Chương 8: ĐỘNG HỌC CỦA VẬT RẮN
CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG
§8.3. Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định
Phân tích chuyển động
Vận tốc và gia tốc của một điểm nằm trên vật rắn chuyển động quay quanh
trục cố định có thể xác định theo các bước sau:
Chuyển động góc
• Quy định chiều dương có hướng dọc theo trục quay và chỉ rõ bên cạnh các
phương trình động học được áp dụng.
• Nếu mối quan h
ệ giữa hai trong số 4 biến
,,
α
ωθ
và t đã biết thì biến thứ
ba có thể được xác định bằng cách sử dụng một trong các công thức động
học thể hiện mối quan hệ giữa các biến này
d
dt
θ
ω
=
,
d
dt
ω
α
=
,
dd
α

=+ −

• Khi lời giải đã thu được, thì hướng của
,,
α
ωθ

được xác định bằng dấu đại số giá trị số của
chúng.
Chuyển động của điểm P
• Trong hầu hết các trường hơp, vận tốc và hai
thành phần gia tốc của P có thể xác định từ các
phương trình vô hướng
vr
ω
=

t
ar
α
=

2
n
ar
ω
=

• Nếu việc hình dung bằng hình học của bài toán gặp khó khăn thì có thể sử
dụng các phương trình véctơ để tính toán.

=

Y
t
10=
α

Thay t = 0,5s tính được:
ω = 3,25 rad/s
2
/5 srad=
α

Vận tốc của điểm A:
vr
ω
=

=
⇒
A
v
3,25.0,8 = 2,6 (m/s)
t
ar
α
=

)/(48,0.5
2


16-13. Một môtơ truyền cho đĩa A một gia tốc góc ;
với t tính bằng giây. Nếu vận tốc góc ban đầu của đĩa là
22
(0.6 0.75) /
A
trad
α
=+ s
0
6/rad s
ω
= , hãy xác
định độ lớn vận tốc và gia tốc của khối B khi t =2s.
Bài giải:

22
(0.6 0.75) /
A
trad
α
=+ sCttdt ++
∫
== 75,02,0
3
α
ω

0
2/rad s
ω
= . Nếu cho trước gia tốc góc , hãy xác định vận tốc
góc và độ lớn gia tốc của điểm P trên đầu mút của cánh quạt khi t =3s.
2
0.6 /
C
rad s
α
=
Bài giải:
16-19. Bắt đầu từ trạng thái đứng yên khi s=0, Puli A quay với gia tốc góc
không đổi
. Hãy xác định vận tốc của khối nặng B khi nó được
nâng lên một đoạn s = 6 m. Puli có trục D được gắn cố định với C và quay cùng
với C.
2

dd
α
θωω
=

)/(67,53240.6.2 srad
A
==
ω

16-22. Một môtơ tạo cho bánh răng A một gia tốc góc
trong đó
32
(0.25 0.5) /
A

∫
1
0
0
3
5,025,0 8,62
0
42
0
2
)5,0
4
25,0
(
2
1
2
1
θθωω
+=−
AA
§8.4 Chuyển động phẳng tổng quát của vật rắn

8.4.1 Phân tích sự liên hệ chuyển động: Vận

chiều ta chọn ban đầu.
BÀI TẬP
16-50. Nếu đã biết h và
θ
và vận tốc của A và B là v
A
= v
B
= v, xác định vận
tốc góc
ω
của vật và hướng
φ
của v
B
.
Bài giải
Áp dụng CT liên hệ vận tốc
/
B
A
=+×vvω r
BA
(1)
Trong đó:
jvivv
B
r
r
r

r
r
r
rr
.sincossincos
ω
θ
θ
φ
φ
−
+
=
+
−
Do
, , i
r
j
r
k
r
là các véc tơ độc lập tuyến tính, đồng nhất các hệ thức theo i
r
,
, j
r
k
r
được

phương vuông góc với thanh AB chiều
theochiều quay của
ω. Con chạy C
chuyển động tịnh tiến dọc theo rãnh nên
v
C
có phương theo phương nằm ngang
chiều từ phải sang trái
* Áp dụng CT liên hệ vận tốc
BCBC
vvv
/
rrr
+=
(1)
Trong đó:
ivv
CC
r
r
.=

()
()
jik
rv
o
ABBAB
rr
r

jikv
oo
CBBC
r
r
r
r
45sin125,045cos125,0
/
+−×=
ω

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−= jiv
CBCBBC
rr
r
2
2
125,0.
2
2
125,0.

CBC
v
ω
0884,004,1 −−=CB
ω
0884,06,00 −=

)/(79,6
0884,0
6,0
srad
CB
=⇒
ωThay vào trên tính được: v
C
= - 1,64 (m/s) 16-58.
Nếu thanh CD quay với vận tốc góc
ω
DC
= 8 rad/s, xác định vận tốc góc
của thanh AB và CB tại vị trí như trong hình 16-58.
Trong đó:
v
= 0
A
(
)
(
)
jikv
oo
DCC
r
r
r
r
30sin2,030cos2,0 −−×=
ω

(
)
(
)
jikv
ABB
r
r
r
r

16-60. Thanh AB có vận tốc góc là 2 rad/s. Xác định vận tốc của khối C khi
θ
=
45
0
. Vẽ vị trí của thanh BC khi
θ
= 60
0
, 45
0
và 30
0
để chứng tỏ chuyển động
phẳng tổng quát của nó.
Bài giải:
Sơ đồ độnghọc:
Thanh AB chuyển động quay xung
quanh trục cố định qua A, v
B
có
phương vuông góc với AB chiều
trên hình vẽ. Con chạy C chuyển
động tịnh tiến dọc theo rãnh, v
C
có
phương chiều trên hình vẽ. Thanh
BC chuyển động song phẳng, v
CB
có

*16-68. Nếu nút C của dây thừng bị kéo xuống dưới với vận tốc v
C
= 120
mm/s, hãy xác định vận tốc góc ròng rọc A
và B và vận tốc của khối D. Giả sử rằng dây
thừng không trượt trên các ròng rọc.
Bài giải:

L = 2s
B
+ s
C
02 =+
CB
vv↑=−=⇒ )/(60
2
smm
v
v
C
Bv
D
= v
B

rrr
+=

Do
↑↑ . Nên ta có:
I
v
r
B
v
r
v
B
= v
B/I
60 = ω
B
.r Y
)/(1
60
60
srad
B
==
ω16-75. Khối trụ B lăn không trượt trên một khối trụ A cố định . Nếu thanh
nối CD quay với vận tốc góc
ω

rrr
+=

Do
↑↑ . Nên ta có:
I
v
r
D
v
r
v
D
= v
D/I
2 = ω
B
.r Y
)/(67,6
3,0
2
srad
B
==
ω
chóng quay trở về lưỡi tiện được gắn vào con trượt tại C. Xác định vận tốc của
con trượt tại C khi
θ
= 60
0
, nếu thanh AB quay với vận tốc góc 4 rad/s.
Bài giải:

Áp dụng định lý hàm sin để tìm CQ và BQ
00
30sin45sin
BCBQ

= ω
BC
.BQ Y

ω
BC
= )/(8,6
78,176
1200
srad
BQ
v
B
==
Điểm C
∈BC Yv
C
= ω
BC
.CQ Yv
C
=6,8.239,3 =1624(mm/s) = 1,63 (m/s)
16-81. Tại vị trí như hình 16-61/62, xe tải chuyển động sang phải với vận tốc
3 m/s trong khi tại B ống lăn không trượt ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc
ω
= 8 rad/s. Xác định vận tốc tâm G của ống. 16-87. Đĩa có bán kính r được giới hạn lăn k
ài giải:
hông trượt tại hai điểm A và B.
Nếu các tấm có vận tốc như hình vẽ, hãy xác định vận tốc góc của đĩa.

B
16-90. Chứng minh rằng nếu vành bánh xe và trục bánh xe luôn tiếp xúc với
ba thanh khi bánh xe quay thì sẽ xảy ra hiện tượng trượt tại A nếu không xảy ra
hiện tượng trượt tại B. Với những điều kiện này, nếu vận tốc góc của bánh xe là
ω
thì vận tốc của điểm A bằng bao nhiêu.
ài giải: B
oo
cb
45sin75sin
=
mmc 2,256
=
⇒
oo
db
60sin75sin
=
mmd 8,313
=
⇒

= 500mm
8.4.3. Phân tích mối liên hệ chuyển động: Gia tốc

α
, và r
B/A
.
Nếu các điểm A và B chuyển đ ng theo các q• ộ uỹ đạo tròn thì gia tốc của
Ph
trình a
B
= a
A
+
chúng có thể được phân tích thành hai thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến,
tức là, a
A
= (a
A
)
t
+ (a
A
)
n
và a
B
= (a
b
)
t
+ (a
b

hướng và cân bằng(đồng nhất) các thành phần i và j để thu được hai phương
trình vô hướng.
Nếu bài toán cho ta k
đổi hướng của vectơ trong sơ đồ động học.
Sơ đồ động học
• Nếu muốn áp d
lập độ lớn và hướng của các thành phần gia tốc tương đối (a
B/A
)
t
và (a
B/A
)
n
.
Để làm được điều này, ta phải vẽ sơ đồ động học như trong hình 16-23c. Do
vật được coi là bị chốt tức thời tại điểm cơ sở A, nên độ lớn của các thành
phần gia tốc là (a
B/A
)
t
=
α
r
B/A
và (a
B/A
)
n
=

n
dưới dạng
đồ thị bằng cách biểu diễn hướng và độ lớn của chúng dưới mỗi số hạng. Các
phương trình vô hướng được xác định từ các thành phần x và y của các vectơ
này.
16-107. Tại thời điểm cho trước, đỉnh thanh tại A có vận tốc và gia tốc như
hình 16-107. Hãy xác định gia tốc của chân thanh tại B và gia tốc góc của thanh
tại thời đi
ểm đó.
Bài giải:
* Phân tích vận tốc:
Sơ đồ động học;
Từ sơ đồ động học tìm được tâm v
tốc tức thời IC
.
ận
AICv
ABA
.
ω
=AIC = 10cos60
o
= 5 (ft)

BIC = 10sin60
o
= 8,66(ft)

B
= a
A
+ (a
B/A
)
t
+ (a
B/A
)
n
(1)

Chiếu (1) lên hai trục toạ độ xy
()
(
)
o
n
AB
o
t
ABB
aaa 60cos30cos0
//
−
+
=
⎯
→

r
B/A

(
)
10.
/
α
=
t
AB
a
(ft/s
2
)

(a )
B/A n
= r
2
ω
B/A
()
1010.1
2
/
=
=
n
AB


16-110.
Hãy xác định gia tốc góc của thanh AB khi
θ
= 90
0
, nếu con trượt C
có vận tốc v
C
= 4 ft/s và gia tốc a
C
= ft/s
3
2
như trên hình 16-110.
Bài giải: 16-121. Tại thời điểm cho trước, thanh AB chuyển động quay như hình vẽ.
Hãy xác định vận tốc và gia tốc của con trượt C tại thời điểm này.

∞

IC ở ∞ nên 0=
AB
ω 8.4.4. Phân tích sự liên hệ chuyển động khi sử dụng các trục quay

A
+ × rΩ
&
B/A
+ Ω
×
(Ω
×
r
B/A
) + 2 Ω
×
(v
B/A
)
xyz
+ (a
B/A
)
xyz

• Các thành phần Đề các của tất cả các véc tơ này có thể được biểu diễn dọc
theo các trục X, Y, Z hoặc các trục x, y, z. Các vectơ đơn vị ta chọn tuỳ ý, nhất
quán.
• Chuyển động của hệ toạ độ động được biểu diễn bằng các thành phần v
A
, a
A
,
, và ; và chuyển động của điểm B trong hệ toạ độ động được biểu diễn

O
+
động
tương
gắn với thanh
* Các phương
v
A
= v Ω
×
r
A/O
+ (v
A/O
)
xyz
(1)
a
A
= a
O
+
×
rΩ
&
A/O
+ Ω
×
(Ω
×

= {0} rad/s
2
r
A/O
= {0,1i} m
(v
A/O
)
xyz
= {- 2i} m/s
(a
A/O
)
xyz
= {-4i} m/s
2
Từ phương trình 2, gia tốc Coriolit được xác định như sau:
a
Cor
= 2
×
(v
Ω
A/O
)
xyz
= 2 (4 k)
×
(-2i) = {-16j} m/s
2


16-134. Khối B chuyển động dọc theo rãnh trên tấm tròn với tốc độ không
đổi là 2 ft/s được tính tương đối so với tấm theo hướng như trên hình vẽ. Nếu
tấm quay với vận tốc góc không đổi
ω
= 5 rad/s, hãy xác định vận tốc và gia tốc
của khối tại thời điểm
θ
= 60
0
.
Bài giải:

Các trục toạ độ. Gốc toạ độ của hệ toạ độ cố định và chuyển động được đặt tại
điểm O. Hệ trục cố định X, Y, Z và hệ động x, y, z chọn như trên hình vẽ.

Các phương trình động học.
v
B
= v
O
+
Ω
× r
B/O
+ (v
B/O
)
xyz
(1)
Tất cả các vectơ được biểu diễn dưới dạng các thành phần i, j, k.

Chuyển động của hệ toạ
độ di động
Chuyển động của C so
với hệ toạ độ di động
v
o
= 0
a
o
= 0
Ω = {5k} rad/s
Ω
&
= {0} rad/s


{}
{}{ }
)/(1278,522
3
2
50 smijijikv
B
r
r
r
rr
r
v
−=−+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+×+=

a
B
= a
O
+
×
r

r
rr
r
r
r
2522
3
2
5500 −×+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+××++=

()
2
m/s}709,28{ jia
B
rr
r
−