TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 1 -
Chuyên đề

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG
1. Công thức cơ bản

•

tanx.cot x 1.
=

•

2 2
sin x cos x 1.
+ =

•

2
2
1
1 tan x
cos x
+ = ⋅

•


•

tana tanb
tan(a b)
1 tana.tan b
−
− = ⋅
+

3. Công thức nhân đôi – nhân ba và hạ bậc

•

2 2
2 2
cos x sin x
cos 2x
2cos x 1 1 2 sin x

−
= ⋅

− = −



•

sin2x 2sinx.cosx.
=

+
= ⋅

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

•

a b a b
cosa cosb 2cos cos
2 2
+ −
+ = ⋅

•

a b a b
cosa cos b 2sin sin
2 2
+ −
− = − ⋅•

a b a b
sina sinb 2sin cos
2 2
+ −
+ = ⋅


cosa.cos b cos(a b) cos(a b) .
2
=  + + − 
 

•

1
sina.cos b sin(a b) sin(a b) .
2
=  + + − 
 •

1
sina.sin b cos(a b) cos(a b)
2
=  − − +  ⋅
 

6. Cung góc liên kết

•
"cos đối – sin bù – phụ chéo"
cos đối:
cos( ) cos , sin( ) sin , tan( ) tan , cot( ) cot .
−α = α −α = − α −α = − α −α = − α


•
"Bỏ chẵn lần pi của sin và cos thì không thay đổi":
sin(x k2 ) sin x, cos(x k2 ) cos x.
+ π = + π =•
"Bỏ lẻ lần pi của sin và cos thì cộng thành trừ":
sin[x ( k2 )] sinx
cos(x k2 ) cosx
 + π + π = −
⋅

+ π + π = −


Đặc biệt đối với tan, cot thì:
tan(x k ) tan x, cot(x k ) cot x.
+ π = + π =

7. Một số công thức khác thường được sử dụng

•

sin x cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
 π   π 
+ = + = − ⋅
   
   

ÌNH L
Ư
Ợ
NG GIÁC

2

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 2 -
Đường tròn lượng giác
- 3
-1
- 3
/3
(Ñieåm goác)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
- 3
-1
- 3

2 /2
1/2
A
π/3
π/4
π/6
3
/3
3
B
π
ππ
π
/2
3
/3
1
3
O

Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt
0
0
30
0
45
0
60
0
90

π

5
6
π

π

2
π

sin
α

0
1
2

2
2

3
2

1
3
2

2
2


1
−

1
tan
α

0
3
3

1
3

kxđ
3
−

1
−

3
3
−

0 0
cot
α


I. Phương trình lượng giác cơ bản



a b k2
sina sin b
a b k2
 = + π
= ⇔

= π − + π


sin x 0 x k
sin x 1 x k2
2
sin x 1 x k2
2

= ⇒ = π


π

→ = ⇒ = + π


π

= − ⇒ = − + π




tan a tan b a b k
= ⇔ = + π

tan x 0 x k

tan x 1 x k
4
 = ⇔ = π

→

π
= ± ⇔ = ± + π






cot a cot b a b k
= ⇔ = + π

cot x 0 x k
2

cot x 1 x k
4


Phương trình chứa
tan x
và
cot x,
điều kiện:
k
sin 2x 0 x , (k ).
2
π
≠ ⇔ ≠ ∈
ℤ

Khi giải xong, cần so với điều kiện, ta có các phương pháp sau:
1. Khai thác triệt để điều kiện, kết hợp loại nghiệm trong quá trình giải
Nghĩa là áp dụng công thức lượng giác cơ bản, nhân đôi,… để liệt kê các trường hợp điều kiện và
luôn so sánh trong quá trình giải, chẳng hạn ta có:
Điều kiện:
2 2
do: snhâ in 2x cos 2x n 1
sina 0
sin 2x 0 cos 2x 1
cosa 0
+ =

≠
→ ≠ → ≠ ±

≠



VD 3. Giải:
2 cos2x
cot x
sin 2x cosx
= − ⋅
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ

VD 4. Giải:
2 4
sin 2x cos 2x 1
0.
sin x.cos x
+ −
=
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ

Bài tập rèn luyện tương tự
BT 1. Giải:

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 4 -
BT 3. Giải:
1 1 2
cos x sin 2x sin 4x
+ = ⋅
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ

2. Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác để loại hoặc kết hợp tập nghiệm
Để biết tập nghiệm có mấy ngọn cung nghiệm (điểm) khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, cần
nắm vững nguyên tắc: "Tập nghiệm
k2
x
n
π
= α +
sẽ có n điểm trên đường tròn lượng giác cách đều
nhau". Chẳng hạn:
x k
= π + π

VD 5. Giải:
2
4sin x
1 cot 2x
1 cos4x
+ =
−
ĐS:
( )
k
x , k .
4 2
π π
= + ∈
ℤ

VD 6. Giải:
6 6
1 (sin x cos x) 3
cosx.
sin x 2
− +
=
ĐS:
( )
x k , x k , k .
4 2
π π
= + π = + π ∈
ℤ


Bài tập rèn luyện tương tự
BT 4. Giải:
3
3 sin x 2cosx
2
cosx.
2sin x 1
− +
=
−
ĐS:
7
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= − + π = + π ∈
ℤ

BT 5. Giải:
cot x cos 2x sin x sin 2x cos x.cot x.
+ + = +
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
4 2
π π
= + π = − + π ∈
ℤ

BT 6. Giải:

VD 10. Giải:
(
)
6 6
2 cos x sin x sinxcosx
0.
2 2sinx
+ −
=
−
ĐS:
5
x m2 , (m ).
4
π
= + π ∈
ℤ

VD 11.
2
sinxsin2x 2sinxcos x sin x cosx
6 cos2x.
cos x
4
+ + +
=
 π 
−
 
 

13
= π = α ± + π

VD 14. Giải:
5
sin 4x sin xsin3x cos 3xcos x
2
0
sin x
 π 
+ − −
 
 
=
ĐS:
2
x m , x m , (k ).
3 3
π π
= + π = + π ∈
ℤ

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 5 -
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 7. Giải:

4(1 sinx) 2
− + + +
− = +
−
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ

BT 10. Giải:
1
2tanx cot2x 2sin2x
sin2x
+ = + ⋅
ĐS:
x k , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ

BT 11. Giải:
2
tan x tan x tan 3x 2.
+ =
ĐS:
k

x , x k , (k ).
4 2 2
π π π
= + = − + π ∈
ℤ

VD 17. Giải:
cos 2xcosx cosx sin 2xsinx
+ =
ĐS:
k
x , x k , (k ).
4 2 2
π π π
= + = − + π ∈
ℤ

VD 18. Giải:
2cos5x.cos3x sin x cos8x
+ =
ĐS:
k2
x k2 , x , (k ).
2 6 3
π π π
= + π = − + ∈
ℤ

VD 19. Giải:
1

+ − =
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ

BT 14. Giải:
2
2sin 3x(1 4sin x) 1.
− =
ĐS:
k2 k2
x , x , (k ).
14 7 10 5
π π π π
= + = + ∈
ℤ

BT 15. Giải:
2 2
2cos 2x cos 2xsin 3x 3sin 2x 3.
+ + =
ĐS:
k k2
x , x , x k2 .
4 2 10 5 2
π π π π π

cosa cos b 2cos cos
2 2
+ −
+ = ⋅ ⋅
●
a b a b
sin a sin b 2sin cos
2 2
+ −
+ = ⋅ ⋅

●
a b a b
cosa cos b 2 sin sin
2 2
+ −
− = − ⋅ ⋅
●
a b a b
sin a sin b 2 cos sin
2 2
+ −
− = ⋅ ⋅

●
sin(a b)
tana tan b
cosa.cos b
+
+ = ⋅

= ± + π = ∈
ℤ

VD 21. Giải:
sin3x cos2x sinx 0
+ − =
(D – 2013) ĐS:
k 7
x , x k2 , x k2 .
4 2 6 6
π π π π
= + = − + π = + π

VD 22. Giải:
sinx sin2x sin 3x 1 cosx cos2x.
+ + = + +
ĐS:
2 k2
x k2 ; ; k2
3 6 3 2
 π π π π 
∈ ± + π + − + π ⋅
 
 

VD 23. Giải:
sin3x sin 2x sin x 1 cos3x cos2x cosx
+ + + = + −
ĐS:
k2

ĐS:
k
x , x k2 , (k ).
8 2 3
π π π
= − + = ± + π ∈
ℤ

BT 18. Giải:
cos2x sin3x cos5x sin10x cos8x.
− + = +
ĐS:
k2 k2 k
x ; ; ; k
30 5 6 5 16 4 4
 π π π π π π π 
∈ + + + − + π ⋅
 
 

BT 19. Giải:
sinx sin2x sin 3x cosx cos2x cos3x.
+ + = + +
ĐS:
2 k
x k2 , x , (k ).
3 8 2
π π π
= ± + π = + ∈
ℤ

α = − α
●
2
1 1
cos cos 2 .
2 2
α = + α

– Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số
1
2
và cung góc tăng gấp đôi.
– Hạ bậc để triệt tiêu hằng số không mong muốn và nhóm hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng công
thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài toán đơn giản hơn.
VD 26. Giải:
2 2 2 2
3
cos x cos 2x cos 3x cos 4x
2
+ + + =
ĐS:
k
k 2
x ,x ,x k .
8 4 5 5
π π π π
= + = ± + π = ± + π

VD 27. Giải:
2 2

= + = − + = − + ⋅

VD 29. Giải:
2 2 2 2
3
3sin xcos x sin x cos x sin xcos x 3sin xcosx
2 2
 π   π 
+ − + = −
   
   
ĐS:
x k ; k
4 6
 π π 
∈ − + π ± + π
 
 

Bài tập rèn luyện tương tự
BT 22. Giải:
2 2
sin 4x cos 6x sin 10x , x 0;
2 2

π
 
π

− = + ∀ ∈ ⋅

π π
= = ∈
ℤ

BT 25. Giải:
2 2 2
tan x sin 2x 4 cos x.
+ =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= ± + π ∈
ℤ

BT 26. Giải:
2 2 2
2cos x 2cos 2x 2cos 3x 3 cos4x(2sin 2x 1).
+ + − = +
ĐS:
k
x , (k ).
8 2
π π
= + ∈
ℤ

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán


BT 29. Giải:
2
tan x
tan x 2.
cot 3x
− =
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ

BT 30. Giải:
2
1 cos 4x
sin2x sin6x.
cos x sin2x
− = +
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ

4. Xác định lượng nhân tử chung để đưa về phương trình tích số

+
2 2
sin x; tan x
có nhân tử chung là:
2
(1 cosx)(1 cosx) 1 cos x.
− + = −

+
2 2
cos x; cot x
có nhân tử chung là:
2
(1 sin x)(1 sin x) 1 sin x.
− + = −

–
2
1 2
f(X) aX bX c a(X X )(X X )
= + + = − −
với
X
có thể là
sin x,cosx,
… và
1 2
X ,X
là 2 nghiệm của
f(X) 0.

x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ

VD 33. Giải:
2
(2cos x 1)(sin 2x 2 sin x 2) 4cos x 1
+ + − = −
ĐS:
2
x k2 , x k , (k ).
3 4
π π
= ± + π = + π ∈
ℤ

VD 34. Giải:
1 cos 2x
2 cos x 1 cot x
4 sin x
 π  +
− ⋅ = +
 
 
ĐS:
k
x , (k ).
4 2

3
2sin x cos2x cosx 0
+ + =
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
4
π
= π + π = − + π ∈
ℤ

VD 38.
( )
3 3
x x x x
2 2 sin cos cos 2 sin x cos
2 2 2 2 4
   π 
− = + +
   
   
ĐS:
4
x k2 , x k4 , (k ).
2 3
π π
= + π = ± + π ∈
ℤ

VD 39. Giải:
1 3

= π + π = + π ∈
ℤ

BT 32. Giải:
tan x cot x 2(sin 2x cos 2x).
+ = +
ĐS:
k k
x , x , (k ).
4 2 8 2
π π π π
= + = + ∈
ℤ

BT 33. Giải:
2 2
(1 sin x)cosx (1 cos x)sin x 1 sin 2x.
+ + + = +
ĐS:
x k , x k2 , x k2 .
4 2
π π
= − + π = + π = π

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 8 -

ĐS:
x k2 , (k ).
= π + π ∈
ℤ

BT 37. Giải:
(2cosx 1)(2sin x cos x) sin 2x sin x.
− + = −
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
3 4
π π
= ± + π = − + π ∈
ℤ

BT 38. Giải:
2
4sin2xsin x 2sin2x 2sinx 4 4cos x.
+ − = −
ĐS:
7 k2
x k2 ; k2 ; k2 ;
6 6 3 3
 π π π π 
∈ − + π + π π + ⋅
 
 

BT 39. Giải:
3 3


BT 42. Giải:
sin x 3tanx sin2x
2.
tan x sin x
+ +
=
−
ĐS:
2
x k2 , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ

BT 43.
1
1 sin x sin2x (1 cot x) 1 tan x
4 2 4
 
 π   π 
+ − + = + + − ⋅
 
   
   
 
ĐS:
17
x k2 , x k2 , (k ).

 
 

BT 46. Giải:
cosx tanx 1 tanxsin x.
+ = +
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
4
π
= + π = π ∈
ℤ

BT 47.
2 2
2
(sinx cos x) 2sin x 1
sin x sin 3x
4 4
1 cot x
2
 
+ −  π   π 
= − − −
 
   
+
   
 
ĐS:

+ + = +
 
 
ĐS:
x k , x k , x k2 .
2 4
π π
= + π = − + π = π

BT 50. Giải:
2cosx 2sin2x 2sinx 1
cos 2x 3(1 sin x)
2cosx 1
+ − −
+ + =
−
ĐS:
2
x k2 , x k2 , (k ).
2 3
π π
= − + π = + π ∈
ℤ

BT 51. Giải:
tanx sin 2x 2cot 2x.
= −
ĐS:
k
x , (k ).

BT 54. Giải:
sin 2x cos 2x 2 sin x 0.
− − =
ĐS:
5 k2
x k2 , x , (k ).
4 12 3
π π π
= + π = + ∈
ℤ

BT 55. Giải:
( )
5cosx sinx 3 2 sin 2x , x 0;
4
 π 
+ − = + ∀ ∈ π
 
 
ĐS:
x
3
π
= ⋅

BT 56. Giải:
2
x
2sinxcos sin xcos2x cos2x 2 cos x
2 4

x k , x k2 , (k ).
2
π
= π = + π ∈
ℤ

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 9 -
BT 59. Giải:
2 2
3
(tan x 1)sin x 3cos x sin 2x 0.
2
− + − =
ĐS:
x k , x k , (k ).
4 3
π π
= + π = ± + π ∈
ℤ

BT 60. Giải:
(1 cos x)cot x cos 2x sin x sin2x.
− + + =
ĐS:
k


BT 63. Giải:
sin x 1
cot x 2.
1 cosx 1 cos x
+ + =
+ −
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
4 2
π π
= − + π = + π ∈
ℤ

BT 64. Giải:
1 sin 2x
2 sin x 1 tan x.
4 cos x
 π  +
− ⋅ = +
 
 
ĐS:
x k , x k , (k ).
4
π
= − + π = π ∈
ℤ

BT 65. Giải:

BT 67. Giải:
2 2 2
1 1 15cos4x
2cot x 1 2tan x 1 8 sin 2x
+ = ⋅
+ + +
ĐS:
k
x , (k ).
12 2
π π
= ± + ∈
ℤ

BT 68. Giải:
3sin 3x 2 sin x(3 8cosx) 3cosx.
+ + − =
ĐS:
5
x k , x k , (k ).
12 12
π π
= + π = + π ∈
ℤ

BT 69. Giải:
2sin x(2cos 2x 1 sin x) cos2x 2.
+ + = +
ĐS:
5

+ = − −
 
−
 
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ

BT 72. Giải:
(2sin x 1)(cos2x sin x 1)
3 2cosx.
3 sin x sin 2x
− + +
= +
−
ĐS:
5 k
x k2 , x , (k ).
6 4 2
π π π
= + π = + ∈
ℤ

BT 73. Giải:
3 x x
sin x 4cos sin sin x.
2 3 2 3 2

 
ĐS:
k 3
x k , x , x k .
4 16 2 8
π π π π
= − + π = + = + π

BT 76. Giải:
8sin x tan x cot x 4cot 2x
6
 π 
+ + + =
 
 
ĐS:
k2 5
x k2 ,x ,x k2 .
6 18 3 6
π π π π
= − + π = + = + πwww.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 10 -
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Đi
ều kiện

2
asin x bsin x c 0
+ + =

t sinx
=

1 t 1
− ≤ ≤

2
acos x bcosx c 0
+ + =

t cos x
=

1 t 1
− ≤ ≤

2
a tan x btanx c 0
+ + =

t tanx
=


0 t 1
≤ ≤
.
VD 1. Giải:
5
5cos 2x 4 sin x 9
3 6
 π   π 
+ = − −
   
   
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= + π ∈
ℤ

VD 2. Giải:
cos 2x 3 sin 2x 3 sin x cosx 4 0
− − − + =
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= + π ∈
ℤ

VD 3. Giải:
2

ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
3
π
= π + π = ± + π ∈
ℤ

VD 6. Giải:
2 3
2
2
cos x cos x 1
cos 2x tan x
cos x
+ −
− =
ĐS:
k2
x , (k ).
3
π
= ∈
ℤ

VD 7. Giải:
2
5
5sin x 3(1 cosx)cot x 2
2
 π 

ĐS:
2
x k2 , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ

VD 10. Giải:
2 3 4
2
2
3sin x 7sin x 2 sin x 1
sin 3x cot x
sin x
− + +
+ =
ĐS:
5
x k2 , x k2 , x k2 .
2 6 6
π π π
= + π = + π = + π

VD 11. Giải:
2
3 x
tan x 2 3 sin x 1 tanx tan
2
cos x

x k2 , x k2 , k .
4 3
π π
= ± + π = ± + π ∈
ℤ

VD 14. Giải:
3 2 6
4 3sinx sin x 3cos x cos x
+ + = +
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
2
π
= π = − + π ∈
ℤ

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 11 -
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 1. Giải:
5 7
sin 2x 3cos x 1 2sinx
2 2
 π   π 
+ − − = +

   
   
ĐS:
x k , (x ).
4
π
= + π ∈
ℤ

BT 4. Giải:
2
5sin x 2 3(1 sin x)tan x.
− = −
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (x ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ

BT 5. Giải:
2
(sin 2x 3 cos2x) 5 cos 2x
6
 π 
+ − = − ⋅
 
 
ĐS:

2 6
π π
= + π = − + π ∈
ℤ

BT 8. Giải:
2
tan x tan x tan 3x 2.
+ =
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ

BT 9. Giải:
1 1
2sin3x 2cos3x
sinx cosx
− = + ⋅
ĐS:
7
x k ,x k ,x k .
4 12 12
π π π
= ± + π = − + π = + π

BT 10. Giải:

sin x cos x 1 1
cot 2x
5sin 2x 2 8sin 2x
+
= ⋅ − ⋅
ĐS:
x k , (k ).
6
π
= ± + π ∈
ℤ

BT 13. Giải:
4 2
1 2
48 (1 cot 2xcot x) 0.
cos x sin x
− − ⋅ + =
ĐS:
k
x , (k ).
8 4
π π
= + ∈
ℤ

BT 14. Giải:
1 1
sin 2x sin x 2 cot 2x.
2sin x sin 2x

 

BT 17. Giải:
sin x cos x 3
2 2tan2x sin 2x 1.
sin x cos x 2
+  π 
⋅ + − − =
 
−
 
ĐS:
x k , (k ).
2
π
= + π ∈
ℤ

BT 18. Giải:
sin 4x 2cos2x 4(sin x cosx) 1 cos 4x.
+ + + = +
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
4 2
π π
= − + π = + π ∈
ℤ

BT 19. Giải:
2

ℤ

BT 22. Giải:
6 6
x x 2x 3 6x
4sin 4cos 3 4cos cos
2 2 4 4
− π − π
+ + = ⋅ ⋅
ĐS:
x k2 , (k ).
2
π
= − + π ∈
ℤ

BT 23. Giải:
3(sin2x sinx) cos2x cosx 2.
+ + − =
ĐS:
x k , x k2 , x k2 .
6 3
π π
= + π = + π = π + π

BT 24. Giải:
(1 sinx)(2sin2x 6cosx 2sin x 3)
2.
2cosx 1
− + + +

BT 26. Giải:
2
1 9
(3sin x sin 3x) cos x 5cos x 3 0.
2 2
 π 
− + − − + =
 
 
ĐS:
k2
x , (k ).
6 3
π π
= + ∈
ℤ

BT 27. Giải:
2
2cos x 10cos x 3 sin 2x 5 0.
6
 π 
+ + − + =
 
 
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
2 6
π π

sin xsin 4x 2 2 cos x 4 3 cos xsin xcos 2x.
6
 π 
= − −
 
 
ĐS:
2
x k , (k ).
3
π
= + π ∈
ℤ

Một số dạng thường gặp khi đưa về phương trình bậc hai hoặc bậc cao
► Phương trình có chứa
R( ,tan X, cot X, sin 2X, cos 2X, tan 2X,
.)
trong đó:
x x
X , , , x, 2x,
3 2
=
sao cho cung của sin, cos gấp đôi cung của tan hoặc cotan. Lúc đó ta sẽ đặt
t tan X
=
và sẽ biến đổi:
●
2
2 2

(1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x
− + = +
ĐS:
x k , x k , (k ).
4
π
= − + π = π ∈
ℤ

VD 16. Giải:
sin 2x cos 2x
cot x , x ;0
2 sin 2x 2
−  π 
= ∀ ∈ −
 
+
 
ĐS:
x
4
π
= − ⋅

VD 17. Giải:
1 tan x
1 cot x
2 1 sin2x
 π  +
+ − =

ℤ

BT 32. Giải:
sin2x 2tanx 3.
+ =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ

BT 33. Giải:
2
cos 2x 1
cot x 1 sin x sin2x.
1 tan x 2
− = + −
+
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ

BT 34. Giải:
1
2 tan x cot x 2sin2x
sin 2x

∓

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 13 -
VD 19. Giải:
3 3
sin xsin3x cos xcos 3x 1
8
tan x tan x
6 3
+
= − ⋅
 π   π 
− +
   
   
ĐS:
x k , (k ).
6
π
= − + π ∈
ℤ

VD 20. Giải:
4 4
4

x , (k ).
12 2
π π
= + ∈
ℤ

BT 36. Giải:
tan x tan x sin3x sinx sin2x
3 6
 π   π 
+ − = +
   
   
ĐS:
k 2
x , x k2 , (k ).
2 3
π π
= = ± + π ∈
ℤ

► Đặt số đo cung bởi ẩn phụ chung: Đặt ẩn phụ t bởi cung phức tạp để bài toán đơn giản hơn.
VD 21. Giải:
3
tan x tan x 1
4
 π 
− = −
 
 

   
   
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ

BT 38. Giải:
3
8cos x cos3x.
3
 π 
+ =
 
 
ĐS:
x k , x k , (k ).
2
π
= + π = π ∈
ℤ

BT 39. Giải:
3
2 sin x 2sin x.
4
 π 

{ }
k2 2 k2
x ; , k \ 0 .
3 3 15 5
 π π π π
∈ − + − + ∈
 
 
ℤ

II. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (phương trình cổ điển)
– Dạng của phương trình:
{
}
(
)
asin x bcosx c ( ) , a,b \ 0
+ = ∗ ∈ ⋅
ℝ

– Phương pháp giải:
+ Kiểm tra điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c
+ ≥
(nên nháp trước khi giải)
+ Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b 0
+ ≠


 Lưu ý. Hai công thức sử dụng nhiều là:
sina cos b cosasin b sin(a b)
cosa cos b sinasin b cos(a b)
 ± = ±
⋅

± =

∓

VD 23. Giải:
cos 7xcos 5x 3 sin 2x 1 sin7xsin5x
− = −
ĐS:
x k , x k , (k ).
3
π
= π = − + π ∈
ℤ

VD 24. Giải:
cos x sin 3x 3 cos 2x 3 cos 3xsin x
− = +
ĐS:
x k , x k , (k ).
3 2
π π
= + π = + π ∈
ℤ

4 2 3
π π π
= + = + π ∈
ℤ

VD 27. Giải:
2sin 2x 4sinx 1
6
 π 
+ + =
 
 
ĐS:
5
x k , x k , (k ).
6
π
= π = + π ∈
ℤ

VD 28. Giải:
2
1 sin 2x 2 3 sin x ( 3 2)sin x cos x 0
+ + + + + =
ĐS:
7
k2 ; k2 ; k2 ; k2
6 6 3

π π π

ĐS:
2 k4
x k , x k4 , x
3 9 3
π π π
= + π = −π + π = + ⋅

Bài tập rèn luyện tương tự
BT 42. Giải:
cos xsin 3x 3 cos 2x 3 cos 3xsin x.
− = +
ĐS:
x k , x k , (k ).
3 2
π π
= + π = + π ∈
ℤ

BT 43. Giải:
3 cos2x sin2x 2sin 2x 2 2.
6
 π 
+ + − =
 
 
ĐS:
5
x k , (k ).
24
π

ĐS:
k k
x , x , (k ).
9 3 3
π π π
= + = ∈
ℤ

BT 47. Giải:
2
2cos x 2 3 sin xcos x 1 3cosx 3 sin x.
− + = −
ĐS:
x k , x k2 , x k2 .
3 3
π π
= + π = π = − + π

BT 48. Giải:
2
x
(2 3)cosx 2sin x
2 4
1.
2cosx 1
 π 
− − −
 
 
=

 
 

BT 51. Giải:
1 1
2sinx 3 2cosx 0.
sinx cosx
 
− + − =
 
 
ĐS:
k
x , x k , (k ).
4 2 6
π π π
= + = + π ∈
ℤ

BT 52. Giải:
2
2sin x 3 sin 2x 1 3 sin x cosx.
+ + = +
ĐS:
2
x k , x k2 , x k2 .
6 3
π π
= − + π = π = + π


π π
= − + π = + π ∈
ℤ

BT 55.
x x x 2 3x
2 cos 6 sin 2sin 2sin
5 12 5 12 5 3 5 6
 π   π   π   π 
− − − = + − + ⋅
       
       
ĐS:
5 5 5
x ; ; k5
4 12 3
 
π π π
∈ − − + π ⋅
 
 

BT 56. Giải:
3 sin 2x(2cosx 1) 2 cos3x cos 2x 3cosx.
+ + = + − ĐS:
2
x k2 , x k2 , (k ).
3 6
π π
= ± + π = + π ∈


BT 59. Giải:
4sin2x 3cos2x 3(4 sin x 1).
− = −
ĐS:
x k , (k ).
= π ∈
ℤ

BT 60. Giải:
2
tan x sin 2x cos 2x 4cosx.
cos x
− − = −
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ

BT 61. Giải:
3 3
sin x cos x
1 cos2x 2cosx.
1 cosx 1 sinx
+ + = +
+ +
ĐS:

2 2
a b 0.
+ ≠

VD 31. Giải:
2
(sinx 3 cos2x)(2cos2x 1)
sin2x sinx
(2cosx 1)
− +
= +
−
ĐS:
( )
2 2 k2
x k2 , x , k .
3 9 3
π π π
= ± + π = + ∈
ℤ

VD 32. Giải:
3 cos 5x 2sin 3x cos2x sin x 0
− − =
ĐS:
k k
x , x , (k ).
18 3 6 2
π π π π
= + = − + ∈

 
π
 
π
 
π

+ − − + + =
       
       
ĐS:
k2
x , (k ).
18 3
π π
= + ∈
ℤ

VD 36. Giải:
2cos 6x 2cos 4x 3 cos 2x sin 2x 3
+ − = +
ĐS:
k k
x k , x , x
2 24 2 36 3
π π π π π
= + π = − + = + ⋅

VD 37. Giải:
2

x 3
4cos 3 cos2x 1 2sin x
2 4

π

+ = + −
 
 
ĐS:
5 k2 7
x , x k2 , (k ).
18 3 6
π π π
= + = − + π ∈
ℤ

VD 40. Giải:
2
3 sin 2x 2cos x 2 2 2cos 2x
− = +
ĐS:
x k , (k ).
2
π
= + π ∈
ℤ

Bài tập rèn luyện tương tự
BT 63. Giải:

ℤ

BT 66. Giải:
4 4
4(sin x cos x) sin 4x( 3 1 tan 2x tan x) 3.
+ + − − =
ĐS:
5 k
x k , x , (k ).
12 36 3
π π π
= − + π = + ∈
ℤ

BT 67. Giải:
3 1
8sinx
sin( x)
5
sin x
2
= + ⋅
π −
 π 
−
 
 
ĐS:
k
x k , x , (k ).

sin x cosxsin2x 3 cos 3x 2(cos 4x sin x).
+ + = +
ĐS:
k2
x k2 , x , (k ).
6 42 7
π π π
= − + π = + ∈
ℤ

BT 70. Giải:
8sin x tan x cot x 4cot2x.
6
 π 
+ + + =
 
 
ĐS:
5 k2
x k ; k2 ;
6 6 18 3

π π π π

∈ − + π − + π − + ⋅
 
 

BT 71.
2

)
2
cosx 3 sin 2x sinx 4cos2xcosx 2cos x 2 0.
+ + − − + =
ĐS:
2 k2
x k2 , x k2 , x
3 3 9 3
π π π π
= + π = − + π = + ⋅

BT 74. Giải:
2 2
x 7
4cos 2cos x 3 cos(2x 3 ) 3
2 4
0.
1 2sin x
 π 
+ − − − π −
 
 
=
−
ĐS:
5 k2
x , (k ).
18 3
π π
= + ∈

+ + = + + ⋅
   
   
ĐS:
k2
x k ; k2 ;
4 3 9 3
 π π π π
∈ − + π − + π + ⋅
 
 

BT 77. Giải:
2 2
x 3
4sin 3 sin 2x 1 2cos x
2 2 4
  
π
 
π

π − − − = + − ⋅
     
     
ĐS:
5 5 k2
x k2 , x , (k ).
6 18 3
π π π

ℤ

VD 42. Giải:
(2cosx 1)(sin x cos x) 1
− + =
ĐS:
k2
x k2 , x , (k ).
6 3
π π
= π = − + ∈
ℤ

VD 43. Giải:
1 2sinx 1 sin x
1 2sin x
3 cos x
− −
=
+
ĐS:
k2
x , (k ).
18 3
π π
= + ∈
ℤ

VD 44.
2

ℤ

BT 79. Giải:
2
cos x sin2x
3.
2cos x sin x 1
−
=
− −
ĐS:
x k2 , (k ).
6
π
= − + π ∈
ℤ

BT 80. Giải:
2 2
3 cos x 2 sin xcosx 3 sin x 1 0.
+ − − =
ĐS:
x k , x k , (k ).
4 12
π π
= + π = − + π ∈
ℤ

BT 81. Giải:
2

=
+ −
ĐS:
l2
x , (k ).
18 3
π π
= − + ∈
ℤ

BT 84.
2
sin xsin4x 2 2 cos x 4 3 sin xcos xcos2x
6

π

= − −
 
 
ĐS:
x k , (k ).
3
π
= − + π ∈
ℤ

BT 85. Giải:
2
4sin x tan x 2(1 tan x).sin 3x 1

2
2 2
2cos x 1
cos 2x 1 2sin x
cos x sin x

−

= −


−


(1)
(2)
(3)•
Nếu theo (1) thì
( )
∗ ⇔
2
(i)
sin x.(2m.cosx p) (2n.cos x q.cosx r n) 0
+ + + + − =

và theo (2) thì PT


2 2 2
a 2.a.b b (a b) .
± + = ±

VD 45. Giải:
cos2x 3cosx sin x 2 0
+ − + =
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= + π = π + π ∈
ℤ

VD 46. Giải:
5 cos 2x
2cosx
3 2 tan x
+
=
+
ĐS:
x k2 , (k ).
= π ∈
ℤ

VD 47. Giải:
3sinx cosx 2 cos2x sin 2x 0
− + − − =
ĐS:

π π
= + π = + π ∈
ℤ

BT 87. Giải:
sin 2x 2cos2x 1 sin x 4cosx.
+ = + −
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= + π ∈
ℤ

BT 88. Giải:
2sin2x cos2x 7 sin x 2cosx 4.
− = + −
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ

BT 89. Giải:
2 2 sin 2x cos2x 7sin x 2 2 cosx 4 0.
− − − + =
ĐS:
5

BT 92. Giải:
2 sin 2x sinx 3cosx 2.
4
 π 
+ = + −
 
 
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= − + π = π + π ∈
ℤ

BT 93. Giải:
sin 2x 3 cos 2x 3(sin x 3) 7cos x.
− + − =
ĐS:
5
x k2 , (k ).
6
π
= ± + π ∈
ℤ

BT 94. Giải:
sin 2x cos2x 4 2 sin x 3cosx
4
1.
cosx 1

(2sin 5x 1)(2 cos 2x 1) 2 sin x.
− − =
ĐS:
k2 k2
x , x , (k ).
22 11 10 5
π π π π
= + = − ∈
ℤ

BT 97. Giải:
2
3(sin 2x 3sin x) 2cos x 3cosx 5
− = + −
ĐS:
2
x k2 , x k2 , x k2 .
3 3
π π
= π = + π = + π

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 18 -
III. Phương trình lượng giác đối xứng



2 2
tan x cot x
+
và lúc này thường sử
dụng:
2
tan x.cot x 1; tan x cot x
sin 2x
= + = ⋅

Một số dạng gần đối xứng hay nửa đối xứng thường gặp
► Dạng:
2 2
a tan x b cot x c(asin x bcosx) , ab 0
+ = ± ≠PP
→
Biến đổi về tích số dựa vào hằng đẳng thức số ba, cụ thể: 2 2
a sin x b cos x
c(a sin x bcosx)
cos x sin x
⇔ + = ±
2 2 2 2
a sin x b cos x
c(asin x bcosx)

a(sin x cos x) bsin2x c 0
+ + + =
PP 4 4 2
1
t sin 2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x.
2
→ = ≤ ⇒ + = −

► Dạng:
4 4
a(sin x cos x) b cos 2x c 0
+ + + =
PP 4 4 2
1
t cos2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x.
2
→ = ≤ ⇒ + = −

► Dạng:
4 4
asin x bcos x c.cos 2x d 0
+ + + =
PP 2 2
1 t 1 t
t cos 2x, t 1 sin x ; cos x
2 2
− +
→ = ≤ ⇒ = = ⋅
 
 =
 
+ + ± + =

 
 
≥
 
 
(
)
PP
k
t f(x) , t 2 k .
f(x)
→ = + ≥

VD 49. Giải:
3
2sin x cos2x cosx 0
− + =
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
4
π
= π = − + π ∈
ℤ

VD 50. Giải:

= + π = π + π ∈
ℤ

VD 53. Giải:
3 2
2
3(1 sinx) x
3tan x tanx 8cos 0
4 2
cos x
+  π 
− + − − =
 
 
ĐS:
x k , x k2 .
6 4
π π
= ± + π = ± α + π

VD 54. Giải:
2
2
2
2tan x 5(tan x cot x) 4 0
sin x
+ + + + =
ĐS:
x k , (k ).
4

3 3
π π
= − + π = + π ∈
ℤ

VD 57. Giải:
tan x 3 cot x sin x 3 cos x 1 3 0
− − + + − =
ĐS:
1
x k ,x k2 ,cos 1
3 4
2
π π
= + π = ± α + π α = −

VD 58. Giải:
4 4
1 (sin x cos x)
cosx
sinx
− +
=
ĐS:
x k , x k , (k ).
2 4
π π
= + π = + π ∈
ℤ


π
= − + π = π + π

BT 101. Giải:
3
2sin x cos 2x cos x 0.
− + =
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
4
π
= π = − + π ∈
ℤ

BT 102. Giải:
3
2cos x cos2x sin x 0.
+ + =
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
2 4
π π
= + π = − + π ∈
ℤ

BT 103. Giải:
3 2
cos x cos x 2sin x 2 0.
+ + − =
ĐS:

x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= + π = π + π ∈
ℤ

BT 107. Giải:
1 sin2x
cotx 2sin x
sinx cosx 2
2

π

⋅ + = + ⋅
 
+
 
ĐS:
k2
x k , x , (k ).
2 4 3
π π π
= + π = + ∈
ℤ

BT 108. Giải:
2
sin x 1
2(1 cosx)(cot x 1)

4

π

− = −
 
 
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ

BT 111. Giải:
2
cos x(cosx 1)
2(1 sin x).
sin x cosx
−
= +
+
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= − + π = π + π ∈
ℤ

BT 112.

+ + + + + =
 
 
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ

BT 115. Giải:
1
cotx cot x cotx cot x
6 6
3

π
 
π

+ + − = ⋅ − ⋅
   
   
ĐS:
x k , x k , (k ).
2 3
π π
= + π = − + π ∈
ℤ


1 1 1 1
(sinx cosx) 1 tanx cotx 0.
2 2 sinx cosx
 
+ + + + + + =
 
 
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ

BT 119. Giải:
5
sin4x 4sin 2x 4(sinx cosx).
2

π

+ + = +
 
 
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= + π = −π + π ∈
ℤ

sin x cos x cos 2x tan x tan x
4 4
 π   π 
− = ⋅ + ⋅ − ⋅
   
   
ĐS:
3 5
x k2 , x k2 , (k ).
4 4
π π
= − + π = + π ∈
ℤ

BT 123. Giải:
4 4
x x
sin cos 1 2sin x.
2 2
+ = −
ĐS:
x k , (k ).
= π ∈
ℤ

BT 124. Giải:
4 4 2
1
sin x cos x cos2x sin 2x 2 0.
4

π
= ± + π ∈
ℤ

BT 127. Giải:
6 6
2 2
sin x cos x 1
tan2x.
4
cos x sin x
+
=
−
ĐS:
x .
∈∅

BT 128. Giải:
4 4
3
cos x sin x cos x sin 3x 0.
4 4 2
 π   π 
+ + − − − =
   
   
ĐS:
x k , (k ).
4

cos x
cos x
 
+ − + + =
 
 
ĐS:
x k , (k ).
= π ∈
ℤ

BT 131. Giải:
2
2
1 1
sin x sin x
sin x
sin x
− = − ⋅
ĐS:
x k2 , (k ).
2
π
= ± + π ∈
ℤ

BT 132. Giải:
2
2
1 1

cos X 0
X k , (k )
2
sin x 1

=
π

= + π ∈ ⇔

=


ℤ
có phải là nghiệm hay không ?
– Bước 2. Khi
2
cos X 0
X k , (k )
2
sin X 1

≠
π

≠ + π ∈ ⇔

≠



⋅

+ + + + =

PP
→
Kiểm tra và chia hai vế cho
3 4
cos X 0 (hay cos X).
≠

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 21 -
VD 59. Giải:
2 2
9
cos (3 2x) 3 cos 4x 1 sin ( 2x)
2
 π 
π − − − = + π −
 
 
ĐS:

= − + π ∈
ℤ

VD 62. Giải:
2 2
tanx.sin x 2sin x 3(cos2x sinxcosx)
− = +
ĐS:
x k , x k , (k ).
4 3
π π
= − + π = ± + π ∈
ℤ

VD 63. Giải:
cos 2x
tan x 2 sin 2x 0
1 cot x 4
 π 
− + − =
 
+
 
ĐS:
1 5
x k , x arctan k .
4 2
π − ±
= + π = + π


k2
x , k \ 11 .
11
π
= ∈
ℤ

Bài tập rèn luyện tương tự
BT 133. Giải:
3
7 cosx 4cos x 4sin2x.
= +
ĐS:
5
x k , x k2 , x k2 .
2 6 6
π π π
= + π = + π = + π

BT 134. Giải:
3 3 2 2
sin x 3 cos x sin xcos x 3 sin xcos x.
− = −
ĐS:
x k , x k .
4 3
π π
= ± + π = − + π

BT 135. Giải:

BT 138. Giải:
3
2 2 cos x 3cosx sin x 0.
4
 π 
− − − =
 
 
ĐS:
x k , x k , (k ).
2 4
π π
= + π = + π ∈
ℤ

BT 139. Giải:
2
sin3x cosxcos 2x(tan x tan2x).
= +
ĐS:
x k , (k ).
= π ∈
ℤ
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam