MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC
TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN
!"#"$%&'"(%&)*&
+,"$& ''/.'"0'(1""*(10"*2
Bài toán 1:/3405''678'"
9
)n +
$:6:8
9 9n n+
!&&&%&$;,"&;21<+,"%&)=><+,"
%&8+8'" ?
Bài toán 2:/3405''678'"
9
@)5&:,"A2
(Đề thi chọn đội tuyển của Inđônêxia dự thi Toán Quốc tế năm 2009) .
Lời giải của bài toán 2:
!B?405''67@)(
∈
#
C
*
/?DEF&G4;'67@)(
∈
#
C
*H-$F
≠
I0JK
∈
F2D+'LF&GM2DE
N
H
∀
∈
UNH)H9OHV2WQ(9
N
)
O
*
9
@)
≡
N(7T*
⇒
X)&'Y8(7T*0&TZ2
["
q
q
q
q
⇒
−
⇒=−⇒=
/_ " = '" 0` + %& 92 D+ 'L & ' 6 7 @ ) (
∈
#
C
*
⇒
))*)(
)
9
)
−⇒=−=
−
−p
p
&'Y8(7*
⇒
∃
∈
≥
)−p
2^J405''67@)(
∈
#
C
*64
05''678'"
9
@)5&:,"A
Bài toán 3:/3405''678'":6:;,"
9
@)
:89
(Tạp chí Animath của Pháp năm 2006)
Lời giải của bài toán 3: D+'L&'67@)(
∈
#
C
*
["
))*)(
)
9
)
−⇒=−=
∃
T
∈
UNH)H9HOH
9
)−p
V'"T
9
≡
X)(7*2
G0G+'L
9
)−p
cac
⇒
a
≥
9
)+p
2\QTdeaH"$?
T
9
d(ea*
9
≡
a
9
))*)(
)
9
)
−⇒=−=
−
−p
p
&'Y8(7*
⇒
∃
a
∈
UNH)H9HOX)V'"a
9
≡
X)(7*2
^Ja
9
−
−
α
9
)p
9
≡
X)(7*
\Qd
−
−
α
9
)p
⇒
∈
cX^J
9
≡
X)(7*6
9
≡
X(7*
WQ
9
d(e)X9
α
*
9
≡
(9
α
@)*
9
(7*
⇒
(9
α
@)*
9
≡
X(7*
\B$&B05i0JNc(9
#
C
*6405''678'":6:;,"
9
@)
:8
9 9n n+
2
Lời giải thứ 2 của bài toán 1:D+'L&'6H
≥
92D+'L&:6,"(A*
9
@)2j=
6S2D+'La
∈
(NH
9
p
*&'7g"AQeA2-RNcaceac2"Ra
9
@)
"2G0G4
∈
b'"Ad@aQeAd@a2+"<"B$
(A*
9
@)d(@a*
9
@)
⇒
≥
9a@
−p
⇒
X
≥
9a@
−p
X
≥
9a@
9N
eS9a
⇒
≥
9a@
−p
S9a@
x9
> '"B+
Bài toán sau là bài toán tổng quát của bài toán 1
Bài toán 4:/3405''678'"
9
@)$:6:89@
9
n
Bài toán 5:/30:I'6
≥
hH4Q'678Z(a
9
k
H
9
nn
nn
yx
Y
yx
−
=
+
*H(fd
9
k
H
9
nn
nn
yx
Y
yx
+
=
−
*+l
)99
9k
+
=+
d9
@)
^Ja
H
Z6a
d9@)H
d9@)(H
∈
b*
)
9
++=
+
⇒ lk
yx
nn
0&
lk
yx
nn
−=
−
9
2\B$P3m'
9
$Y;`
n6(aH*
(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia năm học 2009 – 2010)
Lời giải: :"30:I'6
≥
94Q'678Z(a
H
*'"
'"
n
nn
yx )K
99
=+
G0G0:d9HEa
9
d)H
9
d)
D+'L0:
≥
94Q'678Z(a
H
*'"'"
n
nn
+
*+l
)99
)K
+
=+
n
YX
G0G
99
9
)K
9
)K
±
+
nnnn
xyxy
nn
−=
+−+
=
−
9
*)9(*)9(
9
2\B$P3m'
9
H
9
nn
nn
xy
yx
−
+
&Z2^J
0G0:@)4'n6Za
@)
0&
@)
+l
)9
)
9
)
)K
+
9
H
9
*HOH(a
H
*$(aH*d
(9a
H9
*()
≤
≤
*&`n6,"8J
n
yx )K
99
=+
@)
2.68
J
n
yx )K
99
=+
@)
$)`n6Z2^G8o
5"
.riPs.""$a
X)
≡
)(7*
⇒
a
T@9
≡
)(7*28n
T@9
≡
)(7*2"$a
9
@
9
⇒
a
9
≡
X
9
(7*
−
+
99
&'6
0&
yx
yx
−
+
99
&:,")K2\Qd
yx
yx
−
+
99
Ja
9
@
9
d(ae*0&&:,")Kdh2K2k2)2#R
h
w
dh
)
(
)
∈
#
C
Ha
)
S
)
*
⇒
*(
)))
9
)
9
)
yxkyx −=+
2#Rd)Ja
9
@
9
dae2\$&B05Y0Ja
9
@
9
≥
a@Sae(0JaH
≥
)*
#dKJa
∈
#
C
Ha
9
S
9
*0&
*(
999
9
9
9
9
yxkyx −=+
#
)J4
h
∈
#
C
'"d)
h
(
h
5")*Had)a
h
+
99
&'60&&:,"
9N)N2
(Đề thi Olympic Toán khu vực duyên hải đồng bằng Bắc Bộ năm học 2009 – 2010)
Lời giải: 68'x<+,"%&k"yJ`678,"8J?
*(
99
yxkyx −=+
0:
∈
U9HKH)NV2s8oa
9
@
9
d9(aX*5$`6782G0G
+'LaH
∈
#
C
HaS0&a
9
@
9
d9(aX*
⇒
a
9
@
9
d9
@9
5$`6782
Bài toán 10:/30:I'678H8Ja
9
@)K
9
d
$_`
n62
Bài toán 11:/'6782DE[
&%J8,"`',""{(a*d
()@a*
2
/3[
9
@)5"h
(Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 2010)
Bài toán 12:/3405''678'"
9
@9"2
Bài toán 13:/3405''678'";+:6,"
9
@
@)5:8
n
Copyright: Tài liệu đại học ©