Cộng ho x hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập-tự do-hạnh phúc

o0o đề tài
Phân loại bài toán
tính thể tích khối tròn xoay I. sơ yếu lí lịch
Họ và tên: Nguyễn Đông Bắc
Sinh ngày: 31/10/1980
Năm vào nghành: 09/2007
Ngày vào Đoàn TNCS Hồ Chí Minh: 22/12/1998
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trờng THPT Vạn Xuân
Trình độ: Cử nhân Toán
Hệ đào tạo: Chính quy
Bộ môn giảng dạy: Toán
Ngoại ngữ: Anh
Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 2
II. Nội dung đề ti:
1. Tên đề tài:
Phân loại bài toán
tính thể tích khối tròn xoay
2. Lý do chọn đề tài:

Bài tập
:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đờng sau quanh trục Ox.
a) ;
; 0==
x
yey
0; 2==
x
x
.
b) ;
2
=yx
=yx

c) ; .
22
8+=xy
2
2=yx

Kết quả thống kê đợc nh sau: Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.
Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 3
Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.

Bớc 4:
Kết luận công thức tính thể tích vật thể là:
().
b
a
VSxd=

x2. Các phép biến đổi đồ thị:
Cho hàm số
()
y
fx
=
có đồ thị (C).
- Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Ox ta đợc đồ thị (C
1
):
()
y
fx=
.
- Lấy đối xứng đồ thị (C) qua trục Oy ta đợc đồ thị (C
2
):
()
y
fx=

=


=


=
=

Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.
Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 5
Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.
Nằm phía trên trục Ox Nằm phía dới trục Ox
Công thức tính:
[]
2
.().
b
ox
a
Vfx=

dx

Ví dụ
:
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau khi


Thể tích khối tròn xoay là:

15
(đvtt)
2
ox
V =
b)
Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 6
Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.
Nhận xét: Trục Ox có phơng trình y=0, bài toán này đúng dạng nhng cha cho
các cận lấy tích phân x=a; x=b, ta tìm nó bằng cách giải phơng trình tơng
giao.
Lời giải
:
Hoành độ giao điểm của
2
2. 3
y
xx= với trục Ox là
nghiệm của phơng trình:

2
c)
Nhận xét
: Trục Ox có phơng trình y=0, bài toán này đúng dạng nhng cha đủ
cận lấy tích phân và đồ thị của nó ta cha biết cách vẽ, ta tìm cận còn lại bằng
cách giải phơng trình tơng giao.
Lời giải
:
Hoành độ giao điểm của
.
x
y
xe=
với trục Ox là nghiệm của phơng
trình:

.0
x
0
x
ex==

Công thức tính thể tích:
11
22
00
(. ).
ox
Vxedx= =

Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 7
Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau khi
quay quanh Ox:
a)
2
;
y
=2-x, Ox.yx= b)
2
2. 3;
y
=0.yx x=
Bài giải
:
a) Hoành độ giao điểm của
2
():
P
yx= và là nghiệm
của phơng trình:
(d): y=2-x
2
x=1
x=2-x
x=-2 (loại)





b) Hoành độ giao điểm của
3
(): Hy
x
=
và là
nghiệm của phơng trình:
(d): y=7-2x
x=3
3
=7-2x
1
x
x=
2







Ta có: S=S
1
- S
2
V=V
1
- V
2

sau khi quay quanh Ox:
sin ; Ox; x=0; x=2 .yx=
Bài giải:
Ta có: S=S
1
+S
2
V=V
1
+V
2
Công thức tính thể tích là:
()
2
2
2
0
2
2
0
(sin ) . sin .
= (sin ) .
ox
Vxdxx
xdx



= +


(P):
y
=2x là nghiệm của phơng
trình:
2
22
2
42
(2 ) 8 2
2 (loại)
2 (loại)
xx
xx x
x
x

==

+= =


=
=



Ta có: do tính đối xứng của (C) và (P) khối tròn xoay quay bởi S là khối tròn
xoay quay bởi S
1
S

28
2
02
2. 8 .
= 2 . 8 .
ox
Vxdx x
xdx x dx
= +
+


dx

Thể tích của vật thể là:
16 8 28
(đvtt)
3
ox
V

=

Nhận xét
: ở bài toán này hình phẳng gồm 2 phần đối xứng nhau qua trục Ox,
khối tròn xoay tạo thành có đợc bằng cách quay một phần quanh trục Ox.
Ví dụ 3
: Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng
sau khi quay quanh Ox: ; .
3; 1; 1; 3= = = =yxy xx

=
và là nghiệm của phơng trình:
y=3-x
31xx2

= =

Công thức tính thể tích là:
23
2
12
(3 ) .
ox
V x dx dx= +

Thể tích của vật thể là:
10
(đvtt)
3
ox
V =

Nhận xét
: ở bài toán này hình phẳng gồm 2 phần phần S
1
nằm phía trên và S
2

6
x + sin
6
x ; y = 0; x = /4; x = /2
e) y = xe
x
; y = 0; x = 0; x = 1
f) y=
x .lnx; y = 0; x =1; x = e
g) y =
4
x
; y = 0; x = 1; x = 4 h) y = 2x, y = x + 3, Ox
i) y = x
2
, y = 2 x, Ox j) y = x
2
,y = 2 x, Oy
k) y =
3
x
, y = 2x + 7 l) y = 1 x, y = 3 2x x
2

Bài 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng
sau khi quay quanh Ox:
a) y = 3x x
2
; y = 0 b) y = x
2

V. Các kiến nghị sau khi thực hiện đề ti:
Sau khi thực hiện đề tài này tôi thấy đề tài có xuất phát điểm là những kiến
thức tơng đối đơn giản, t duy rõ ràng, tự nhiên, dễ hiểu có thể áp dụng cho các
học sinh từ trung bình, hiệu quả của đề tài tơng đối tốt. Tôi đề nghị các thầy cô
dạy khối 12 cố gắng dành một tiết tự chọn để đề cập tới chủ đề này. Đề ti: Phân loại bi toán tính thể tích khối tròn xoay. Trang 11
Các tài liệu tham khảo chính:
01. SGK Hình học 12
02. SGK Giải tích 12
03. Tuyển tập các phơng pháp tính tích phân- Trần Phơng. Hoài Đức, tháng 05 năm 2009
Ngời thực hiện:

Nguyễn Đông Bắc. VI. đánh giá của hội đồng thẩm định:
Ngời thực hiện: Nguyễn Đông Bắc.