Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THƯƠNG HOÀI
MỘT VÀI VẤN ĐỀ
VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN - 2010

THÁI NGUYÊN - 2010
x
2
+ y
2
= z
2
x
4
+ y
4
= z
2
x
4
+ y
4
= z
4
Q(ρ)
x
3
+ y
3
= z
3
x
3
+ y
3

= z
2
; x
4
+ y
4
= z
2
; x
3
+ y
3
= z
3
; x
3
+ y
3
= 3z
3
; x
3
+ y
3
+ z
3
= t
3
Q(ρ)
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

0
; y
0
)
t ∈ Z
x
n
+ y
n
= z
n
n = 2 x
2
+y
2
= z
2
(x; y; z)
(3; 4; 5), (5; 12; 13), (8; 15; 17), (7; 24; 25), (20; 21; 29)
n > 2
(x; y; z)
x
2
−ny
2
= ±1
4
n
=
1

n ≤ 100
100000
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
n
+y
n
= z
n
n > 3
61x
2
+1 = y
2
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n > 2 x
n
+ y
n
= z
n
x, y, z 0
x
2
+ y
2
= z
2
x > 0; y > 0 d | x d | y

= z
2
(2.2.1)
x > 0; y > 0; z > 0; (x; y) = 1; 2 | x (2.2.2)
x = 2ab; y = a
2
− b
2
; z = a
2
+ b
2
(2.2.3)
a, b a > b > 0
(a; b) = 1
a, b x, y, z
2 | x
(x; y) = 1 y z (y; z) = 1
1
2
(z −y)
1
2
(z + y) (
z −y
2
;
z + y
2
) = 1

= a
2
;
z + y
2
= b
2
a > 0, b > 0, a > b, (a; b) = 1
a + b ≡ a
2
+ b
2
= z ≡ 1( mod 2) a b
a b
a, b
x
2
+ y
2
= 4a
2
b
2
+ (a
2
− b
2
)
2
= z

= z
2
(2.3.1)
u
x
4
+ y
4
= u
2
, x > 0, y > 0, u > 0 (2.4.2)
(x; y) = 1 x, y
(x; y) = d d
4
= (x; y)
4
u
u
d
2
x, y
u
2
= x
4
+ y
4
≡ 1( mod 4)
u
2

13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a b b = 2c

x
2

2
= ac, (a; c) = 1
a = d
2
; c = f
2
; d > 0; f > 0; (d; f ) = 1 d
y
2
= a
2
−b
2
= d
4
−4z
4
⇔ y
2
+ b
2
= a
2
⇔ (2f

= d
2
d ≤ d
2
= a ≤ a
2
< a
2
+ b
2
= u
u
x
4
+ y
4
= z
4
Z = z
2
x
4
+ y
4
= z
4
(2.4.1)
n = 4
Q(ρ)
ξ ∈ C f(x) ∈ Z[x]

ξ = a + bρ a, b ∈ Z
(ξ − a − bρ)(ξ −a −bρ
2
) = 0
ξ
2
− (2a − b)ξ + a
2
− ab + b
2
= 0 ξ Q
ξ Q(ρ)
Q(ρ)
ξ Q(ρ) η 0 Q(ρ)
ζ Q(ρ) ξ = ηζ η
ξ η | ξ
 Q(ρ) Q(ρ)  | 1
ξ
1
ξ
2
Q(ρ) ξ
1
| ξ
2
ξ
2
| ξ
1
ξ Q(ρ) 0

≥ 0
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ξ β Q(ρ)
N(ξβ) = N(ξ)N (β).
Q(ρ) 1
 η η = 1
N(η) = N()N (η) = N(1) = 1 ⇒ N() | 1 ⇒ N() = 1
ξ = a + bρ Nξ = N (a + bρ) = 1 a
2
−ab + b
2
= 1
η = a + bρ
2
ξη = (a + bρ)(a + bρ
2
) = a
2
+ abρ
2
+ abρ + b
2
ρ
3
= a
2
+ ab(ρ
2
+ ρ) + b
2

)
(a
2
− ab + b
2
)(c
2
− cd + d
2
) = 2
a b
a
2
− ab + b
2
a, b (a
2
−ab +b
2
) 4
4 2 4
(a
2
− ab + b
2
) = 1 (c
2
− cd + d
2
) = 1

Nβ
2
⇒ 1 < Nγ
1
< Ny
γ
1
γ
1
= γ
2
β
2
; Nγ
2
> 1; Nβ
2
> 1
1 < Nγ
2
< Nγ
1
y = γ
k
β
1
β
2
. . . β
k

1
Q(ρ)
γ
1
γ
1
γ
1
= π
2
γ
2
π
2
Q(ρ)
Nγ
2
< Nγ
1
.
Nγ
1
> N γ
2
> N γ
3
> . . . r Nγ
r
= 1 γ
r

2
Nγ
2
< Nγ
1

w = a + bρ
γ
1
= c + dρ
a, b, c, d ∈ Z, c
2
+ d
2
= 0
w
γ
1
=
a + bρ
c + dρ
=
(a + bρ)(c + dρ
2
)
(c + dρ)(c + dρ
2
)
=
(ac + bd − ad) + (bc − ad)ρ

2
− (R − x)(S − y) + (S − y)
2
≤
3
4
.
k = x + yρ γ
2
= w −kγ
1
Nγ
2
= N(w − kγ
1
) ≤
3
4
Nγ
1
< Nγ
1
.
w, k, γ
1
, γ
2
Q(ρ)
w = kγ
1

w ≡ 0( mod λ)
w ≡ −1( mod λ).
3 λ
2
Q(ρ) λ
2
= (1−ρ
2
) = 1−2ρ+ρ
2
=
−3ρ (−ρ)
(1 − ρ); ±(1 − ρ
2
); ρ(1 − ρ) λ Q(ρ)
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
3
+ y
3
= z
3
(x + y)(x + ρy)(x + ρ
2
y) = z
3
Q(ρ)
ξ
3
+ η

+ α + 1)
α − 1)(α
2
− ρ
2
+ α − ρ)
α − 1)(α − ρ)(α + ρ + 1)
α − 1)(α − ρ)(α − ρ
2
)
βλ(βλ + 1 − ρ)(βλ + 1 − ρ
2
)
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
βλ(βλ + 1)[βλ + (1 − ρ)(1 + ρ)]
βλ
3
(β + 1)(β − ρ
2
)
1 − ρ = λ 1 + ρ + ρ
2
= 0 ⇒ ρ
2
= −1 − ρ
1 − ρ
2
= λ(1 + ρ) = λ(−ρ
2
) = −λρ

3
+ ζ
3
= 0 ξ, η, ζ
λ Q(ρ)
ξ
3
+ η
3
+ ζ
3
= 0 λ  |ξ; λ  |η; λ  |ζ
λ  |ξ ⇒ ξ ≡ ±1( mo d λ
4
)
λ  |η ⇒ η ≡ ±1( mod λ
4
)
λ  |ζ ⇒ ζ ≡ ±1( mod λ
4
)
0 = ξ
3
+ η
3
+ ζ
3
≡ ±1 ± 1 ± 1( mod λ
4
)

3
= 0 (2.6.1)
(ξ; η) = 1; n ≥ 1; λ  |ξ; λ  |η; λ  |γ (2.6.2)
ξ
3
+ η
3
+ λ
3n
γ
3
= 0 (2.6.3)
ξ, η, γ

ξ, η, γ Q(ρ)
n ≥ 2
−λ
3n
γ
3
= ξ
3
+ η
3
≡ ±1 ± 1( mod λ
4
)
ξ η −λ
3n
γ