Tài liệu ơn thi Đại Học – Cao Đẳng 2014
Gv: Phạm Xn Hải ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 1
Số mũ
1. a
n
= a.a a ( n số a , n  Z , n > 1 ) “ đọc là : a lũy thừa n hay a mũ n”.* Qui ước: a
1
= a
2. Với a  0 và n là số nguyên dương ta có đònh nghóa sau: a
0
= 1 ; a
–n
=
n
a
1

3. Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên: Cho a,b  R, a  0 , b  0 và m , n  Z
* a
m
.a
n
= a
m+n
*
nm
n
m







.
n m
n
m
aa  ( a > 0 ) (
2
1
aa  ,
n
n
aa
1
 )
Bài tập
I. Thực hiện phép tính
1/
242123
2.4.8

2/
5,0
75,0
3
2


111
44
 aaaaaaA
,


2
333
33
: baab
ba
ba
B 












2
31
13
13

2327
15
15
.




aa
a
E ,
7172
72
5.2
10


F

G =
33
257257  , H = 324324  , K =
33
809809 
LÔGARIT
I. Đònh nghóa lôgrit:
Cho 0 < a  1 và b > 0. Lôgirt theo cơ số a của b là một số , số đó ký hiệu là:
log
a
b .

.x
2
) = log
a
x
1
+ log
a
x
2
( x
1
, x
2
 ( 0 ; +  ) )
Tài liệu ơn thi Đại Học – Cao Đẳng 2014
Gv: Phạm Xn Hải ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 2
*
2a1a
2
1
a
xlogxlog
x
x
log 
( x

( a, b là hai số dương khác 1 và x > 0 )
Hệ quả : log
a
b.log
b
a = 1 ; xlogxlog
a
a





( trong điều kiện có nghóa )

n
a
a
xx
n
loglog  log
a
x
2
= 2log
a
 x  ( x  0 )
1/ logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân . Thay vì viết log
10
x, ta viết : lgx , hay logx

1
81log

5/
3log1
5
5

6/ 10log18log15log
999
 7/
3
333
45log3400log
2
1
6log2 
8/ Cho log
a
b = 3 và log
a
c = –2. Tính:
a/


cba
a
23
log
b/


log
bc
cba
a

9/
6log
1
6log
1
32
 10/
6log
1
6log
1
94
 11/
)(log
1
)(log
1
abab
ba

12/ Cho a, b, c dương và khác 1. Chứng minh:
ab
cc
ba

Đạo hàm số mũ và logarit
Tài liệu ơn thi Đại Học – Cao Đẳng 2014
Gv: Phạm Xn Hải ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 3
Với : a > 0 và a ≠ 1



aaa
xx
ln.
/




aaua
uu
ln.
/
/




xx
ee 
/

/

 
x
x
1
ln
/

 
u
u
u
/
/
ln 

 
a
x
x
a
ln
1
log
/


 
a

ey
sin

2/ y = (sin2x + cos2x)e
2x
3/
xx
xx
e
e
ee
y




 4/
x
e
x
y
1


5/ xy sinln 6/
x
x
y
cos
1


*








yx
yhayx
yx
aa
0:0
loglog
*
m
a
axmx log

Giải các phương trình sau.
1/
2162
2
5
6
2

 xx


ĐS: x = 3 8/




112lg9212lg
2
 xxx
9/
     
3
4
1
3
4
1
2
4
1
6log4log32log
2
3
 xxx ĐS: 2 ; 331
10/


3log
2
1

x) + log
2
(log
4
x) = 2 ĐS: x = 16
13/ 3.log
2
x.log
4
x.log
8
x.log
16
x = 2 ĐS:
4
1
; 4
II/ Đặt ẩn phụ: Cho a > 0 và a ≠ 1
Nếu đặt: t = a
x
thì điều kiện: t > 0 , khi đó: a
mx
= t
m

Nết đặt: t = log
a
x thì không có điều kiện của t, khi đó:
mm
a

9

x
x 4/


12log.9log
2
3
2
xx
x
ĐS: 9 ;
27
1

5/ 013loglog.3
33
 xx 6/ (
x
2
2
log
+ 3log
2
x +1)(
x
2
2
log

xx

9/
x
x
x
x
2
2
1
2
2
3
2
2
1
4
2
log4
32
log9
8
loglog 








4
4
4
7325623
222



 xxxxxx
ĐS: –5 ; –1 ; 1 ; 2 
12/




251lg1lg
3
2
2
4
 xx
ĐS:  11 ;
10
11

13/ log
2
x.log
3
x = 2log

x
4
4
log
2
10log.2log21 
ĐS: 2 ; 8
17/
1loglog3log1
244
 xxx
ĐS: 2

III/ Sử dụng tính đơn điệu. Cho hai hàm số f(x) và g(x)
1/ Nếu f luôn đồng biến và g luôn nghòch biến thì phương trình :
f(x) = g(x) không quá một nghiệm
2/ Nếu f luôn đồng biến ( hoặc luôn nghòch biến) thì phương trình:
f(x) = k ( k: hằng số) không quá một nghiệm
Giải các phương trình sau
1/ 2
x
= 11 –x 2/ log
2
x = 3 –x 3/ 3
x
+ 4
x
= 5
x



Hệ phương trình mũ và logrit
Tài liệu ơn thi Đại Học – Cao Đẳng 2014
Gv: Phạm Xn Hải ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 5
Giải các hệ phương trình sau
1/





15log1loglog
11
222
yx
yx
ĐS: (5 ; 6), (6 ; 5)
2/


   





3lglglg

yxyx
yx
ĐS: (2 ; 1) 5/








023.64
523
1
yx
xy
ĐS: (2 ; 1)
6/







 yx
yx
273
322.4
18


Bất phương trình mũ và logarit
1/ a > 1 ( y = a
x
và y = log
a
x là các hàm số đồng biến trên tập xác đònh của nó)
 a
x
> a
y
 x > y
 a
x
> m . * m  0  x R * m > 0. a
x
> m  x > log
a
m







yx
y
yx
aa

*
m
a
axmx  0log

2/ 0< a < 1 ( y = a
x
và y = log
a
x là các hàm số nghòch biến trên tập xác đònh của nó)
 a
x
> a
y
 x < y
 a
x
> m . * m  0 x R * m > 0. a
x
> m  x < log
a
m







yx

aa
0
loglog
*
m
a
axmx log

Giải các bất phương trình sau
I/ Cùng cơ số
1/ 4
2
1
45
2







 xx
ĐS: 2 < x < 3 2/
13732
3.26


xxx
ĐS: x > 4

4
1
2
1
2
1













x
ĐS:
4
1
0  x

5/





x
x
x
ĐS: x  (
3
1
; 2) \ 1 9/
12
4
2


xx
ĐS:
04



x

10/ 2
4
1
log 









10;1
13/
13log
4
x
ĐS: 16 < x < 256
14/ 15
2x + 3
> 5
3x + 1
.3
x + 5
ĐS: x < 2
15/
12x6
xlogxlog
6
2
6

ĐS:
6x
6
1


16/
125.3.2

 x
4/
4
2
4
255
22



 xxxx
ĐS: x = 2
5/




xxx
2.32log44log
12
2
1
2
1


ĐS: x ≥ 2
6/




100
1
;0
8/


1log32log
44
2


xx
x
ĐS: 2 < x < 64
9/


1log.125log
2
25
xx
x
ĐS:
 
1\5;
625
1





1;1
12/
 
101
2log
2loglog
2



a
x
xx
a
aa
ĐS: a > 1  x > a
2
; 0 < a < 1  0 < x < a
2

13/
243
3
log4

 x
x
ĐS:


III/ Một số bài toán có tham số
1/ Tìm m để phương trình: 0121loglog
2
3
2
3
 mxx có nghiệm trong đoạn


3
3;1
ĐS: 0 ≤ m ≤ 2
2/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:




3
2537537


x
xx
m
ĐS: m  (0 ; 16)
3/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
xxx
m
222


m
xx
 3232 ĐS : m  2
8/ Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x
0
1
log12
1
log12
1
log2
22
2
2
















2
3
m

11/ Tìm m để với mọi x thuộc đoạn 0 ; 2 đều thỏa mãn bất phương trình:
Tài liệu ôn thi Đại Học – Cao Đẳng 2014
Gv: Phạm Xuân Hải ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 8



5mx2xlog4mx2xlog
2
4
2
2

ĐS: 2  m  4

IV. Một số bài toán khác
1/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
x
8
log.xlog12xlogy
2
2
2
4

2
4
3xlog103xlog239xlog8  ĐS: x = –7
5/ Giải hệ phương trình:




 
 







y3xlog
2
1
y4x4log
224
4
22
4
xylogxylog
33
ĐS:







x
3
2
110110
xlogxlog
33

ĐS: x  3
8/ Giải hệ phương trình:









 1x3y2yx
2
2.1728.2
67x3ylog

ĐS:
   



2;1;0S 
10/ Giải phương trình:













x25log.1x2log5x2logx25log.x25logx25log
2
2
2
21x22
2
2
1



ĐS:



xlog
x1
1x
log
2
2
1



ĐS: 0 < x < 1
13/ Giải hệ phương trình:







3yx
644.2
yx
ĐS: (4 ; 1)
Tài liệu ơn thi Đại Học – Cao Đẳng 2014
Gv: Phạm Xn Hải ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 9
14/ Giải hệ phương trình:
   







2yx3yx
xy24
22
2logxylog
3
3
ĐS: (1 ; 3) , (3 ; 1)
16/ Tìm tất cả các giá trị cũa m để phương trình sau có nghiệm:


mlog2xlogxlog
3
33

17/ Giải phương trình:
0233.23
x2xxxx
33


ĐS:


1;0;1S 















2
3
;
2
1
,
2
3
;
2
1
,1;0;0;1y;x


27 








= 12589251627
4
3
3
2

3/
5152
205
9.4
6


=
333522525522525
522524
525525
63.23.2
3.2
3.2








111
44
 aaaaaa

=




11211
22
 aaaaaaaaa



2
333
33
: baab
ba
ba
B 
























=






1:.2
2




b
a
b
a
C
=
2
2
31
2
33
. a
b
a
b
a




5152
53
3.2
6


D = 183.2

a
a
a

7172
72
5.2
10


F = 55
5.2
5.2
1
7172
7272


33
257257 G  GG .257.257.3257257
33
3
 
20143
3
 GGG
324324 H

1
= 2
3
1
log
2
3
1









3/
8log
2
=


62log
6
2

4/
3
3

=
153.55.5
3log
1
5


Ti liu ụn thi i Hc Cao ng 2014
Gv: Phm Xuõn Hi ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 11
6/
10log18log15log
999

= log
9
(15.18) log
9
10 =
2
3
3log
2
3
27log
10
270
log

2
1
23
cbcba
aaaaa

b/








3
3
4
.
log
c
ba
a
= 11614log3log
3
1
4logloglog
34
3
1

3
1
3
4
5
2
2

log
cb
cba
a
=

2
3
1
3.
15
1
2 log
3
1
15
1
2





11/
)(log
1
)(log
1
abab
ba
= 1logloglog abba
ababab

12/ Cho a, b, c dửụng vaứ khaực 1. Chửựng minh:
ab
cc
ba
loglog

abbab
c
a
c
aacc
baaa
log
log
loglog.loglog



1
3
1
ba
14/ Cho log
5
2 = a vaứ log
5
3 = b. Tớnh theo a vaứ b
a/ log
5
72 = log
5
(8.9) =
2
5
3
5
3log2log = 3a + 2b
b/ log
5
15 = log
5
(5.3) = 1 + b c/ log
5
12 = log
5
(2
2
.3) = 2a + b
Gv: Phạm Xn Hải ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 12


xx
exexxxxy
22/
.2cos42cos22sin22sin22cos2 

3/
xx
xx
e
e
ee
y




 




 
2
22
/

x
xx
e
x
e
exe
y




21
2
/

5/ xy sinln  x
x
x
y cot
sin
cos
/

6/
x
x
y
cos
1
sin

sin
1

7/
x
x
y



1
1
ln =
 
xx  1ln1ln
2
1


  
2
/
1
1
11
2
.
2
1
1

1
4
4
1
22
2
/






xxx
x
x
y
Phương trình mũ và logarit
I/ Đưa về cùng cơ số.Cho a > 0 và a ≠ 1
* a
x
= a
y
 x = y *


0log  mmxma


2
9
2
5
6
2
2
2

 xx
 x
2
–6x –7 = 0  x = –1  x = 7
2/


21272log
2
2
 xx  2x
2
–7x + 8 = 0 ( vn)
3/ 3
x + 4
+ 3.5
x + 3
= 5
x + 4
+ 3
Gv: Phm Xuõn Hi ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 13
4/ log
2
x(x 1) = 1 x
2
x = 2 x
2
x 2 = 0 x = 1 x = 2
5/ log
2
x + log
2
(x 1) = 1 . ẹieu kieọn:
1
01
0






x
x
x

log
2


2lglg
55505.2
xx
lgx = 2 x = 100
7/
xxxx 232
2.113.23.104


xxxx
4.113.543.104.16

xx
3.644.27

3
3
4
3
4
3










1210lg9212lg
2
xxx





20209212
012
2
xxx
x








0112
2
1
2
xx
x

9/













x
x
x
x
x
x
x


3
4
1
3
4
1
2
4
1


xx
x

24224
2
xxx

Vụựi


2;6 x .Phửụng trỡnh trụỷ thaứnh:


24224
2
xxx
x
2
2x 32 = 0
Vụựi


4;2x .Phửụng trỡnh trụỷ thaứnh:


24224
2
xxx x
2









1
32
03
01
065
x
xx
x
x
xx

3log
2
1
log65log
33
2
3


x
x


53
3
x
lx

3
5
x
11/ log
2
x + log
3
x + log
4
x = log
5
x
 xxxx
5545352
loglog.5loglog.5loglog.5log 
 xx
55432
loglog)5log5log5(log   log
5
x = 0  x = 1
12/ log
4
(log
2

44
x 
 
2
1
loglog
44
x
 log
4
x = 2  x = 16
13/ 3.log
2
x.log
4
x.log
8
x.log
16
x = 2  16log2log.
4
1
.
3
1
.
2
1
.3
4
II/ Đặt ẩn phụ: Cho a > 0 và a ≠ 1
Nếu đặt: t = a
x
thì điều kiện: t > 0 , khi đó: a
mx
= t
m

Nết đặt: t = log
a
x thì không có điều kiện của t, khi đó:
mm
a
tx log
Giải các phương trình sau:
1/ 16
x
–17.4
x
+ 16 = 0 











xx
Vì: 1487.487 














xx

14487487 










0487 






 tt
x
.Phương trình trở thành
Tài liệu ơn thi Đại Học – Cao Đẳng 2014
Gv: Phạm Xn Hải ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 15
 







1
2
487487
487
0114
t
t

t
 x = –2
3/
33loglog4
9

x
x
Điều kiện: 0 < x ≠1
33loglog4
9

x
x 
3
log
1
log2
3
3

x
x

01log3log2
3
2
3
 xx


2
3
2
xx
x
Điều kiện: 0 < x ≠ 1


12log.9log
2
3
2
xx
x



129log.log.log
2
33
xxx
x



129log.log
2
33
xx


33
 xx 


01log3loglog.3
333
 xx 
02loglog.3
33
 xx 






2log
1log
3
3
x
x






4log
1log

33


xx
xx





028464
332


xx
xx

Đặt


04
3


tt
x
. Phương trình trở thành


0286


x
xx
t
xx
t
4
2
26
2
2
26

Với t = 2 ta được
2
7
44
2
1
3


x
x

Với t = 4 –x ta được x
x


44

x
x








44
14
14
3
3
. Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của
phương trình:
x
x


44
3

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 và x =
2
7

8/


2
2
2
8364489312103  xxxxx
. Khi đó:


031033
2
 xtxt













x
xx
t
xx
t
3
6

x
x
x








35
13
15
2
2

 x < 2 hay x –2 < 0. Vì:
x
x
x
x









2
2
1
4
2
log4
32
log9
8
loglog 
















Điều kiện: x > 0
x
x
x






 
 
2
2
2
22
2
3
2
4
2
log4log32log9
2
loglog xx
x
x 














Ti liu ụn thi i Hc Cao ng 2014
Gv: Phm Xuõn Hi ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 17



xxxx
2
22
2
2
4
2
log4log18451log9log 036log13log
2
2
4
2
xx



8;4;
4
1
;
8
110/
02.96.453
2242

xxx

04.366.459.81
xxx
036
2
3
.45
4
9
.81








xx






















9
4
2
3
1
2
3

4
4
7325623
222



xxxxxx

14.444
56235623
2222

xxxxxxxx

ẹaởt:

0;0
4
4
56
23
2
2







14
14
56
23
2
2
xx
xx







056
023
2
2
xx
xx

ẹS: 5 ; 1 ; 1 ; 2
12/




251lg1lg
3







0251lg91lg16
24
xx








16
25
lg
1lg
2
2
x
x

ẹS: 11 ;
10
11


3log
2log
2
3
x
x






8
9
x
x

14/






93.11log33log3log1
5
1
55

xx

Gv: Phạm Xn Hải ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 18



93.11333
11

 xxx
 093.103
2

xx







93
13
x
x
ĐS: 0 ; 2
15/
36213362
222
263




 xxxx
 02
2
3
2
3
.3
13)13(2
22














 xxxx


 



2
2
xx
xx
loai

113
2
3
2
3
2














xx
ĐS: 1 ; 2
16/
 

x
x
x
4
4
log
2
10log.2log21 



210log.4logloglog
444
 xxx
x




210loglog
44
 xx 


210log
4
 xx 


1610  xx 

444
 xxx
III/ Sử dụng tính đơn điệu.
1/ 2
x
= 11 –x
 x = 3 là nghiệm
 x > 3
x
x
x
x






112
811
822
3

 x < 3
x
x
x
x



Gv: Phạm Xn Hải ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 19
 0< x < 2
xx
x
x






3log
13
1log
2
2

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

3/ 3
x
+ 4
x
= 5
x

1

4
5
3
5
3
2
2
























1
5
4
5
3
5
4
5
4
5
3
5
3
2
2



















xx
x
x

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

4/ 9
x
+ 2( x –2).3
x
+ 2x –5 = 0  3
2x
+ 2( x –2).3
x
+ 2x –5 = 0
Đặt


03  tt
x
. Phương trình trở thành


05222
2
 xtxt
.

x
253 
 x = 1 là nghiệm
 x > 1 . Vì: x
x
x
x
253
325
33







 x < 1 . Vì:
x
x
x
x
253
325
33







2
2
2
/
4168723  xxxxx
. Khi đó:


07232
2
 xtxt








xxxt
lxxt
2743
143

Với t = 7 –2x ta được x
x
275 
 x = 1 là nghiệm
 x > 1. Vì:


6/






0261log51log
3
2
3
 xxxx
Điều kiện: x > –1
Đặt


1log
3
 xt . Phương trình trở thành


0265
2
 xtxt .






2
2
15

Với 2

t 


821log
3
 xx
Với t = 3 –x 


xx  31log
3
(1)
 x = 2 là nghiệm
 x > 2  x + 1 > 3. Vì:


 
xx
x
x





7/


xxx
64
63
6
loglog 
Điều kiện: x > 0
Đặt:
t
xxt 64log
64
 , ta có:
tt
x 464
3
3
 và
tt
x 264
6
6

Tài liệu ơn thi Đại Học – Cao Đẳng 2014
Gv: Phạm Xn Hải ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 21
Phương trình trở thành:

3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
1
1
1



















t
x
t

 t < 1
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
1
1
1



















t
x
t

 t = 1 là nghiệm duy nhất của (1)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 64 Hệ phương trình mũ và logrit
1/





15log1loglog
11
222


30
11
xy
yx
.
x, y là nghiệm phương trình: X
2
–11X + 30 = 0 





6
5
X
X
. Nghiệm của hệ:(5 ; 6), (6 ; 5)
2/


   





3lglglg
8lg1lg

8lg10lglg
22



   





yxyx
yx
3lglg
80lglg
22













yx

2
16
2


















8
4
8
4
x
y
x
y









3
9722.3
3
yx
yy






3
366
yx
y






5
2

yxyx
yxyx






   





1log.3loglog
1loglog
353
33
yxyx
yxyx
Đặt


 





yxv







1
0
u
v



 





1log
0log
3
3
yx
yx














023.62
523.3
2 yx
xy

 







025222
523.3
2 xx
xy











42
33
x
y






1
2
y
x
ĐS: (2 ; 1)
6/







 yx
yx






3
1
y
x
ĐS: (1 ; 3)
7/





1loglog
4
44
loglog
88
yx
yx
xy
Điều kiện: 0 < y ≠ 1 và x > 0






44
28
yx
yx






2loglog
3log.log
22
22
yx
yx









yx
yy
22
22
log2log

22
2
2
log2log
3log
1log



















3log
1log
1log
3log
2

45
2







 xx

245
2
1
2
1
2

















x
 x – 4 > 0 ÑS: x > 4
3/ 0
1
21
loglog
2
3
1









x
x













2
1
21
1
1
21
x
x
x
x














0

4/
4
1
2
1
2
1













x
 4
1

x
 0
41


x






02
086
2
2
xx
xx







12
24
x
xx
 –2 < x < 1
6/




12log3log
22






045
065
2
2
xx
xx






41
32
x
xx
ÑS: 1  x < 2  3 < x  4
8/
0
1
13
log
2








1
1
13
1
1
1
13
1
3
1
2
2
x
x
x
x
x
x

























21
1
21
1
3
1
x
x
xx
x




2
+12x < 0  04



x
Ti liu ụn thi i Hc Cao ng 2014
Gv: Phm Xuõn Hi ( www.pxhai.wordpress.com) Trang 24
10/ 2
4
1
log






x
x








x
x
x
1
4
1
x
11/ 1loglog1log
9
9
12









xx





2log21
0log21
9
9


21log
3
1
x





91
01
x
x






10
1
x
x
Vaọy:


10;1x
13/
13log



4log
2log
4
4
x
x




256
16
x
x
16 < x < 256
14/15
2x + 3
> 5
3x + 1
.3
x + 5

5133232
3.53.5


xlog
xlog
xlog
6
6
6



12xx
xlog
xlog
6
6


6x
xlog
6



1xlog
2
6

1xlog1
6
6x
6

044loglog
2
2
2
xx

02loglog
2
2
2
xx






1log
2log
2
2
x
x

















09
2
3
5
2
3
.4
11
2
























4
9
2
3
1
2
3
1
1
x
x
 2
1

x
 0
12




 xx


022
5
2

 xx

2
2
5
2

 xx
 15
2
 xx  15
2
 xx






125
01
22

xxx
2.32log44log
12
2
1
2
1



xxx
2.32.242
22
  042.32
2

xx








42
12
x
x
 x ≥ 2

x
x

1
1
1



x
x
x

01
1
1



x
x
x

0
1
11
2




18
2
3
4













 
04
2
3
2
3
18
lglg2











100
1
;0x
8/


1log32log
44
2


xx
x ÑS: 2 < x < 64
9/


1log.125log
2
25
xx
x
. Ñieàu kieän : 0 < x ≠ 1


1log.125log

04log3log
5
2
5
 xx

1log4
5
 x
. Vaäy:






 5;
625
1
x
10/ 4log.27log.
9
2
 xxx
x
Ñieàu kieän : 0 < x ≠ 1
4log.27log.
9
2
 xxx

5
3
1




xx

  
0
13.353
63.2



xx
x

331 
x