ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN HÀ LINH ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
2
Q
Z
p
p
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
F
a + (b + c) = (a + b) + c (ab)c = a(bc)
a, b, c ∈ F.
a + b = b + a ab = ba a, b ∈ F.
a(b + c) = ab + ac a, b, c ∈ F.
1 ∈ F a1 = 1a = a a ∈ F.
0 ∈ F a + 0 = 0 + a = a a ∈ F.
a ∈ F −a ∈ F a + (−a) = 0.
0 = a ∈ F a
−1
∈ F
aa
−1
= 1.
F a
0
, a
1
, . . . , a
m
∈ F
f(x) = a
m
x

f(x) + g(x) =

(a
i
+ b
i
)x
i
f(x)g(x) =

c
k
x
k
c
k
=

i+j=k
a
i
b
j
.
f(x), g(x), h(x) ∈ F [x].
deg(f(x) + g(x))  max{deg f(x), deg g(x)}.
f(x) = 0 g(x) = 0 f(x)g(x) = 0
deg(f(x)g(x)) = deg f(x) + deg g(x).
f(x) = 0 f(x)g(x) = f(x)h(x) g(x) = h(x).
f(x), g(x) ∈ F [x]. f(x) = q(x)g(x)

g(x) = 0 q(x), r(x) ∈ F [x]
f(x) = q(x)g(x) + r(x)
r(x) = 0 deg r(x) < deg g(x).
I = ∅ F [x]
F [x]
f(x), g(x) ∈ I f(x) + g(x) ∈ I
f(x) ∈ I q(x) ∈ F[x] q(x)f(x) ∈ I
I = ∅ F[x] f −g ∈ I
fh ∈ I f(x), g(x) ∈ I h(x) ∈ F [x]
I = {0} F [x] d(x) = 0
I
I = (d) = {d(x)q(x) | q(x) ∈ F [x]}.
f(x) ∈ I. f(x) = d(x)q(x) + r(x)
r(x) = 0 deg r(x) < deg d(x). f(x), d(x) ∈ I
r(x) = f(x) − d(x)q(x) ∈ I r(x) = 0 d(x)
f(x) = d(x)q(x). d(x) ∈ I d(x)q(x) ∈ I
q(x) ∈ F[x]
d(x) ∈ F [x]
f(x), g(x) ∈ F[x] d(x)|f(x) d(x)|g(x)
h(x)|f(x) h(x)|g(x) h(x)|d(x).
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
f(x) g(x) gcd(f(x), g(x)) gcd(f(x), g(x)) = 1 f(x)
g(x)
f(x), g(x) 0
gcd(f(x), g(x)) f(x) g(x)
a(x), b(x) ∈ F [x]
gcd(f(x), g(x)) = a(x)f(x) + b(x)g(x).
p(x), f(x), g(x) ∈ F [x] gcd(p(x), f(x)) = 1
p(x)|f(x)g(x) p(x)|g(x).
1 = p(x)a(x) + f(x)b(x).

(x)r
n−1
(x) + r
n
(x), r
n
(x) = 0, deg r
n
(x) < deg r
n−1
(x).
r
n−1
(x) = q
n+1
(x)r
n
(x).
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
gcd(f(x), g(x)) = r
∗
n
(x)
r
n
(x)|r
n−1
(x).
r
n

2 3
F.
f(x) f(x + a)
a ∈ F.
deg f(x) > 1 f(x) x = a ∈ F f = (x −a)g
deg g = deg f −1 ≥ 1. f
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
f(x) 2 3 f
1 f(x) F f(x) F
f(x)
f(x) ∈ F [x] a ∈ F. h ∈ F
h
1
(x) = h(x − a). deg h
1
(x) = deg h(x) h ∈ F
f(x + a) = k(x)g(x) f(x + a)
f(x) = k
1
(x)g
1
(x) f(x)
f(x)
f(x + a)
F
K F a ∈ K a
F 0 = f(x) ∈ F [x] a
a F a F
K F a ∈ K
F p(x) ∈ F [x]

a, b.
p(x) ∈ F [x] p(x)|a(x)b(x) p(x)|a(x)
p(x)|b(x) a(x), b(x) ∈ F[x]
p(x)|a(x)b(x) p(x) a(x)
b(x). gcd(p(x), a(x)) = 1.
s(x), r(x) ∈ F [x] 1 = s(x)p(x) + r(x)a(x).
e(x), f(x) ∈ F [x] 1 = e(x)p(x) + f(x)b(x).
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 = p(x)g(x) + r(x)f(x)a(x)b(x)
g(x) ∈ F [x] p(x)
1 p(x).
1
f(x) ∈ F [x]
d > 0. d = 1 f(x)
f(x) f(x) = f(x) d = 1
d > 1 d
f(x) f(x) f(x) = f(x)
f(x) f(x) = g(x)h(x)
deg g(x), deg h(x) < deg f(x) g
∗
(x) = g(x)/a
k
a
k
g(x) f(x) = g
∗
(x)(a
k
h(x))
1 = a

(x)p
2
(x) . . . p
n
(x) = q
1
(x)q
2
(x) . . . q
m
(x).
n n = m
p
i
(x) = q
i
(x) i = 1, . . . , n. n = 1
p
1
(x) = q
1
(x)q
2
(x) . . . q
m
(x). p
1
(x)|q
1
(x)q

1
(x) p
1
(x) q
1
(x)
1 = 1.a. a = 1 p
1
(x) = q
1
(x) m > 1
1 = q
2
(x) . . . q
m
(x) n = 1.
n > 1 p
1
(x)|q
1
(x)q
2
(x) . . . q
m
(x) p
1
(x)
p
1
(x)|q

q
i
(x) p
i
(x) = q
i
(x) i = 2, . . . , n.
f(x) ∈ F [x] K F
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
f(x) K
f(x) F
F F

T F F x
−1
∈ T
0 = x ∈ T x + y, xy, −1 ∈ T x, y ∈ T.
T F F
T T
ϕ : F → F

ϕ(1) = 1
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) x, y ∈ F
ϕ : F → F

ϕ
ϕ(F ) F

F
F

I F [x]. g(x) ∈ F [x]
g(x) + I = {g(x) + h(x) | h(x) ∈ I}.
g(x) +I = h(x) +I g(x) −h(x) ∈ I.
K = {g(x) + I | g(x) ∈ F [x]}.
(g(x) + I) + (h(x) + I) = (g(x) + h(x)) + I
K g + I = g
1
+ I h + I = h
1
+ I
g − g
1
∈ I h − h
1
∈ I. g − g
1
h − h
1
f.
(g + h) − (g
1
+ h
1
) = (g − g
1
) + (h − h
1
) f
(g + h) − (g
1

n−1
+ . . . + a
1
x + a
0
. a ∈ F
a + I ∈ K K
f(α) = (x + I)
n
+ (a
n−1
+ I)(x + I)
n−1
+ . . . + (a
0
+ I)
= (x
n
+ I) + (a
n−1
x
n−1
+ I) + . . . + (a
0
+ I)
= (x
n
+ a
n−1
x

f(x)
g(x), h(x) ∈ F [x]
f(x) = g(x)h(x) deg g, deg h < n = deg f.
K F g(x).
h(x) K.
K
1
h(x) K
1
F f(x)
K
1
F f(x)
F f(x)
Q(i
√
3,
3
√
2) C
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Q i
√
3,
3
√
2 f(x) = x
3
−2
Q Q(i

2(−
1
2
−
i
√
3
2
).
x
1
, x
2
, x
3
∈ Q(i
√
3,
3
√
2) Q
x
1
, x
2
, x
3
i
√
3

m /∈ pZ p gcd(m, p) = 1
1 = ms + pt s, t ∈ Z
1 = 1.1 = (m1)(s1) + pt1 = (m1)(s1).
(m1)
−1
= s1 s ∈ Z T = {n1 | n ∈ Z}.
n ∈ Z n = pt + r 0  r < p n1 = pt1 + r1 = r1.
T = {n1 | 0  n < p}. 0  n, n

< p n1 = n

1 (n −n

)1 = 0
n − n

p n = n

T
F p F T q
F d = dim
T
F T − F
{e
1
, . . . , e
d
} F. x ∈ F
x = a
1

g(x). 1 ∈ Z
p
p1 = 0. q1 = p
d
1 = 0.
g

(x) = (q1)x
q−1
− 1 = −1. g(x) g

(x)
1. g(x) K
E q
E p q g(−1) = −1 + 1 = 0
−1 ∈ E. p p p = 2.
g(−1) = (−1)
q
+ 1 = 1 + 1 = 2.1 = p.1 = 0.
−1 ∈ E. −1 ∈ E.
a, b ∈ E. g(a) = g(b) = 0. a
q
= a b
q
= b.
(ab)
q
= ab. g(ab) = 0 ab ∈ E.
(a + b)
q

b
k
= (C
k
q
1)a
q−k
b
k
= 0
k = 1, . . . , q − 1. (a + b)
q
= a
q
+ b
q
. a
q
= a
b
q
= b (a + b)
q
−(a + b) = 0, a + b ∈ E 0 = a ∈ E
a
q
= a. a = 0 a
−1
a
q−1

f(x) ∈ Q[x]. f(x) Q
af(x) 0 = a ∈ Z
f(x)
Q
f(x) Q
f(x) = a
n
x
n
+ . . . + a
1
x + a
0
∈ Z[x] a
n
= 0 n > 0
Q
1 Q Q
r
s
f(x)
r a
0
s a
n
r
s
∈ Q r, s s > 0
(r, s) = 1.
r

n
r
n
+ a
n−1
r
n−1
s + . . . + a
1
rs
n−1
+ a
0
s
n
.
a
n
r
n
= −(a
n−1
r
n−1
s + . . . + a
1
rs
n−1
+ a
0

x + a
0
r
s
f(x) r − ms
f(m) m (r + s)
f(−1) (r − s) f(1)
f(x) x − m
f(x) = a
n
(x − m)
n
+ b
n−1
(x − m)
n−1
+ . . . + b
1
(x − m) + b
0
.
b
0
, b
1
, . . . , b
n−1
∈ Z m ∈ Z f(m) = b
0
x =

n
(r −ms)
n
+ b
n−1
(r −ms)
n−1
s + . . . + b
1
(r −ms)s
n−1
+ f(m)s
n
.
f(m)s
n
= −{a
n
(r −ms)
n
+ b
n−1
(r −ms)
n−1
s + . . . + b
1
(r −ms)s
n−1
}.
r − ms. f(m)s

3
+ 3x
2
− 106x + 21
r
s
r
s
r|21 s|10
r = ±1, ±3, ±7, ±21 s = ±1, ±2, ±5, ±10
f(1) = −72 f(−1) = 120
±
1
2
, ±
1
5
, ±3,
3
2
, ±
3
5
, ±7, −
7
2
, ±
7
5
1

2
+x−6
a
n
= 1 6 r = ±1, ±2, ±3, ±6
f(1) = −5 f(−1) = −9 r = 2
f(2) = 0 f(x)
f(x) = 6x
4
+19x
3
−7x
2
−26x + 12
r
s
r
s
2.1.1 r|12 s|6
r = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 s = ±1, ±2, ±3, ±6.
f(1) = 4 f(−1) = 18 2.1.3
1
2
, −
1
3
, 2, −3 f(
1
2
) = 0 f(−3) = 0 f(x)

n
+ . . . + b
1
x + b
0
h(x) = c
k
x
k
+ . . . + c
1
x + c
0
.
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn