__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
CẤU TRÚC ĐỀ THI MÔN TOÁN
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm).
Câu Nội dung kiến thức Điểm
I
 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
 Các bào toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm
số: Chiều biến thiên của hàm số; cực trị; tiếp tuyến; tiệm cận (đứng và
ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất
cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đương
thẳng)
3.0
II
 Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
 Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
 Bài toán tổng hợp.
3.0
III
Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón
tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón
tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
1.0
II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm).
Thí sinh học chỉ được chọn một trong hai phần sau: (phần 1 hoặc phần 2)
1). Theo chương trình chuản:
Câu Nội dung kiến thức Điểm
VI.a
Phương pháp tọa độ trong không gian:
+ Xác định tọa độ của điểm, vectơ
+ Mặt cầu.

+
++
=
2
và các
yếu tố liên quan.
 Sự tiếp xúc của hai đường cong.
2.0
1
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
 Hệ phương trình mũ và lôgarit.
 Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối
nón tròn xoay.
Hết
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT:
Cung/góc
GTLG
( )
0
0
0
( )
0
6
30
π
( )
0
4

( )
0
180
π
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1

3
−
1−
3−
P
II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
1. Công thức cộng:
cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = −o
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +o
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +o
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −o
tan tan
tan( ) ,( , ; )
1 tan tan 2
a b
a b a b k k
a b
π
π
+
+ = ≠ + ∈
−
o ¢
tan tan
tan( ) ,( , ; )
1 tan tan 2
a b
a b a b k k
a b
π

2
2 tan
tan
1 tan
a
a
a
=
−
o
2
1 cos2
sin
2
a
a
−
=o
4. Công thức biến đổi tích thành tổng:
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − + +o
[ ]
1
sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − − +o
[ ]

2 2
a b a b
a b
+ −
− = −o
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =o
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =o
sin( )
tan tan
cos cos
a b
a b
a b
+
+ =o
sin( )
tan tan
cos cos
a b
a b

x a k
x k
α π
α
π α π
= +

= = ⇔ ∈

= − +

o ¢
sin 2
sin ,( )
sin 2
x acr a k
x a k
x acr a k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

o ¢
cos cos 2 ,( )x a x k k
α α π
= = ⇔ = ± + ∈o ¢

2 2
a sin cos sin cos
sin
a b c
x b x c x x
a b a b a b
c
x
a b
α
+ = ⇔ + =
+ + +
⇔ + =
+
; Trong đó:
2 2
2 2
os
sin =
a
c
a b
b
a b
α
α

=

+

 ÷  ÷
   
o
2 2 2 2
cos4 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2x x x x x= − = − = −o
( )
2
sin cos 1 sin 2x x x± = ±o
3 3
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
x x x x x
 
+ = + −
 ÷
 
o
3 3
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
x x x x x
 
− = − +
 ÷
 
o
4 4 2
1

1
2
x
x
=o
( )
'
sin cosx x=o
( )
'
cos sinx x= −o
( )
'
2
1
tan
os
x
c x
=o
( )
'
1
.( )'.u u u
α α
α
−
=o
'
2

=o
3
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
( )
'
2
1
cot
sin
x
x
= −o
( )
'
2
'
cot
sin
u
u
u
= −o
( )
'
x x
e e=o
( )
'
.ln
x x

u
u
u
=o
( )
'
'
log
.ln
a
u
u
u a
=o
( )
'
' 'u v u v± = ±o
( )
'
. '. '.u v u v v u= +o
( )
'
. . 'k v k u=o
'
2
'. '.u u v v u
v v
−
 
=

+ Tính đạo hàm
'y
, giải phương trình
' 0y =
và tìm các điểm cực trị của hàm số.
+ Tính các giới hạn
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
.
+ Lập bảng biến thiên, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số.
+ Vẽ đồ thị: ( Tìm các điểm đặc biệt, tâm đối xứng của đồ thị, các giao điểm với truc Ox, trục Oy)
2. Các dạng đồ thị:
Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4
Có điểm cực đại và cực tiểu Có điểm cực đại và cực tiểu
0a >
0a <
0a >
0a <

y
x y
x

y
x

__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số:
3 2
3 4y x x= + −
.
Giải
* Tập xác định:
D = ¡
.
* Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)y x x x x= + = +
.
* Cho
0 4
' 0 3 ( 2) 0
2 0
x y
y x x
x y
= ⇒ = −

= ⇔ + = ⇔

= − ⇒ =

* Giới hạn:
lim ; lim
x x

0 4
ct
x y= ⇒ = −
.
*Đồ thị:
+ Đồ thị nhận điểm
( 1; 2)I − −
làm tâm đối
xứng.
+ Cho
1 0x y= ⇒ =
.
+ Cho
3 4x y= − ⇒ = −
.

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số:
4 2
2 3y x x= − −
.
Giải
* Tập xác định:
D = ¡
.
* Đạo hàm:
3 2
' 4 4 4 ( 1)y x x x x= − = −
.
* Cho

– 4 – 4
* Nhận xét:
+ Hàm số đồng biến trên
( 1;0)−
và
(1; )+∞
,
nghịch biến trên
( ; 1)−∞ −
và
(0;1)
.
+ Hàm số đạt cực đại tại:
0 3
cd
x y= ⇒ = −
.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại:
1 4
ct
x y= ± ⇒ = −
.
*Đồ thị:
+ Cho
2 5x y= − ⇒ =
.
+ Cho
2 5x y= ⇒ =
.


−
=
+
.
* Giới hạn; các đường tiệm cận:
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(C) của hàm số:
1
1
x
y
x
+
=
−
.
Giải
* Tập xác định:
{ }
\ 1D = ¡
.
6
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
lim ?; lim ?
d d
x x
c c
y y
+ −
→− →−

+∞

a
c
y
a
c

−∞
+TH:
' 0y <
x
−∞

/d c−

+∞
y’ – –

a
c

+∞

y
−∞

a
c
* Đồ thị:

lim ; lim
1 1
x x
x x
x x
+ −
→ →
+ +
= +∞ = −∞
− −
o

⇒
Tiệm cận đứng:
1x
=
+
1
lim 1
1
x
x
x
→±∞
+
= ⇒
−
o
Tiệm cận ngang:
1y =

Bài tập 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
3 2
3 1y x x= + −
5.
3 2
2 3y x x= −
9.
3 2
3 1y x x= − + −
2.
3 2
3 1y x x= − +
6.
3 2
6 9y x x x= − +
10.
3
3 2y x x= − + −
7
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
3.
3 2
3y x x= +
7.
3 2
3y x x= − +
11.
3 2
3 2y x x= − − +

4 2
4y x x= − +
3.
4 2
1
2 1
4
y x x= − + +
6.
4 2
2 1y x x= − +
Bài tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
1
2
x
y
x
−
=
+
4.
2 3
1
x
y
x
−
=
+

x
y
x
+
=
−
8.
3 2
1
x
y
x
−
=
+
11.
2 1
2
x
y
x
+
=
−
3.
2 1
1
x
y
x

13.
1
2
x
y
x
+
=
−

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐÉN KHẢO SÁT HÀM SỐ
BÀI TOÁN 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp Ví dụ
+ Tìm tập xác định.
+ Tính đạo hàm
' '( )y f x=
. Tìm các điểm
i
x
( i = 1,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định.
+ Sắp xếp các điểm
i
x
theo thứ tự tăng dần
và lập bảng biến thiên.
+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến
nghịch biến ( Hàm số đồng biến trên khoảng
mà
'( ) 0f x >

−∞
– 1 2
+∞
y’ + 0 – 0 +

+∞
y

−∞

* Kết luận:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ; 1)−∞ −
và
(2; )+∞
và nghịch biến trên
( 1;2)−
.
Bài tập: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:
3
3 1y x x= − +
(TN THPT 2007 – lần 2).
BÀI TOÁN 2: Định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định .
1. Định lí về dấu của tam thức bậc 2:
Cho tam thức bậc 2:
2
( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠
có
2
4b ac∆ = −

, ( )x x x x<
ta có bảng xét dấu:
x
−∞
1
x

2
x

+∞

f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
2. Định giá trị của m:
Đối với hàm bậc 3
3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠
Đối với hàm nhất biến:
;
ax b d
y x
cx d c
+
 
= ≠ −
 ÷
+
 
+ Tập xác định:
D = ¡

y x D
a
⇔ ≥ ∀ ∈
>

⇔

∆ ≤

+ y nghịch biến trên D
' 0 ,
0
0
y x D
a
⇔ ≤ ∀ ∈
<

⇔

∆ ≤

+ y đồng biến trên
từng khoảng D
' 0 ,
. . 0
y x D
a d b c
⇔ ≥ ∀ ∈
⇔ − ≥

0
2 3
3
0
6 0
a
a
m
m m

= − >
>


⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
∆ ≤


− − ≤

Ví dụ: Định m để hàm số:
(2 1) 3m x
y
x m
− +
=
+
.
đồng biến trên tập xác định.

≥ ⇔ − − ≥ ⇔

≥

BÀI TẬP
1. Cho hàm số:
3 2
( 2) ( 1) 2 (1)y x m x m x= + + − − −
. Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác
định của nó.
2. Cho hàm số:
3 2
2 3 2 1 (1)y x x mx= + − +
. Định m để hàm số (1) đ.biến trên tập xác định của nó.
3. Cho hàm số:
2 3 2
1
( 1) ( 1) 2 1 (1)
3
y m x m x x= − + − − +
. Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập
xác định của nó.
BÀI TOÁN 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b] .
Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên đoạn
[ ]
;a b
Phương pháp Ví dụ
* Tính đạo hàm

* Cho
0 ( )
' 0 3 ( 2) 0
2 ( )
x N
y x x
x L
=

= ⇔ − = ⇔

=

* Ta có:
( 1) 4; (0) 2; (1) 0y y y− = = =
* Vậy:
[ ]
1;1
max 4y
−
=
đạt được tại
1x
= −

[ ]
1;1
min 0y
−
=

3
y x x x= − + −
trên đoạn
[ ]
0;2
5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
ln(1 2x)y x= − −
trên đoạn
[ ]
2;0−
(TN THPT 2009)
6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
(3 )
x
y x e= −
trên đoạn
[ ]
3;3−
7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2x
y x e= −
trên đoạn
[ ]
1;0−
8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
3 ln xy x x= + −
trên đoạn
[ ]

x
= +
+
trên đoạn
[ ]
1;2−
(TN Bổ túc 2013)
Giải:
1. + Đạo hàm:
2
' 3 6 3 ( 2)y x x x x= − = −

+ Cho
0 ( )
' 0 3 ( 2) 0
2 ( )
x N
y x x
x N
=

= ⇔ − = ⇔

=

+ Ta có:
(0) 1; (2) 3y y= = −
Vậy:
[ ]
0;2


+ Ta có:
(0) 1; (1) 0; (2) 9y y y= = =
Vậy:
[ ]
0;2
max 9y =
đạt được tại
2x
=

[ ]
0;2
min 1y =
đạt được tại
0x
=
3. + Đạo hàm:
2
' 6 12 6 ( 2)y x x x x= − = −

+ Cho
0 ( )
' 0 6 ( 2) 0
2 ( )
x N
y x x
x L
=


1 ( )
' 0 4 3 0
3 ( )
x N
y x x
x L
=

= ⇔ − + = ⇔

=

+ Ta có:
17 19
(0) 7; (1) ; (2)
3 3
y y y
− −
= − = =
Vậy:
[ ]
0;2
17
max
3
y
−
=
đạt được tại
1x

y
) cho trước.
* Cách giải: + Thay
0
x
vào đồ thị (C) và rút ra
0
y
0 0
( ; )M x y⇒
+ Thay
0
y
vào đồ thị (C) và rút ra
0
x
0 0
( ; )M x y⇒
* Lưu ý: + Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Ta có:
0 0
0x y= ⇒
+ Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành. Ta có:
0 0
0y x= ⇒
2). Có hệ số góc k cho trước:
* Phương pháp: Giải pt:
'( )f x k=
tìm nghiệm
0
x

a
= − ⇒ = −
, từ pt:

1
'( )f x
a
= −
ta tìm
0
x
, rồi thay
0
x
vào đồ thị của hàm số để rút ra
0
y
.
Ví dụ 1:Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết PTTT với đồ thị (C).
1. Tại điểm có hoành độ bằng –1. 2. Tại điểm có tung độ bằng 2.
3. Tại giao điẻm của đồ thị với trục hoành. 4. Tại giao điẻm của đồ thị với trục tung.

k y= − = =
− +

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
2 3( 1)y x+ = +
hay
3 1y x= +
.
2. Theo y/cầu bài toán, ta có:
0
0 0
0
1
2 2 5
2
x
y x
x
−
= ⇔ = ⇒ = −
+
. Hệ số góc:
2
3 1
'( 5)
3
( 5 2)
k y
= − = =
− +

(1 2)
k y= = =
+

11
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
1
( 1)
3
y x= −
hay
1
3 3
x
y = −
.
4. Theo y/cầu b.toán, ta có:
0 0
0 1 1
0
0 2 2
x y
−
= ⇒ = = −
+
. Hệ số góc:
2
3 3
'(0)

3. Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d):
9
1
2
y x= +
.
Giải
* Ta có:
2
2
'
( 1)
y
x
−
=
−
.
1. Theo yêu cầu bài toán, ta có:
0
2
0 0
2
0
0
0
2
'( ) 2 2 ( 1) 1
2
( 1)

nên hệ số góc:
0
1
'( )
2
k y x= = −
Ta có:
0
2
0 0
2
0
0
1
1 2 1
'( ) ( 1) 4
3
2 ( 1) 2
x
y x x
x
x
= −

−
= − ⇔ = − ⇔ − = ⇒

=
−


y x= +
nên hệ số góc:
0
2
'( )
9
k y x= = −
Ta có:
0
2
0 0
2
0
0
2
2 2 2
'( ) ( 1) 9
4
9 ( 1) 9
x
k y x x
x
x
= −

−
= = − ⇔ = − ⇔ − = ⇒

=
−

2 3
1
x
y
x
+
=
+
tại điểm có hoành độ
0
3x = −
(TN THPT 2006).
2. Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +
có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm cực đại (TN THPT 2007).
3. Cho HS
3 2
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm có tung độ bằng –2 .(TN THPT
2008).
12
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
4. Cho HS

BÀI TOÁN 5: Dùng đồ thị (C): y = f(x) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x;m)
=0 .
* Phương pháp:
+ Biến đôi và đưa phương trình về dạng:
( ) ( )f x f m=
(1).
+ Đặt:
( ) ( )y f x C=

( ) ( )y f m d=
: là đường thẳng song song với trục Ox.
+ Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và (d). Dựa vào đồ thị, ta
có:
Hàm số bậc ba:
3 2
y ax bx cx d= + + +
Hàm số bậc bốn:
4 2
y ax bx c= + +
Đồ thị Biện luận Đồ thị Biện luận
y

x

O
*
cd
ct
m y
m y

*
ct
m y= ⇒
(1) có 2 nghiệm
*
ct cd
y m y< < ⇒
(1) có 4
nghiệm
*
cd
m y= ⇒
(1) có 3 nghiệm
*
cd
m y> ⇒
(1) có 2 nhiệm
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(C) của hàm số:
3
3y x x= −
. Dựa vào đồ thị
(C), hãy biện luận theo m số nghiệm của
phương trình:

3
3 1 0x x m− + − =
.
Giải
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của

− + − = ⇔ − = −
* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm
của đồ thị (C) với đường thẳng
1y m= −
.
Dựa vào đồ thị (C), ta có:
+ Nếu
1 2 3
1 2 1
m m
m m
− > >
 
⇔
 
− < − < −
 
thì phương
trình (1) có 1 nghiệm.
+ Nếu
1 2 3
1 2 1
m m
m m
− = =
 
⇔
 
− = − = −
 

3 nghiệm.
+ Nếu
2 1 1m m
− > − ⇔ >
thì phương trình (1) có
2 nghiệm.
Chú ý: Phương trên chỉ áp dụng cho trường hợp hàm số bậc ba hoặc bậc bốn có cả điểm cực đại
và cực tiểu.
Ví dụ: Cho hàm số:
3 2
3 2y x x= − + −
, gọi đồ thị
của hàm số là (C).
1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2). Tìm các giá trị của tham số m để phương
trình
3 2
3 3 0x x m− + + =
có 3 nghiệm phân biệt.
Giải
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số: (Học sinh tự làm)
* Đồ thị: 2). Tìm các gí trị của m để ……

3 2 3 2
3 3 0 3 2 1 (1)x x m x x m− + + = ⇔ − + − = +

2). Tìm các gí trị của m để ……
* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của
đồ thị (C) với đường thẳng
2 1y m= −
. Để
phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì:
1 5
0 2 1 4
2 2
m m< − < ⇔ < <
BÀI TẬP
Bài 1. Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= + −
có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của
phương trình
3 2
2 3 1x x m+ − =
( TN THPT năm 2008 – lần 1).
Bài 2. Cho hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + −
có đồ thị (C). Tìm giá trị m để phương trình
3 2
6 9 0x x x m− + − =
có 3 nghiệm phân biệt.
14
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
Bài 3. Cho hàm số
4 2

( 1) 2y x m x x= + − + −

có cực đại, cực tiểu.
Giải
Tính đạo hàm:
2
' 3 2( 1) 1y x m x= + − +
Ta có:
2 2
' ( 1) 3.1 2 2m m m∆ = − − = − −
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì:
2
1 0
1 3
' 2 2 0
1 3
a
m
m m
m

= ≠
< −

⇔


∆ = − − >
> +


. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
4). Cho hàm số
4 2
2( 1)y x m x m= − − +
. Xác định m để hàm số có 3 cực trị
5). Cho hàm số:
2
( ) 2 12f x x x= − +
. Giải bất phương trình:
'( ) 0f x ≤
. (TN THPT 2010)
BÀI TOÁN 7: Định m để hàm số nhận điểm
0
x
làm điểm cực đại (cực tiểu).
Phương pháp Ví dụ:
*Điểm
0
x
là điểm cực đại
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
y x
=

⇔


2 2
' 2( 1) 3 4y mx m x m m= + − + −
Để hàm số nhận điểm
0
1x =
làm điểm cực đại thì:
2
2
1
'(1) 0
3 2 0
2
3
''(1) 0
1
3
4 2 0
2
m m
y
m m
m
y
m
m

= ∨ = −

=


3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
. Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại
0
2x =
15
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
4). Xác định giá trị của tham số m để hàm số
3 2
2 1y x x mx= − + +
đạt cực tiểu tại
1x
=
. (TN
2011)
BÀI TOÁN 8: Chứng minh hàm số y = f(x,m) luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m
Phương pháp Ví dụ
*Chứng tỏ f’(x,m) luôn có nghiệm và đổi
dấu khi x đi qua các nghiệm đó.
+ Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y’ = 0 có
'
0
y
m∆ > ∀
.
+ Với hàm số bậc bốn, tùy theo yêu cầu
của bài toán để tìm giá trị của m sao cho
y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có ba nghiệm).
Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị hàm số:
3 2

x
xx
y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Xác định m để đồ thị hàm số
2
54)4(
22
−+
−−−−−−
=
mx
mmxmx
y
có các tiệm cận trùng với
các tiệm cận tương ứng của hàm số ở trên.
Bài 2: (Đề thi TNBT 2004)
Cho hàm số
323
43 mmxxy +−=
có đồ thị (C
m
); (m là tham số).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C
1
) khi m = 1.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C
1
) tại điểm có hoành độ

x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C)
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
)3;1(−A
Bài 5: (Đề thi TNTHPT phân ban 2006)
Cho hàm số
23
3xxy +−=
có đồ thị (C).
16
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Dựa vào đò thị (C), biện luận theo m nghiệm của phương trình
03
23
=−+− mxx
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
Bài 6: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2006)
Cho hàm số
xxxy 96
23
+−=
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C).
3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng
mmxy +−=

2
1
−
−+=
x
xy
có đồ thị (H).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại điểm
)3;0(A
.
Bài 10: (Đề thi TNTHPT phân ban 2007)
Cho hàm số
12
24
+−= xxy
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Bài 11: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2007) lần 2.
Cho hàm số
23
3
+−= xxy
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm
)4;2(A
Bài 12: (Đề thi TNTHPT phân ban 2007) lần 2.
Cho hàm số

.
Bài 15: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2008)
Cho hàm số
24
2xxy −=
17
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
2
−=
x
.
Bài 16: (Đề thi TNTHPT phân ban 2008)
Cho hàm số
132
23
−+= xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
mxx =−+ 132
23

Bài 17: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2008) lần 2.
Cho hàm số
1
12
−
−
=

Bài 20: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2009)
Cho hàm số
43
23
+−= xxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng
4=y
.
Bài 21: (Đề thi TN THPT 2009)
Cho hàm số
2
12
−
+
=
x
x
y
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5
Bài 22: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2010)
Cho hàm số
2
13
+
+
=
x

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
Bài 25: (Đề thi TN THPT 2011)
Cho hàm số
12
12
−
+
=
x
x
y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
2+= xy
.
18
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
Bài 26: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2012)
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

LÔGARITH
1. Lũy thừa với số mũ nguyên:
( 0; , )a m n≠ ∈¢
0 .
* 1( 0) * . * ( ) * ( . ) .
1
* * *
m n m n m n m n m m m
m
m m
n m n
n n m
a a a a a a a a b a b
a a a
a a
a a b b
+
− −
= ≠ = = =
 
= = =
 ÷
 
2. Căn bậc n:
* Định nghĩa: Cho số thực b và số nguyên dương
2n
≥
Số a được gọi là căn bậc n của số b, nếu :
n
a b=

n
=
 b > 0 : tồn tại 2 căn bạc n của b là:

;
n n
b b−
( )
m
n m
n
a a=o

.
.
n
m n m
a a=o
m
n m
n
a a=o

.n m m
a a=o
3. Lũy thừa với với số mũ thực:
( 0; , )a
α β
> ∈¡
.a a a

.
a a
β
α α β
=o
4. lôgarith.
a. Định ngĩa: Cho a, b > 0 ,
0a ≠
, ta có:
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
b. Công thức: Cho
0; 1, , 0.a a M N> ≠ >
log 1 0
a
=o

log ( . ) log log
a a a
M N M N= +o

log 1
a
a =o

log log log

a
b
b
a
=o
c. Công thức đổi cơ số: Cho
, , 0; 1, 1a b c a c> ≠ ≠
. Ta luôn có:
log
log
log
c
a
c
b
b
a
=
d. So sánh lôgarit: Cho
0; 1a a> ≠
+ Nếu
1 : log log
a a
a M N M N> > ⇔ >
+ Nếu
0 1 : log log
a a
a M N M N< < > ⇔ <
e. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên: Số
1

a b x b
= ⇔ =
+ với b < 0, suy ra: phương trình vô nghiệm
b. Phương pháp giải PT mũ thường gặp:
+ Đưa về cùng cơ số.
+ Đặt ẩn phụ
( , 0)
x
t a t= >
+ Lôgarit hóa.
a. Phương trình lôgarit cơ bản:
Dạng:
log , ( 0, 1)
a
x b a a= > ≠
Ta có:
log
b
a
x b x a
= ⇔ =
b. Phương pháp giải PT lôgarit thường gặp:
+ Đưa về cùng cơ số.
+ Đặt ẩn phụ (không cần đặt điều kiện cho ẩn
phụ)
+ Mũ hóa.
* Chú ý: Cần nắm thật vững hai phương pháp (pp đưa về cùng cơ số và pp đặt ẩn phụ để giải PT,
BTP
20
o

a a f x g x= ⇔ =
* Phương trình lôgarit:
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
>


= ⇔ >


=

* Bất phương trình mũ:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x> ⇔ >
* Bất phương trình lôgarit:
( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
g x
f x g x
f x g x

Dạng toán Ví dụ
Dạng 1: Phương trình mũ bậc 2.
2
. . 0 (1).
x
x
m a n a p+ + =
Phương pháp:
+ Đặt
,( 0).
x
t a t= >
Ta được pt:
2
. . 0mt n t p+ + =
+ Giải pthương trình trên tìm nghiệm t (đk: t
> 0)
+ Giải phương trình:
log
x
a
t a x t= ⇔ =
.
+ Kết luận nghiệm của phương trình (1).
Ví dụ: Giải phương trình:
2 +1
3 4.3 1 0
x x
− + =
Giải:

+ Với
3
1 1 1
3 log 1
3 3 3
x
t x= ⇔ = ⇔ = = −
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x = 0; x = –1.
Dạng 2:
. . 0 : . 0
x
x x
x
n
m a n a p hay m a p
a
−
+ + = + + =
Phương pháp:
+ Đặt
,( 0).
x
t a t= >
Khi đó:
1 1
x
x
a
a t
−

t nhan
t t t
t loai
t
=

− − = ⇔ − − = ⇔

= −

+ Với
6
6 6 6 log 6 1
x
t x= ⇔ = ⇔ = =
Vậy PT đã cho có 1 nghiệm: x = 1.
Dạng 3: BPT mũ
( ) ( )
(1).,(0 1).
f x g x
a a a≤ < ≠
Phương pháp:
+ Nếu 0 < a < 1: thì pt (1)
( ) ( )f x g x⇔ ≥
(BPT đổi chiều).
+ Nếu a > 1: thì pt (1)
( ) ( )f x g x⇔ ≤
- Đối với BPT:
( )f x
a c≤

[ ]
1;2
21
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
+ Nếu a > 1, ta có
( ) log
a
f x c≤
.
Dạng 4: Biến đổi đưa phương trình về dạng:

log ( ) log ( )
a a
f x g x=
(lô ga rít hóa
2 vế)
Phương pháp:
+ Dùng các công thức tính toán, cộng, trừ
lôgarit để biến đổi.
+ Cần chú ý đến điều kiện của các biểu thức
dưới dấu lôgarit.
Ví dụ: Giải phương trình:
3 9
log (9 ) log 5x x+ =
.
Giải:
Điều kiện:
0
0
9 0

m f x n f x p+ + =
Phương pháp:
+ ĐK: f(x) > 0.
+ Đặt
log ( )
a
t f x=
, ta được:
2
. . 0mt n t p+ + =
. Giải phương trình tìm t.
+Giải pt:
log ( ) ( )
t
a
f x t f x a= ⇔ =
để tìm x.
+ Kết luận nghiệm của PT.
Vídụ: Giải PT:
2
2 2
4log 3log 10 0x x− − =
.
Giải:
ĐK: x > 0.
Đặt
2
logt x=
, ta được:
2

>


>

+ Nếu
0 1x
< <
,ta có:
( ) ( )f x g x>
(BPT đổi
chiều).
+ Nếu
a 1
>
, ta có:
( ) ( )f x g x<
- Đối với BPT:
log ( )
a
f x c<
.
+ Nếu
0 1x
< <
,ta có:
( )
c
f x a>
(BPT đổi


. Khi đó:
2 2
1
log log (3 1) 3 1
2
x x x x x≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≤
.
Kết hợp với ĐK, ta được tập nghiệm là:
1 1
;
3 2
T
 
=


 
b). ĐK:
2 1 0
1
2 0
2
x
x
x
− >

⇔ >


2 3 5 5
2 .8
−
c).
2
1,5
3
(0,04) .(0,125)
−
−
d).
2 3 3 1 2 3
(4 4 ).2
− −
−
22
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
e).
5
4
2
3
5
4
5 0,2
−
−
−
 
 

k).
3 81
2log 2 4log 2
9
+
l).
9
log 27
3
m).
2
log 32
4
n).
2
1 log 3
8
−
o).
49
log 15
7
p).
5 20
2 5 1 5
6
4 .9
+
+ +
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

). 9 36.3 3 0
). 4 10.2 24
). 5 5 250
).2 2 17 0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
a
b
c
d
e
f
+
+ −
−
− +
+ +
− − =
− + =
− + =
− =
+ =
+ − =

2 1
6 3

+ =
+ − =
− − =

( ) ( )
1 3
3 1
1
). 3 5.3 12
1 1
). 128 0
4 8
). 2 3 2 3 14
). 3 3 2 0 ( 2013)
x x
x x
x x
x x
o
q
r
s tn
+ −
−
−
− =
   
− − =
 ÷  ÷
   

4 4
).log ( 2) log ( 3) log 12
). log ( 2) log ( 3) 1
).log log ( 1) 1
). log ( 4) log ( 1) 1
). log ( 3) log ( 1) 2
f x x
g x x
h x x
i x x
j x x
− + − =
− + − =
+ − =
− − + =
+ − − =
2 3 4
1 4
4
3 3 3
1 4
4
).log (log (log )) 0
). log (3 1) log (2 3 )
).log (9 1) log (2.3 1) log 2
). log ( 5) 2log ( 1) 0
x x
x x
x x
k x

− − =
Bài tập 5: Giải các bất phương trình sau:

2
2
2
2
2 1 3 2
2 3 2
3
3
1
1
1 2 5
). 7 ).
7 5 2
1 1
). 2 ). 9
4 3
1
). 5
25
x x x
x x
x x
x x
x
x
a d
b e

x x
x x
x x
f
g
h
i
j
+ − −
− − +
+
− ≤ −
− > −
− + ≥
− − <
> +

23
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
Bài tập 6: Giải các bất phương trình sau:

2 2
2 2
1
2
2
1
2
1 1
3 3

2
1 2
2
1 5 1
5 5
3 5
1
2
2
3 1
2
2 2
4 4
2
3 3
). log ( 6 5) 2log (2 ) 0
). log log ( 2) log 3
). log (2 15) 0
1
). log log 1
16
). log ( 2 ) log ( 4)
). log 2 5log 2 4 0
x
i x x x
j x x
k
l x
m x x x
n x x

α
+
= +
= + ≠ − ∈
+
∫
∫
o
o ¡
2
1 1 1
2
dx C dx x C
x x
x
= − + = +
∫ ∫
o o
24
__ Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán
1
1 1
( ) . ( )
1
1
1 1
ln
1
os( ) sin( )
1

= +
= + +
+
+ = + +
+ = − + +
= = − +
= = +
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
o
o
o
o
o
o
o
2 2
2
2
2
2
cos sin
sin cos
1
(1 tan ) tan

e dx e C
a
a dx C
a
= +
= +
= +
∫
∫
∫
o
o
o
3. Định nghĩa tích phân:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn
[ ]
;a b
.
Hiệu: F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) .Kí hiệu:
( )
b
a
f x dx
∫
Công thức:
( ) ( ) ( ) ( )
b

b
a
f u x u x dx f t dt
β
α
=
∫ ∫
Ví dụ: Tính
2
sin
0
. os
x
I e c xdx
π
=
∫
Giải
Đặt
sin ost x dt c xdx= ⇒ =
Đổi cận:
0 0
1
2
x t
x t
π
= ⇒ =



=
=


⇒


= =


+ Thế:
Ví dụ: Tính
1
2
0
1I x x dx= +
∫
Giải
Đặt
2 2 2
1 1 2 2t x t x tdt xdx= + ⇒ = + ⇒ =

tdt xdx
⇒ =
Đổi cận:
0 1
1 2
x t
x t
= ⇒ =