó lim
n→∞
inf(x
n
)  lim
n→∞
a
n
. Vậy
f (x
0
)  lim
n→∞
inf f (x
n
)  lim
n→∞
a

n
,a) ∈ epi f . Do lim
n→∞
x
n
= x
0
nên
lim
n→∞
(x
n
,a) = (x
0
,a). Ta lại có epi f là tập đóng kéo theo (x
0
,a) ∈ epi f . Vậy
f (x
0
)  a. Suy ra x
0
∈ L
a
f , hay L
a
f là tập đóng.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
(iii)⇒ (i) Giả sử L
a

. Dễ
thấy rằng x
n
∈ L,∀n > k . Do L là tập đóng theo giả thiết nên x
0
∈ L . Tức là,
f (x
0
)  f (x
0
) −ε(vô lý). Vậy f là hàm nửa liên tục dưới trên X
Mệnh đề 1.1.5. [1] Cho hàm f : X → R∪{ + ∞} là hàm nửa liên tục dưới trên
tập compact X. Khi đó f đạt cực tiểu trên X.
Chứng minh. Đặt α = inf{ f (x)
|
x ∈ X} . Khi đó có một dãy { x
n
} ⊂ X sao cho
lim
n→∞
f (x
n
) = α. Do X compact, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử { x
n
}
hội tụ tới x
0
∈ X. Vì f nửa liên tục dưới nên α = lim
x
n

→ +∞.
Chứng minh. Lấy a ∈ X. Ta có tập mức D = { x ∈ X
|
f (x)  f (a)} là đóng
theo Mệnh đề 1.1.4. Giả sử D không bị chặn thì có một dãy
{
x
n
}
⊂ X, với
f (x
n
)  f (a) và

x
n

→ +∞. Do f bức trên X nên f (x
n
) → +∞, mâu thuẫn với
f (x
n
)  f (a). Vậy D compact (vì một tập đóng, giới nội trong không gian hữu
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
hạn chiều là một tập compact). Theo Mệnh đề 1.1.5, f có cực tiểu trên D, cực
tiểu này cũng là cực tiểu trên X.
Khi X không compact, hoặc f không thỏa mãn điều kiện bức thì hàm f có
thể không đạt cực tiểu. Ta có các ví dụ sau:
Ví dụ 1.1.7. Xét hàm f : X = R\{ 0} → R với f (x) =

∗
,x
ε
)  λ;
(iii) f (x
∗
) < f (x) +
ε
λ
d(x,x
∗
),∀x = x
∗
.
Chú ý 1.2.2. Điểm x
ε
trong định lý trên được gọi là ε− xấp xỉ cực tiểu của hàm
f (x) trên X.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Để chứng minh định lý 1.2.1 ta xét một quan hệ thứ tự "" trong không
gian tích X × R như sau: Cho α > 0,
(x
1
,y
1
)  (x
2
,y
2

,y
1
) 
y
1
− y
2
α
và d(x
2
,x
1
) 
y
2
− y
1
α
. (1.2.2)
Do đó, 2d(x
1
,x
2
)  0 . Suy ra x
1
= x
2
.
Từ (1.2.2) ta có y
1

3
,y
3
). Từ (1.2.1) ta có
d(x
1
,y
1
) 
y
1
− y
2
α
và d(x
2
,x
3
) 
y
2
− y
3
α
.
Vậy d(x
1
,x
2
) + d(x

3
α
. Suy ra (x
1
,y
1
)  (x
3
,y
3
) , tức là quan hệ "" có tính chất
bắc cầu.
Ta xét bổ đề sau sẽ được dùng trong chứng minh định lý 1.2.1 :
Bổ đề 1.2.3. Cho S là một tập con đóng của X ×R sao cho
∃m ∈ R : (x,y) ∈ S ⇒ y  m.
Khi đó, với mỗi (x
1
,y
1
) ∈ S, tồn tại phần tử (x,y) ∈ S sao cho (x
1
,y
1
)  (x,y) và
(x,y) là phần tử cực đại trong S theo quan hệ thứ tự "" , tức là, nếu (x,y) ∈ S
và (x,y)  (x,y) thì (x,y) = (x,y).
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Bắt đầu từ (x
1

(x
1
,y
1
)  (x,y)}
là tập đóng. Thật vậy, giả sử dãy (x
n
,y
n
) ⊂ X×R thỏa mãn (x
1
,y
1
)  (x
n
,y
n
),n =
1,2,3 và x
n
→ x,y
n
→ y. Theo (1.2.1) ta có
d(x
1
,x
n
) 
y
1

. Chọn (x
n+1
,y
n+1
) ∈ S
n
sao cho:
y
n+1
− m
n

1
2
(y
n
− m
n
). (1.2.5)
Ta có { S
n
} là dãy các tập đóng lồng nhau: S
n+1
⊂ S
n
,∀n ∈ N. Thật vậy, nếu
(x,y) ∈ S
n+1
thì (x
n

n
+
1
2
m
n
− m
n
=
1
2
(y
n
− m
n
).
Vì y
n+1
− m
n+1
 0, nên ta có
|
y
n+1
− m
n+1
|
  2
−n
|

|
y
1
− m
|
.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Vì (x
n+1
,y
n+1
)  (x,y) nên d(x
n+1
,x) 
y
n+1
−y
α
. Do đó,
d(x
n+1
,x
n
) 
y
n+1
− y
α


n
,y
n
)  (x,y). Vậy (x,y) ∈ S
n
,∀n. Suy ra (x,y) = (x,y) .
Bây giờ ta sẽ chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland trong định lý 1.2.1
Chứng minh. Đặt
S = epi f = { (x,y) ∈ X × R
|
f (x)  y } .
Do f là hàm nửa liên tục dưới nên theo Mệnh đề 1.1.4 ta có S là tập con
đóng của X × R. Ta có (x
ε
, f (x
ε
)) ∈ S. Đặt (x
1
,y
1
) = (x
ε
, f (x
ε
)), α =
ε
λ
. Theo
Bổ đề 1.2.3, tồn tại (x
∗

∗
,x
∗
)  0. Vậy,
(x
∗
,y
∗
)  (x
∗
, f (x
∗
)).
Do (x
∗
,y
∗
) là phần tử cực đại nên f (x
∗
) = y
∗
.
Từ (1.2.6) ta có
f (x
∗
) − f (x
ε
) +
ε
λ

)  0.
Suy ra d(x
∗
,x
ε
)  λ, hay (ii) nghiệm đúng.
Do (x
∗
,y
∗
) là phần tử cực đại nên với mọi x ∈ X,x = x
∗
mà f (x) = +∞
nên quan hệ (x
∗
, f (x
∗
))  (x, f (x)) không xảy ra, nghĩa là, f (x) − f (x
∗
) +
ε
λ
d(x
∗
,x) > 0 hay f (x
∗
) < f (x) +
ε
λ
d(x

ε
λ

x − x
∗

,∀x = x
∗
.
Chứng minh. Đặt g(x) = f (x) +
ε
λ

x − x
ε

.
Dễ thấy, g(x) là hàm nửa liên tục dưới và bức trên X. Theo Mệnh đề 1.1.6, g
có một điểm cực tiểu x
∗
trên X, tức là có một x
∗
sao cho
f (x
∗
) +
ε
λ

x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Từ đó f (x
∗
)  f (x
ε
). Vậy (i) được chứng minh.
Đồng thời theo định nghĩa của x
ε
, ta có
inf
x∈X
f (x)+
ε
λ

x
∗
− x
ε

 f (x
∗
) +
ε
λ

x
∗
− x
ε

}
 f (x) +
ε
λ

x − x
∗

,∀x = x
∗
.
Vậy (iii) được chứng minh.
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chương 2
NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND
VÉCTƠ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một vài mở rộng của nguyên lý biến
phân cho lớp các ánh xạ đơn trị hoặc đa tr ị nhận giá tr ị trong không gian véctơ
theo các bài báo [3],[10].
2.1. Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị
Cho Y là không gian véctơ tôpô, tập K ⊂ Y được gọi là nón nếu ∀k ∈ K,∀λ 
0 ta có λ k ∈ K.
Nón K được gọi là nón lồi nếu K là tập lồi. Ta có thể chứng minh rằng nếu
K là nón lồi thì ∀k
1
,k
2
∈ K,∀λ , µ  0, ta có λk
1

> 0,∀i = 1, ,n} ∪ { 0}
là nón lồi, đóng, nhọn.
b) Trong C[a, b]: không gian các hàm số f : [a,b] → R liên tục trên [a,b], các
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
tập
K
3
= { f ∈ C[a,b]
|
f (t)  0,∀t ∈ [a,b]}
K
4
= { f ∈ C[a,b]
|
f (t) > 0,∀t ∈ [a,b]} ∪{ 0}
là nón lồi, đóng, nhọn.
Cho một nón nhọn K ⊂ Y , ta xác định một quan hệ thứ tự 
K
trong Y
như sau:
x
K
y ⇔ y − x ∈ K.
Hiển nhiên x
K
x vì 0 ∈ K, nên quan hệ 
K
có tính phản xạ.
Giả sử x

K
1
y ⇔ x
i
 y
i
,∀i = 1,n
b) Xét hình nón K
3
trong ví dụ trên, cho f ,g ∈ C
[a,b]
. Ta có
f 
K
3
g ⇔ f (x)  g(x),∀x ∈ [a,b]
Với lớp các ánh xạ đơn tr ị nhận giá trị trong không gian véctơ, nguyên lý
Ekeland được mở rộng như sau theo bài báo [3] của Y.Araya.
Định lý 2.1.3. [3] Cho (X,d) là một không gian mêtric đầy đủ, Y là không
gian Banach và K ⊂ Y là một nón nhọn, lồi, đóng, có phần trong khác rỗng,
k
0
∈ int K và cho f : X → Y . Giả sử rằng với ε > 0, tồn tại một điểm x
0
∈ X sao
cho f (X) ∩ ( f (x
0
) − εk
0
− int K) = /0 và f thỏa mãn điều kiện

f (x),∀x = x.
Chúng ta sẽ chứng minh định lý bằng cách vô hướng hóa. Để chứng minh
định lý ta sẽ sử dụng các tính chất sau của hàm vô hướng hóa
Bổ đề 2.1.4. [3] Cho Y là một không gian Banach, K là một nón lồi đóng. Ta
lấy k
0
∈ K\{ − K} và xác định h
K,k
0
: Y → [ − ∞,+∞] bởi h
K,k
0
(y) = inf{t ∈
R


y ∈ tk
0
− K} . Khi đó hàm h
K,k
0
có các tính chất sau:
(i) h
K,k
0
có ít nhất một giá trị hữu hạn (proper).
(ii) h
K,k
0
là hàm nửa liên tục dưới.

(y)  t} = tk
0
− K.
(vi) h
K,k
0
(y + λk
0
) = h
K,k
0
(y) + λ,∀y ∈ Y,λ ∈ R.
Hơn nữa, nếu k
0
∈ intK thì h
K,k
0
có thêm các tính chất sau:
(vii) h
K,k
0
nhận giá trị hữu hạn.
(viii) h
K,k
0
là hàm liên tục.
(ix) { y ∈ Y


h

là hàm nhận giá trị hữu hạn liên tục
sao cho
h
K.k
0
(−y) < 0  h
K,k
0
(x),∀x ∈ A,y ∈ intK.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. (Định lý 2.1.3)
Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng ε = 1.
Trước hết ta thấy rằng ∀x ∈ X,h
K,k
0
◦ f là bị chặn dưới trên X. Theo Bổ đề
2.1.5 ta có
h
K,k
0
(−y) < 0  h
K,k
0
( f (x) − f (x
0
) + k
0
),∀x ∈ X,y ∈ intK.
Sử dụng (iii) và (vi) của Bổ đề 2.1.4, ta có

lấy y ∈ F(x) và giả sử rằng z ∈ F(y). Khi đó, ta có f (z) + d(y,z)k
0

K
f (y) và
f (y)+ d(x,y)k
0

K
f (x).
Do tính tương ứng của quan hệ thứ tự 
K
với cấu trúc véctơ, từ bất đẳng thức
tam giác của mêtríc và k
0
∈ K ta có
f (z)+ d(x,z)k
0

K
f (x);
do đó, z ∈ F(x) .
Tiếp theo, sử dụng (iv) và (vi) của Bổ đề 2.1.4, ta có y ∈ F(x) kéo theo
h
K,k
0
( f (y)) +d(x , y)  h
K,k
0
( f (x)).

) sao cho
h
K,k
0
( f (x
n+1
))  inf
z∈F(x
n
)
h
K,k
0
( f (z)).
Từ F(x
n+1
) ⊂ F(x
n
), ta có
inf
z∈F(x
n
)
h
K,k
0
( f (z))  inf
z∈F(x
n+1
)

n+1
))  2.2
−n
.
Từ công thức (2.1.1) ta có đường kính của các tập đóng F(x
n
) hội tụ tới 0.
Theo nguyên lý Cantor, ta có
∞

n=0
F(x
n
) = { x} .
Do x ∈ F(x
0
), ta có
f (x)+ d(x, x
0
)k
0

K
f (x
0
). (2.1.2)
Do đó, f (x
0
) − f (x) ∈ K + d(x, x
0

Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy, (ii) đúng.
Nhận xét 2.1.6. Trong định lý trên ta lấy Y = R,K = R
+
= [0,∞),k
0
= 1 ∈
R
+
\{ 0} ta được định lý 1.2.1.
2.2. Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đa trị
Đã có rất nhiều tác giả mở rộng nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đa
trị F với giá trị trong không gian véctơ. Trong mục này, chúng tôi trình bày một
dạng của nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho trường hợp F là ánh xạ đa trị
K−nửa liên tục dưới theo bài báo [10].
Cho X là một không gian mêtric đầy đủ, Y là một không gian véctơ tôpô,
K ⊂ Y là một nón lồi, nhọn, đóng.
Định nghĩa 2.2.1. Ta định nghĩa một quan hệ thứ tự 
K
trên tập 2
Y
như sau
A
K
B ⇔ B ⊂ A + K.
Hiển nhiên quan hệ này có tính phản xạ.
Giả sử A
K
B và B
K
C ta có: B ⊂ A + K và C ⊂ B + K. Suy ra C ⊂ A + K,

F(x) = /0
}
là miền hữu hiệu của F.
F(X) :=

x∈X
F(x).
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Định nghĩa 2.2.2. Ta nói F là K− nửa liên tục dưới trên X nếu ∀a ∈ Y, tập
{ x ∈ X
|
F(x) ∩ (a − K) = /0} là tập đóng.
Nhận xét 2.2.3. Từ đẳng thức
{
x ∈ X
|
A ⊆ F(x) +K
}
=

a∈A
{
x ∈ X
|
F(x) ∩ (a −K) = /0
}
ta có F là K− nửa liên tục dưới khi và chỉ khi ∀A ⊆ X , tập
{
x ∈ X



0  u 
1
1 − 2
x

,x < 0
{
(2,u)
|
−1  u < 3
}
,x = 0
{
(x + 3,u)
|
−2  u  2
}
,x > 0
là K− nửa liên tục dưới .
Định nghĩa 2.2.5. Ta nói một tập A ⊂ Y là K− bị chặn nếu tồn tại một tập bị
chặn, khác rỗng M ⊂ Y sao cho A ⊆ M + K; ta nói A là K− đóng nếu A + K là
đóng.
Ký hiệu K
+
:=
{
ϕ ∈ Y
∗

0
 F(u),∀x. (2.2.1)
Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng không tồn tại u thỏa mãn (2.2.1). Ta có thể
xây dựng một dãy { x
j
}
∞
1
bằng quy nạp thỏa mãn
F(x
j
)
K
F(x
1
) − ( j − 1)εk
0
. (2.2.2)
Lấy x
1
∈ X là một véctơ tùy ý. Trường hợp j = 1 thì (2.2.2) hiển nhiên đúng.
Giả sử rằng x
1
, ,x
i
đã được sao cho (2.2.2) đúng với j = 1, ,i. Ta cần tìm
x
i+1
∈ X sao cho
F(x

Từ (2.2.2) và (2.2.3) ta có
F(x
1
) − ( j − 1)εk
0
⊆ M + K,∀ j.
Lấy ϕ ∈ K
+
, ta có
ϕ (F(x
1
) − ( j − 1)εk
0
) → −∞.
Điều này mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.6. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cho X là một không gian mêtric đầy đủ. Nguyên lý biến phân Ekeland được
mở rộng cho ánh xạ đa trị K− nửa liên tuc dưới như sau:
Định lý 2.2.8. [10] Giả sử rằng F là K− nửa liên tục dưới, có giá trị K− đóng,
và F(X) là K− bị chặn. Cho ε > 0 và u ∈ X sao cho F(x) + εk
0

K
F(u),x ∈ X.
Khi đó, ∀λ > 0,∃v ∈ X sao cho
(i) d(u,v)  λ;
(ii) F(v) +
ε
λ
d(u,v)k
0

∈ Γ(x
n
),∀n.
Khi đó, Γ có một điểm bất động x ∈ X thỏa mãn Γ(x) = { x} .
Bổ đề 2.2.10. Nếu F là K− nửa liên tục dưới, có giá trị K− đóng, thì ∀a ∈
X,∀k ∈ K\{ 0}, tập W = { x ∈ X
|
F(x) + d(x,a)k
K
F(a)} đóng.
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Lấy
{
x
α
}
α∈I
là một dãy hội tụ tới x sao cho x
α
∈ W,∀α ∈ I. Ta
chứng minh x ∈ W. Cố định một số nguyên i và lấy α(i) ∈ I sao cho
d(x
α
,a)  d(x,a) −
1
i
với α > α(i).
Do x
α

K
F(a) +
k
i
,∀i.
Nếu z ∈ F(a), thì
z +
k
i
∈ F(x) +d(x, a)k + K,∀i.
Do có giá trị K− đóng, tập F(x)+d(x,a)k +K là đóng và z ∈ F(x)+d(x,a)k +
K .
Ta có
F(x) + d(x,a)k
K
F(a),
nghĩa là, x ∈ W.
Bây giờ chúng ta sẽ quay lại chứng minh định lý 2.2.8
Chứng minh. Đặt
U =

x ∈ X



F(x) +
ε
λ
d(x,u)k
0



F(y) +
ε
λ
d(y,u)k
0

K
F(u)

và U là đóng. Do đó, giao của chúng là tập Γ(x) là đóng.
Nếu y ∈ Γ(x) và z ∈ Γ(y) thì theo định nghĩa của Γ ta có
F(y) +
ε
λ
d(x,y)k
0

K
F(x)
và
F(z) +
ε
λ
d(y,z)k
0

K
F(y)

hay z ∈ Γ(x).
Tiếp theo, ta lấy
{
x
}
∞
1
là một dãy sao cho x
n+1
∈ Γ(x),∀n. Khi đó, ta có
lim
n→∞
d(x
n
,x
n+1
) = 0
Thật vậy, trước hết ta chứng minh bằng quy nạp rằng
F(x
n+1
) +
ε
λ
n
∑
j =1
d(x
j +1
,x
j

1
).
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

Trích đoạn Ứng dụng: Nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị

---