TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA - MƠN TỐN
NĂM 2015-2016
****************************
PHẦN I: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
I.HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:
( )
( )
     
     
  
 
 
 
     
  
  
        
       
   
 
   
 
      
    

 


= =

  
          
     
    
     
⇔ = ⇔ ∧ = ⇔ = =
⊥ ⇔ = ⇔ + + =
 
 
∧ = =
 ÷
 ÷
 
 
r r r r r r
r r r r
r r r r
= − − −
uuur
! ! !
 ! " " # # $ $ 
11.
  
! ! !
! ! " "  # #  $ $ 
= = − + − + −
uuur
12.
r r r






++++++
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
16. Véctơ đơn vị:
1 2 3
(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)e e e
= = =
ur uur ur
17.
OzzKOyyNOxxM
∈∈∈
),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM
∈∈∈
),0,(;),,0(;)0,,(
19.
  
!    


Phương trình 
&
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0

!  &
+ + − >
2 2 2
với 0
(
)*+,-)./0,12!2 23
= + + −
  
* !  &

2 2 Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

( ) ( ) ( )
2
r
− + − + − =
2 2 2
(S) : x a y b z c
3,α4!"5 #5$5&6
Gọi d = d(I,(α)) là khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp(α ):
 d > r4%∩α6φ
 d = r4α)789":%);7<<4)789=78>,α4)789?78@


⊥
,α
2.P.trình tổng qt của mp(
α
): A" + B# + C$ + &6 B) có'/C/


6! 
3.Một số trường hợp đặcbiệt của phương trình mặt phẳng
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa ox: By+Cz+D=0 ( D≠0 song song, D=0
chứa)
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oy: Ax+Cz+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oz: Ax+By+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) :


$

#

"
=++
3ới a.b.c≠0
*Phương trình các mặt phẳng tọa độ: D#$4"6D"$4#6 ; D"#4$6
4. Vị trí tương đối của hai mp (
α
): A
1
" +B
1

2 2 2 2
α β
!  &
   
!  &
≡ ⇔ = = =
G-78@)
     
    ! !   
α ⊥ β ⇔ + + =
.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0

o o o
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
α
+ + +
=
+ +
d(M,( ))
6.Góc gi ữa hai mặt phẳng4

)

Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o
∈





+=
+=
+=
:
2.Phương trình chính tắc của (d) 
32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o



≠


r r r
r uuuuur r


H 
HB B 
*d
1
≡ d
2
⇔

=


=


r r r
r uuuuur r


H 
HB B 
* d


( với a
1
.a
2.
a
3
≠0)
* Đặc biệt d
1
⊥d
2
⇔
 =
r r
a b
4.Góc giữa 2 đường thẳng :
=
r r
r r
 

? ? 
 

5. Khoảng cách giữa từ M đến đường d
1
:
( )
1

 
=
 
 
d d d
1 2
r r uuuuuur
r r
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP:
I/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU:
Dạng toán 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:
&
+ + + =
2 2 2
x y z + 2Ax + 2By + 2Cz 0
Phương pháp giải:
• Tìm tâm: hoành độ lấy hệ số của x chia (-2), tung độ lấy hệ số của y chia (-2), cao độ lấy hệ số
của z chia (-2)⇒ Tâm mặt cầu là I(-A ;-B ;-C).
• Tím bán kính
2 2 2
A +B +C -Dr =
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
x y z x y
  
   + + − − + =
Giải:
a/Tâm mặt cầu là I(4;1;0), bán kính của mặt cầu là:
+ + − + + − = ⇔ + + − + + − =
b x y z x y z x y z x y z

Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính R = 10. Ta có :
2.3 2( 2) 1 9
( ,( )) 6
4 4 1
d I
α
− − − +
= =
+ +
<10=R⇒ mc(S) cắt (α) theo giao tuyến là đường tròn (T).
Mp
( )
α
có 1 VTPT là
  n = − −
r
Đường thẳng d qua I vuông góc với mp
( )
α
có một VTCP là
  n = − −
r
⇒ phương trình
tham số là:
 
 

x t
y t
z t

   
*      R d I
α
= − = − =
Dạng toán 3: Lập phương trình mặt cầu
Chú ý: Khi lập phương trình mặt cầu cần tìm:
Cách 1: Tâm I(a;b;c), bán kính r của mặt cầu ⇒phương trình là:
( ) ( ) ( )
2
r
− + − + − =
2 2 2
x a y b z c
Cách 2: Các hệ số A, B, C, D trong phương trình:
&
+ + + =
2 2 2
x y z + 2Ax +2By + 2Cz 0
⇒)*,ặ)
ầ
Bài toán 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A
Phương pháp giải:
• Tìm bán kính mặt cầu là :
2 2 2
( ) ( ) ( )
A I A I A I
r IA x x y y z z= = − + − + −
• Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1).
Giải:

Giải:
Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(3;-1 ;5),
2 2 2
AB= ( 2) 4 ( 4) 6− + + − =
Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;-1 ;5), bán kính
AB
3
2
r = =
phương trình của mặt cầu là :
Bài toán 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(α)
Phương pháp giải:
• Tìm bán kính mặt cầu là :
+ + +
= α =
+ +
# $ &
1 1 1
  
! 
A.x
r d(I,( ))
• Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (
α
): 2x+2y+z-1=0
Giải:
Bán kính mặt cầu là :
+ + −
= α = =

, ta có :
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 9x y z− + + + − =

(6; 2;3) ( ) 49 12 4 6 0(1)
(0;1;6) ( ) 37 2 12 0(2)
(2;0; 1) ( ) 5 4 2 0(3)
(4;1;0) ( ) 17 8 2 0(4)
A S A B C D
B S B C D
C S A C D
D S A B D
− ∈ + − + + =
 
 
∈ + + + =
 
⇔
 
− ∈ + − + =
 
 
∈ + + + =
 
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); (3)-(4) ta được hệ:

12 6 6 12 2
4 2 14 32 1 3
4 2 2 12 3
A B C A

Giải:
Phương mặt cầu (S) có dạng:
&
+ + + =
2 2 2
x y z + 2Ax + 2By + 2Cz 0
, ta có :
(6; 2;3) ( ) 12 4 6 49(1)
(0;1;6) ( ) 2 12 37(2)
(2;0; 1) ( ) 4 2 5 (3)
( ; ; ) ( ) 2 2 3 (4)
A S A B C D
B S B C D
C S A C D
I A B C P A B C
− ∈ − + + = −
 
 
∈ + + = −
 
⇔
 
− ∈ − + = −
 
 
− − − ∈ − − − =
 
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); kết hợp(4) ta được hệ:
7
5

+y
2
+z
2
-
14
5
x +
22
5
y - 6z
27
5
−
=0
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
  
    + + + − − + =x y z x y z

+ + + − + − =
x y z x y z
  
        
c) (x-2)
2
+(y+3)
2
+(z-1)

0
;y
0;
z
0
) và có 1 véctơ pháp tuyến


= (A; B; C)
phương trình là: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
)= 0.
-Nếu không tìm được ngay véctơ pháp tuyến của mp(α) ta đi tìm 2 véctơ
,a b
r r
không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp(α) khi đó
[ ; ]n a b=
r r r
là một
véctơ pháp tuyến của mặt phẳng(α).
Dạng 1: Viết phương trình mp
( )
α
điểm đi qua M
0
(x

)+C(z-z
0
)=0
B3: Rút gọn đưa về dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua A(2;3;1) và có một VTPT là
n (2;3;1)=
r
Giải:
Mặt phẳng (
α
) đi qua A(2;-1;1) và có 1 véctơ VTPT
n (2; 3;5)
= −
r
⇒ phương trình là:
2(x-2)-3.(y+1)+5(z-1) = 0 ⇔ 2x-3y+5z-12 =0
Dạng 2: Viết phương trình mp
( )
α
đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB, AC
uuur uuur
B2: Tìm
n AB;AC
 

) và song song với mp(
β
):
Ax+By+Cz+D=0 .
Phương pháp giải:
B1:Do mp
( )α
//mp(
β
): Ax+By+Cz+D=0⇒ phương trình mp
( )α
có
dạng:Ax+By+Cz+m=0
(m≠D)
B2: mp
( )α
đi qua điểm M
0
⇒ ta có Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ m=0⇒ m thoả điều kiện m≠D
⇒ phương trình mp
( )α
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (Q):2x-y+3z+4=0
Giải:

Giải
Mp(β) có một VTPT là
1
(5;1; 7)= −
ur
n
, mp (α) //mp(
β
) ⇒ phương trình mp(α) có dạng:
5x+y-7z+D = 0 (D≠3)
Do mp(α) cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2 ⇔ d(A;(α))=2 ⇔
  
 2 & &2
  &2   &26     
 
   
D
+ +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ ± ⇔ = ±
+ + −
(nhận)
⇒ phương trình của mp(α) là:
" # $5   + − ± =
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn CD
cho trước. (với
AB
uuur

Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và véctơ chỉ phương
a
r
của d.
B2: Tìm
n AB,d
 
=
 
r uuur r
.
B3: Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1),
C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0). Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng CD và song song
với đường thẳng AB.
Giải
Ta có
( ) ( )

( )
α
đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho
trước. (
∉A d
)
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ điểm M
0

∈
d và VTCP
u
r
của d. Tìm
0
AM
uuuuur
B2: Tìm
0
n AM ,u
 
=
 
r uuuuur r
B3: Viết PT mặt phẳng(
α
)đi qua điểm A và nhận
n
r

α
) là: 3y-2z=0.
Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và toạ độ trung điểm I của đoạn AB.
B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm I và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
B3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực đi qua điểm I và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(1;3;0) và B(3,-1;2)
Giải:
Ta có trung điểm của AB là I(2;1;1),
AB (2; 4;2)= −
uuur
.
Mp(P) đi qua trung điểm I của AB và có 1VTPT là
AB (2; 4;2)= −
uuur
⇒ phương trình mặt phẳng
trung trực (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0 ⇔ 2x-4y+2z-2=0
Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải:

cho trước và vuông góc
với đường thẳng d cho trước.
Phương pháp giải:
B1: Tìm VTCP
u
r
của d.
B2: Viết phương trình mặt phẳng
( )α
đi qua điểm M
0
và nhận
u
r
làm VTPT.
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt
phẳng(
β
) cho trước. (AB không vuông góc với
( )
β
).
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và VTPT

n (2; 1;3)= −
uur
⇒
P
n AB;n ( 1;13;5)
 
= = −
 
r uuur uur

Mp(
α
) đi qua A(3;1;-1), có 1 VTPT là
n ( 1;13;5)= −
r
⇒ phương trình mặt phẳng (
α
) là:
-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0 ⇔ -x+13y+5z-5=0 ⇔ x-13y-5z+5=0
Dạng 10:
Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
//
( )
β
: Ax+By+Cz+D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Phương pháp giải:
B1:Xác định tâm I bán kính R của mặt cầu (S).
B2:Do mp(

Phương trình mặt phẳng (R) có dạng:
2 0x y z m
+ + + =
( )
10m ≠
Do mặt phẳng (R) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
( )
( )
,d I R R=
1 2 6
6
1 1 4
m− + +
⇔ =
+ +
Giải phương trình ta được:
1( )
11( )
m n
m n
=


= −

. Vậy có 2 mặt phẳng (R) thỏa yêu cầu bài toán phương
trình là:
2 1 0x y z+ + + =
và
2 11 0x y z+ + − =

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp
( )
α
: x+3y-4z+3=0 và mp(
β
): 2x+2y-
4z+1=0. Viết phương trình mp(P) đi qua A(2;0;1) và vuông góc với 2 mặt phẳng (α), (β).
Bài 9: Cho hai đường thẳng
1
1 2 3
:
1 1 2
x y z
d
− − −
= =
− − −
và
2
1 2 '
: 2
3 3 '
x t
d y
z t
= −


=


2
1 2
x t
y t
z t
= +


= +


= +

a) Chứng minh
1
d
//
2
d
b)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và d
2
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (S):
2 2 2
2 4 2 3 0+ + − + + − =x y z x y z
, (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q)
song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
2 1


= − −


= +

x t
d y t
z t
.
III/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
Chuù yù :
- Muốn viết phương trình đường thẳng thường đi tìm: 1 điểm di qua và 1 véctơ chỉ
phương
- Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
;y
0;
z
0
) và có 1 véctơ chỉ phương
( ; ; )u a b c=
r
phương
trình tham số là:
0
0
0
x x at
y y bt

0;
z
0
) có một véctơ chỉ phương
( ; ; )u a b c=
r
B2 : Viết phương trình đường thẳng (d) theo yêu cầu.
Ví dụ : Viết phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP
a  = −
r
.
Giải:
Đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP
a  = −
r
. Phương trình chính tắc là :
5 4 1
2 3 1
x y z
− − −
= =
−
. Phương trình tham số là
5 2
4 3
1
x t
y t
z t
= +

z t
= +


= +


= +

Dạng 3: Đường thẳng d qua A và song song
∆
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ chỉ phương
a
r
của
∆
B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
r
a
Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3) và song song với ∆:
x t
y t
z t
 
 


= +


Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến
n
r
của mp(α)
B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
n
r
Ví dụ : Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3) và vuông góc (P):
x y z  + − + =
Giải:
Mp(P) có 1 VTPT là:
(1; 1; 1)n
= −
r
Đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3), có 1 VTCP là:
(1; 1; 1)n
= −
r
⇒ phương trình chính
tắc là:
2 1 3
1 1 1
x y z
− + −
= =
−

Dạng 5: Đường thẳng d qua A và vuông góc d
1

3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

và (d
2
):
1 2 1
2 1 3
x y z− − +
= =
−
Giải:
Đường thẳng d
1
có 1 VTCP là
( 2; 1; 1)a
= − −
r
.
Đường thẳng d
2

uur uur
B2: Tính
[ ; ]
p Q
u n n=
r uur uur
B3: Tìm một điểm đi qua A của giao tuyến bằng cách cho x=0 thế vào phương trình 2 mặt
phẳng giải hệ 2 phương trình 2 ẩn y, z tìm được y
0
; z
0
⇒ A(0; y
0
; z
0
) là một điểm thuộc giao
tuyến
B4:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
r
Ví dụ :
Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:(P):x-2y+z+5=0,(Q):2x-z+3=0.
Giải:
Mặt phẳng (P) có 1 VTPT là
1
( 1; 2; 1)n = −
ur
.
Mặt phẳng (Q) có 1 VTPT là
2

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng cắt nhau
(P), (Q).
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng giả sử là:
;
P Q
n n
uur uur
B2: Tính
[ ; ]
p Q
u n n=
r uur uur
B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
r
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết d đi qua
điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2
= 0.
Giải .
Ta có
n
r
P
= (2; 3; -2);
n
r
Q
=(1; -3; 1) lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q). Do d //(P) và
d//(Q) nên vectơ chỉ phương của d là

thẳng ∆.
Phương pháp giải:
B1:Đưa phương trình đường thẳng ∆ về dạng tham số
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

.
B2 :Tìm véctơ chỉ phương
u
r
của đường thẳng ∆.
B3: Gọi B= d∩∆ ⇒B(x
0
+at ; y
0
+bt ; z
0
+ct) ⇒
AB

1
u
ur
(1; -1; 2)
Gọi B= d∩d’⇒ B∈d’ ⇒ B(t ; 1 - t ; 2t) ⇒
AB
uuur
(t – 1 ; -t – 1 ; 2t + 2)
Do d
⊥
d’
1
. 0AB u⇔ =
uuur ur
⇔ 6t + 4 = 0 ⇔ t =
2
3
−
=>
AB
uuur
5 1 2
; ;
3 3 3
 
− −
 ÷
 
Đường thẳng d đi qua A có 1VTCP
3. (5;1; 2)u AB= − = −

= =
−
và mp(P): 2x + y –
2z + 9 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) vuông góc với
∆
và cắt
∆
.
Giải
Gọi A=
∆
∩(P) ⇒toạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ
1 3
1 2
2 1 0
1 3
4 1
1 1
2x y – 2z 9 4
2x y – 2z 9 0
x y
x y x
x z
x z y
z
− +

=

−

 
= =
 
r r r
và d đi qua A(0 ;-1 ;4) ⇒
phương trình tham số của d là
5
1 ( )
4 5
x t
y t R
z t
=


= − ∈


= +


BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Viết PTchính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(2; -1; 3) và có VTCP
= − a
r
.
Bài 2: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A(1; -2; 3), B(3; 4; 5)
Bài 3: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(1; 2; 3) và song song với ∆:

= +

= −

và (d
2
):
1 2
1 2 3
x y z− −
= =
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:(P): 2x-y+2z+3=0,
(Q):2x+3y-z+5=0.
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;-1;2) và song song với hai mặt phẳng (P):
2x+y +2z - 4=0; (Q): x + 2y - 3z + 5= 0
Bi 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2; 3) và đờng thẳng d:
2 3
1 2
x t
y t
z t
= +


=


=

Viết phng trình đờng thẳng dđi qua điểm A, cắt và vuông góc với đờng thẳng d.
Bi 9: Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng d:
+

v mt phng (P) : x+y-z+3=0. Tỡm to giao
im H ca A v mt phng (P)
Gii :
Cỏch 1: To giao im H l nghim ca h


=


= =



= = =


+ = =

+ + =



" $


" $ "
# $
# $ # <

" # $ $

r
= (6, 3, 2)
Gọi d là đường thẳng qua A và vng góc với (P)⇒ d có VTCP
n
r
⇒ phương trình là:
x 6t
y 3t
z 1 2t
=


=


= +

H là hình chiếu vng góc của A lên (P) ⇒ H=d ∩(P)⇒ H∈d ⇒ H(6t;3t;1+2t). Mặt khác
H∈(P) nên ta có phương trình: 6.6t+3.3t+2(1+.2t)-6=0⇒
4
t
49
=
⇒ H
24 12 57
, ,
49 49 49
 
 ÷
 


= −

Ví dụ : Cho mặt phẳng
( )
: 6 3 2 6 0P x y z
+ + − =
. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với
( )
0;0;1A
qua
mặt phẳng (P).
Giải:
. Gọi H là điểm chiếu của A lên (P), ta có
24 12 57
; ;
49 49 49
H
 
 ÷
 
(đã giải trong bài tìm hình chiếu của
M trên mp). Vì A’ đối xứng A qua mặt phẳng (P) nên H là trung điểm của AA’⇒
/
/
/
48
2
49
24

A
 
 ÷
 
Dạng4 : Tìm điểm H là hình chiếu của M trên đường thẳng d
Phương pháp giải:
Cách 1 :
 /+,'/C
d
a
uur
ủ?
 '789))*+,αJB330:3:7?4):
d
an =
α
 /;=@<(78@,K)4
( )
C)* ? 
C)* 



α


Cách 2 :
 Phương trình tham số của d là

= +

Ví dụ: Cho đường thẳng
2 3
:
1 1 1
x y z
d
− +
= =
− −
và điểm
( )
1;3;5A
. Tìm tọa độ hình chiếu của A
lên đường thẳng d.
Cách 1 :
Giải:
. d có VTCP
( )
1; 1; 1u
= − −
r
. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vng góc d ⇒ (P) có VTPT
( )
1; 1; 1n u= = − −
r r
, phương trình
mặt phẳng (P):
7 0x y z
− − + =
. H l hỡnh chiu ca A lờn d nờn H=d (P) Hd H(2+t;-3-t;-t) mt khỏc H(P) ta cú

i xng vi M qua d H l trung im ca MM
/
nờn :
/
/
/
2
2
2
H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z

=

=


=

Vớ d: Cho ng thng
2 3
:
1 1 1

= =

= =


= =

. Vy
( )
' 5; 1;3ADaùng 6 : Tỡm im M thuc ng thng d tha iu kin cho trc
Phng phỏp gii:
B1: Chuyn phng trỡnh ng thng d v dng tham s (Nu phng trỡnh ng thng cha
cú dng tham s), gi s phng trỡnh cú dng:

= +

= +


= +

x x at
y y bt
z z ct




| 2 2(2 1) 1|
|1 |
3
t t t
t
+
= =
Theo bi ra: AM=d(M,(P))
2 2 2 2
|1 | ( 1) 4 5 4 0t t t t t t = + + + + =

0
4
5
t
t
=




=

( )
0 M 0;0 1t =
;
4 4 4 13
( ; ; )
5 5 5 5
t M=

( )
,( ) 1d A P =
Do
( ) ( )
2 2
2
3 ( ,( )) 1 1 0(3)AM d A P a b c= ⇔ − + + + =
. Giải hệ ba phương trình (1), (2), (3) ta được:
( )
1
1 1; 1; 3
3
a
b M
c
=


= − ⇒ − −


=

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM KHÁC
a) Trên trục Oy tìm điểm M cách đều hai điểm : A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
HD: M∈Oy ⇒ M(0 ;y ;0). M cách đều hai điểm A, B ⇔AM=BM
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
HD: M∈Oxz ⇒ M(x ;0 ;z ). M cách đều 3 điểm A, B, C ⇔AM=BM=CM
c) Cho ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1). Tìm điểm D để tứ giá ABCD là
hình bình hành.

− −
và điểm A(2,-1,1). Tìm tọa độ điểm chiếu của A
lên đường thẳng d
Bài 5: Cho đường thẳng d:
= +


= − −


= −

x 2 t
y 3 t
z t
và điểm A(3,-2,5). Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A
qua đường thẳng d
MỘT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP + ĐẠI HỌC HÌNH HỌC KHÔNG OXYZ
Bài 1) TNTHPT 2009
Câu 4a Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
(S): x 1 y 2 z 2 36và (P) : x 2y 2z 18 0− + − + − = + + + =
.
1) Xác định tọa độ tâm T và tính bán kính của m.cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng
(P).
2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao
điểm của d và (P).
Bài 2) TNTHPT 2010
Câu 4.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3).

2) Viết phương trình mặt cầu
( )S
có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với
( )P

Bài 6) TNTHPT năm 2014
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(1; 1;0)
−
A
và mặt phẳng
( )P
có phương trình
2 2 1 0− + − =x y z

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
( )P

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc
( )P
sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần
khoảng cách từ
A
đến
( )P
Bài 7) ĐH KA-2014

PHẦN II: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP
A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V=B.h
4 ?78@)L=:#
 4 78.



*Thể tích khối hộp chữ nhật:
V= a.b.c
a,b,c là ba kích thước
*Thể tích khối lập phương:
V=a
3
a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=


Bh
4 ?78@)L=:#
 4 78.



3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU:
"J

)*;

4
a
3/ Hình chóp đều : là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có
đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều: là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
5/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho
ABC∆
vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC= +

b)
CBCHCABCBHBA .;.
22
==
c) AB. AC = BC. AH
d)
222
111
ACABAH
+=

e)
sin , os , tan ,cot
b c b c
B c B B B
a a c b
= = = =
f) b= a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a=

. sin . .( )( )( )
2 4
a b c
a b C p r p p a p b p c
R
= = = − − −
trong đó
2
a b c
p
+ +
=
Đặc biệt :
ABC∆
vuông ở A :
1
.
2
S AB AC=
,
ABC∆
đều cạnh a:
2
3
4
a
S =
b/ Diện tích hình vuông : S= cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S= dài x rộng
d/ Diện tích hình thang :

)
α
=   N
.
9) Xác định góc góc giữa hai mặt phẳng (α) và (
β
):
Các bước xác định góc:
+ Xác định giao tuyến c của (α) và (
β
)
+ Xác định hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên
hai mặt phẳng (α) và (
β
) đồng thời cùng vuông góc với giao tuyến c
+ Xác định góc giữa a và b, góc giữa a và b là góc giữa (α) và (
β
)
10) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M tới mp(α) là độ dài đoạn vuông góc
MH hạ từ M xuống mp(α). Kí hiệu:
( )
,( )
α
d M
Phương pháp tính khoảng cách từ điểm M tới mp(
α
) :
Dựng
( )

( )MH
α
⇒ ⊥
.
Cách 2: Chọn một mặt phẳng (P) qua M và
( ) ( )
α
⊥
P
,
mặt phẳng (P) cắt (
α
)

theo giao tuyến d.
Trong mặt phẳng (P) dựng
( )
,MH d H d⊥ ∈
thì
( )
α
⊥
MH
.
Chú ý: Khi biết khoảng cách từ một điểm A (khác M) đến (
α
).
+ Nếu MA//(
α
)thì


⇔

⊥ ⊥

A a B b
AB a AB b
.
b) Định nghĩa 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng đó.
c) Chú ý: Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau như sau:
• Nếu hai đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc với nhau:
- Dựng hoặc tìm một mặt phẳng (
α
)

chứa b và vuông góc với a tại A
- Trong (
α
) dựng đoạn
⊥
AB b
tại B
⇒
đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa a và b.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa a và mặt phẳng
(P) chứa b và song song với a, hoặc bằng khoảng cách giữa b và mặt phẳng (Q) chứa a và song
song với b.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

I
H
B
C
A
S
K
B/ MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Khối A năm 2013
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
·
0
ABC 30=
, SBC là tam giác đều cạnh a
và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách
từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Giải
Gọi H là trung điểm BC do ∆ABC là tam giác đều⇒SH⊥BC, mà
(SBC) ⊥(ABC) theo giao tuyến BC nên SH ⊥ (ABC)(1) và SH
=
3
2
a
Ta có tam giác ABC là nửa tam giác đều nên BC=a,
3
,
2 2
= =
a a
AC AB

, từ (1)⇒SH⊥AB(3) . Từ (2) và (3)⇒AB⊥(SHI)
⇒(SHI)⊥(SAB) theo giao tuyến SI, trong (SHI) kẻ HK ⊥ SI thì HK ⊥ (SAB), ta có
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 39
26
3
4
2
a
HK
HK HI SH
a
a
= + = + ⇒ =
   
 ÷
 ÷
 
 
Ta có
( )
( )
( )
( )
d C, SAB
39 39
2 C, SAB 2 ( ,( )) 2.
( ,( )) 26 13
BC a a

 ÷
 
 
Do H là hình chiếu vuông góc của trên(ABC)⇒SH⊥(ABC)⇒HC
là hình chiếu của SC trên (ABC)⇒
·
·
0
( ,( )) SCH 60SC ABC = =
2 7
2
3
a
SC HC
= =
; SH = CH.tan60
0
=
21
3
a
2 3
.
1 1 3 21 7
. . . .
3 3 4 3 12
S ABC ABC
a a a
V S SH
⇒ = = =

. Trong ∆ vuông SHK vuông tại H ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
21 3
3 3
HI HS HK
a a
= + = +
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

( )
42 3 3 42 42
,
12 2 2 12 8
a a a
HI d BC SA HI
⇒ = ⇒ = = =
C/ MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC:
Bài 1. (đề thi TNTHPT – 2009)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Biết góc
·
0
120 ! =
, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 2 (đề thi TNTHPT – 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt (SBD) tạo với đáy một góc

0
30
. Tính thể tích của
khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
Bài 6. (đề thi TNTHPT – 2014 )
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(1; 1;0)
−
A
và mặt phẳng
( )P
có phương
trình
2 2 1 0
− + − =
x y z

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
( )P

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc
( )P

x
3
– 3x
2
+ 4
Đáp án
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: y =
-
x
3
– 3x
2
+ 4 1 điểm
1. Tập xác định: D = R 0,25
2. Đạo hàm: y’ = – 3x
2
– 6x, y’ = 0 ⇔
x 2
x 0
= −


=


3. Giới hạn:
x x
lim y , lim y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞

3 2
' 32x 18x = 2x 16x 9y = − −

0
' 0
3
4
x
y
x
=


= ⇔

= ±

x
y'
y
−∞
−∞
+∞
+∞
2−
0
0
0
0
4

÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
3 3
, và 0,
4 4
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
- ¥ -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
0,25
6. Cực trị:
+ Hàm số y đạt cực tiểu tại x =
3
4
±
và y
CT
=
49
32
−
+ Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và y
CĐ

4 2
3 4y x x= + −
DẠNG 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC
Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số:
2x 4
y
x 1
-
=
+
Đáp án
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số :
2x 4
y
x 1
-
=
+
1 điểm
1.Tập xác định: R\{-1} 0.25