Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 79

Chương 3
ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
Chương này nghiên cứu các phương trình động lực học của vật rắn, đặc biệt
là chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định.
§3.1 – VẬT RẮN
1 – Khái niệm về vật rắn:
Hệ chất điểm là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm.
Các chất điểm trong hệ có th
ể tương tác lẫn nhau, các lực tương tác đó gọi là nội lực;
đồng thời có thể tương tác với các vật bên ngoài hệ, các lực tương tác này gọi là ngoại
lực.
Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mô) trong một
miền không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ không thay đổi.
Như vậy, vật r
ắn luôn có hình dạng, kích thước và thể tích nhất định. Trên
thực tế, không có vật rắn tuyệt đối. Bởi lẽ, dưới ảnh hưởng của các điều kiện bên
ngoài như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … thì khoảng cách giữa các phần tử trong
vật có thay đổi đôi chút. Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu sự thay đổi đó là
không đáng kể thì ta coi vật đó là vật rắn.
2 – Tính khối lượng c
ủa một vật rắn:
Trong chương 2, ta đã biết khối lượng là đại lượng đặc trưng cho mức quán
tính và mức hấp dẫn của vật. Trong phạm vi giới hạn của Cơ học cổ điển, khối lượng
là đại lượng bất biến. Do đó khối lượng của một hệ cô lập luôn bảo toàn.
Khối lượng m của một hệ chấ
t điểm bằng tổng khối lượng các phần tử tạo nên
hệ:
∑
=

mt khi lng mt:
dS
dm
)M( =
(3.6)
vi dm l khi lng vt cht cha trờn yu t din tớch dS. Khi ú ta cú:
dm = (M)dS v
(3.7)

=
S
dS)M(m
Nu h phõn b liờn tc trờn chiu di L (hỡnh 3.3), ta nh ngha mt khi
lng di: =
A
d
dm
(3.8)
vi dm l khi lng vt cht cha trờn yu t chiu di d
A . Khi ú ta cú:
dm = d v (3.9)
A
L
m(M)d=

A
Nu h thun nht thỡ t (3.7), (3.9) ta cú: m = S = L (3.10)
dV
M
b) Yu t din tớch

của hệ 2 chất điểm. Xét hai chất điểm M
1
và M
2

có khối lượng m
1
và m
2
. Trọng lực tác dụng lên
2 chất điểm đó là
và . Hợp lực của và
là có điểm đặt tại G sao cho:
1
P
→
2
P
→
1
P
→
2
P
→
→
P
→
P
→

G = 0 hay
(3.11) 0GM.mGM.m
2211
=+
→→
Điểm G thỏa mãn (3.11) được gọi là khối tâm của hệ 2 chất điểm M
1
và M
2
.
Trường hợp tổng quát, hệ có n chất điểm có khối lượng lần lượt là m
1
, m
2
, …,
m
n
đặt tương ứng tại các điểm M
1
, M
2
, … , M
n
, ta định nghĩa khối tâm của hệ là một
điểm G thoả mãn:
0GMm GMmGMm
nn2211
=+++
→→→
hay: (3.12) 0m

ĩa là vị trí của G’ khơng những phụ
thuộc vào vị trí, khối lượng của các phần tử cấu tạo nên hệ mà còn phụ thuộc vào gia
tốc trọng trường. Trong khi đó vị trí khối tâm G khơng phụ thuộc vào gia tốc trọng
trường.
Trên thực tế, hầu hết kích thước các hệ vật lí mà ta khảo sát là khơng lớn, do
đó gia tốc trọng trường hầu như khơng đổi tại mọi điểm và G’ trùng vớ
i G. Việc phân
biệt vị trí của G’ và G là khơng cần thiết!
Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượng bằng nhau, đặt tại ba đỉnh của tam giác
ABC. Xác định khối tâm của hệ.
Giải
Theo định nghĩa, khối tâm G thỏa:
0CGmBGmAGm
221
=++
→→→
Vì m
1
= m
2
= m
3
= m nên: 0CGBGAG =++
→→→
Điểm G thỏa phương trình trên chính là trọng tâm (giao điểm của ba trung tuyến) của
tam giac ABC.
2 – Toạ độ của khối tâm:
Trong kỹ thuật, việc xác định chính xác khối tâm của vật rắn là hết sức quan
trọng, nhất là đối với các vật rắn có chuyển động quay. Xác định khối tâm G theo định
nghĩa (3.12) và (3.13) là rất phức tạp. Trong thực hành, ta có thể xác định G bằng cách

i1 i1 i1
mOG mOM mMG
→→
== =
=+
∑∑ ∑
i
→
i
→
Vì OG khơng phụ thuộc vào chỉ số chạy i nên ta đưa ra ngồi dấu tổng:
→

nn n
i
ii i
i1 i1 i1
OG m m r m M G
→→
== =
=+
∑∑ ∑
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 83

Mà theo định nghĩa (3.12), ta có: . 0GM
1i
i
=
∑
=

)z,y,x(
iii
G
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
n
1i
i

===
∫∫∫
m
zdm
z;
m
ydm
y;
m
xdm
x
GGG
vaät raénvaät raénvaät raén
(3.16)
Trong đó (x,y,z) là tọa độ của yếu tố khối lượng dm; m là khối lượng của vật rắn.
Ví dụ 3.2: Có ba chất điểm khối lượng m
1
= m
2
= 2m
o
, m
3
= 6m
o
đặt tại ba đỉnh A, B,
C của tam giác đều, cạnh a. Xác định khối tâm G của hệ. Phải tăng hay giảm khối
lượng của m
3
đi bao nhiêu để khối tâm G trùng với trọng tâm ∆ABC?

B
= 0;
B
m
2
x
3
= x
C
= a 3 /2.
Hình 3.3
Suy ra:
10
3a3
m10
2/3am600
x
o
o
G
=
++
=

Để G trùng với trọng tâm ∆ABC thì :
6
3a
3
xxx
x

một lượng ∆m = 4m
o
O
Ví dụ 3.3: Xác định khối tâm của một vật thể hình cung
tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α.
Giải
Chọn trục Ox là đường phân giác của góc ở tâm như
hình (3.4). Dễ thấy Ox chính là trục đối xứng của hệ. Suy ra khối tâm G phải nằm trên
Ox.
Hình 3.4:
Xét một yếu tố dài
chắn góc ở tâm dϕ. Hồnh độ của yếu tố này là: x = Rcosϕ;
khối lượng chứa trong
là dm = λ = λRdϕ. Theo (3.16), ta có:
Ad
Ad Ad
α
α
=
αλ
ϕλ
=
ϕλϕ
==
∫
∫∫
α
α−
sinR
2.

O
Tương tự như ví dụ 3 ta cũng suy ra khối tâm G
của hình quạt đồng nhất nằm trên trục đối xứng
Ox (đường phân giác của góc ở tâm).
Xét một yếu tố diện tích dS. Trong hệ tọa độ cực,
ta có dS = r.dr.dϕ. Khối lượng ch
ứa trong dS là
dm = σdS; hồnh độ của dS là x = r.cosϕ. Hồnh
độ của khối tâm G là:
Hình 3.5
m
dS.cos.r
m
xdm
x
SS
G
∫∫∫
σϕ
==

m
d.dr.r cos.r
S
∫∫
ϕσϕ
=

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 85


Xác định
khối tâm của
một vật thể
hình nón
đồng nhất,
đường cao h.
Giải
Chia hình
nón thành
những phần
nhỏ, có dạng
đĩa tròn bán
kính r, bề
dày dx (hình
3.6). Ta có:
∫
∫
∫
∫∫
ρπ
ρπ
=
ρ
ρ
==
vaät raén
vaät raén
vaät raén
vaät raénvaät raén
m

α−
α−
=
∫
∫
∫
∫
vaät raén
vaät raén

Vậy, khối tâm của khối hình nón đồng nhất nằm trên trục hình nón, cách đáy một
khoảng:
4
h
x
G
= (3.19)
3 – Chuyển động của khối tâm:
Vận tốc của khối tâm:
dx
O
h
4
r
G
O
h – x
x
α
x

n
1i
i
n
1i
i
i
n
1i
i
n
1i
ii
G
G
m
vm
m
dt
rd
m
m
rm
dt
d
dt
rd
v
(3.20)
Tương tự, gia tốc của khối tâm:

∑
i
m
→→→
=+
iiii
amfF
Suy ra:
m
fF
a
ii
G
∑∑
→→
→
+
=
.
Mà theo định luật III Newton, các vật trong hệ tương tác nhau bằng các lực trực đối,
nên tổng các nội lực
∑
= 0.
→
i
f
Vậy:
∑
∑
→→

điểm bất kì trên vật rắn luôn song song với chính nó (có phương không đổi).
Xét điểm M bất kỳ trên vật rắn và khối tâm
G của vật rắn. Chọn điể
m O làm gốc tọa độ, theo qui
tắc 3 điểm ta có:
M
G
G
M→→→
+= GMOGOM
hay

→→→
+= GMrr
GM
Hình 3.7: Chuyển động tịnh
tiến của vật rắn.
Suy ra:
dt
GMd
dt
rd
dt
rd
G
M
→

đặt tại khối tâm G.
2 – Vật rắn quay quanh một trục cố định:
Khi vật rắn quay quanh trục cố định (
∆
) với vận tốc góc
ω
thì mọi điểm của
vật rắn sẽ vạch ra những đường tròn đồng trục
∆
, với cùng một vận tốc góc .
→
ω
Xét một điểm M bất kì trên vật rắn, gọi
→
R
là vectơ bán kính quĩ đạo của M, ta có:
- Vận tốc dài:
(3.24)
→→→
ω= Rxv
88 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

và độ lớn: v = ωR (3.25)
- Gia tốc tiếp tuyến:
(3.26)
→→→
β= Rxa
t
và độ lớn: a
t

đến lúc
dừng (dây cuaroa khơng bị trượt trên vơlăng và bánh xe).
ω
M

→
ω
→
R

Hình 3.8: Chuyển
động quay của
vật rắn quanh trục
cố định.
Giải
Gọi ω
1
và ω
2
là vận tốc góc của vơlăng
và bánh xe; ω
01
và ω
02
là các vận tốc
góc ban đầu của chúng. Ta có: ω
01
=
720 vòng/phút = 24π rad/s.
t

50
10
R
R
1o
2
1
2o
==ω=ω vòng/phút = 4,8π rad/s.
Gia tốc góc của vơlăng:
π−=
π−π
=
ω
−
ω
=β 6,0
30
246
t
1
1o1
1
rad/s
2
.
Góc mà vơlăng đã quay trong thời gian t
1
= 30s:
π=π−π=β+ω=θ 45030.3,030.24t

1
1o
=
β
ω
−=
Vậy, hệ thống sẽ dừng lại sau 40s kể từ lúc ngắt điện.
Góc mà vôlăng đã quay trong thời gian t = 40s:
π=π−π=β+ω=θ 91240.3,040.24t
2
1
t
22
11o
rad
Vận tốc góc trung bình của vôlăng:
π=
π
=
θ
=ω 8,22
40
912
t
tb1
rad/s.
Vận tốc góc trung bình của bánh xe:
π=ω=ω 56,4
R
R

NM
→
ω
→→→→
→
=ω= NMRx
dt
NMd
R vôùi
(3.31)
Do đó ta có thể viết:
(3.32)
→→→→
ω+= Rxvv
NM
Như vậy: Nếu chọn điểm N là điểm cơ bản thì chuyển động của điểm M (bất kỳ trên
vật rắn) bao gồm hai chuyển động:
- Tịnh tiến cùng với điểm cơ bản N với vận tốc
;
→
N
v
- Quay quanh điểm cơ bản với vận tốc góc
.
→
ω
90 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Khi chọn điểm cơ bản khác nhau thì vận tốc tịnh tiến của điểm M cũng khác nhau
nhưng vận tốc góc

gốc thời
gian tại vị
trí và thời điểm M tiếp xúc với mặt đường.
y
Đường
cong
cycloid
o
v
→
O
M
A
D

→
M
v
→→
ω Rx
G
x
Hình 3.10: Qũi đạo, vận tốc của điểm M trên vành bánh xe.
Do bánh xe lăn khơng trượ
t nên vận tốc dài của điểm M có độ lớn bằng với vận tốc
tịnh tiến của bánh xe: v
M
= ωR = v
G
= v

sin|v)tcos1(2vvvv
oo
2
y
2
xM
ω
=ω−=+= (3.35)
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 91

Nếu ta chọn điểm cơ bản là điểm A thì . Suy ra .
→→→
ω= AMxv
M
→→
⊥ AMv
M
Vậy: phương của
luôn đi qua đỉnh D của bánh xe.
→
M
v
(3.34) suy ra phương trình chuyển động của M:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧

T
o
o
T
0
M
dt|
2
t
sin|vdt|v|s
= 8R. (3.37)
§ 3.4 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
1 – Tổng quát:
Chuyển động phức tạp của vật rắn được phân tích thành hai chuyển động đồng
thời. Vì thế, mô tả chuyển động của vật rắn về mặt động lực học, ta cũng có hai
phương trình:
• Phương trình mô tả chuyển động tịnh tiến của khối tâm G:
→
→
= F
dt
pd
hay (3.38)
→→
= Fam
Với:
là tổng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn;
∑
→→
=

→→
)Fxr(
ii
Hai phương trình (3.38) và (3.39) mơ tả chuyển động bất kỳ của vật rắn. Nếu xét trong
hệ trục Oxyz ta có 6 phương trình vi phân. Tuy nhiên, trong phạm vi giáo trình này, ta
chỉ khảo sát các chuyển động đặc biệt của vật rắn, nên việc giải các phương trình trên
sẽ đơn giản hơn.
Trước hết, nếu chuyển động của vật rắn chỉ là tịnh tiến thì từ (3.38) ta thấy,
chuyển động ấy được qui về chuyển động của khối tâm G và việc khảo sát giống như
chuyển động của chất điểm G có khối lượng m.
Dưới dây ta sẽ khảo sát chi tiết hơn về chuyển động quay của vật rắn quanh
trục cố định ∆.
2 – Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục cố
định:
Xét vật rắn quay quanh trục cố định ∆ với vận tốc góc ω. Theo (2.57) ta có
mơmen động lượng của vật rắn là:
→
∆
→→→→
ω=ω=ω==
∫∫∫
IdIdIdL
vật rắnvật rắnvật rắn
A (3.40)
Với:
(3.41)
∫∫
==
∆
vật rắnvật rắn

=
β
MI (3.44)
(3.44) là phương trình động lực học của vật rắn quay quanh trục ∆ cố định. Trong đó:
β là gia tốc góc; M
∆
là tổng đại số các mơmen ngoại lực đối với trục quay ∆; I
∆
là
mơmen qn tính của vật rắn đối với trục ∆. Về hình thức, (3.44) giống như phương
trình cơ bản (2.6) của động lực học chất điểm, trong đó, mơmen qn tính I đóng vai
trò giống như khối lượng m. Vì khối lượng đặc trưng cho mức qn tính nên mơmen
qn tính cũng đặc trưng cho mức qn tính trong chuyển động quay. Do đó, người ta
còn gọi mơmen qn tính I là qn tính quay.
Để giải được (3.44), ta cần tính đượ
c mơmen của các ngoại lực và mơmen
qn tính đối với trục ∆.

Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 93

3 – Tính mômen lực đối với trục ∆:
Để tìm hiểu rõ tác dụng làm quay vật rắn quanh trục ∆ của ngoại lực
, ta
phân tích
thành các thành phần (xem hình 3.11):
→
F
→
F
→→→

bằng bởi phản lực của trục quay ∆.
→
n
F
→
ω
ω
→
n
F
t
F
→

→
⊥
F
→
F
→
//
F
M

• Thành phần
hướng theo tiếp
tuyến qũi đạo của điểm M, chính
thành phần này mới thực sự làm vật
rắn quay quanh trục ∆.
→

đòn; θ là góc giữa
và thành phần (xem hình 3.12).
→
R
⊥
→
F
Từ (3.46) suy ra, mômen quay sẽ lớn nhất khi lực
nằm vuông góc với trục
quay và vuông góc với vectơ bán kính
.
→
F
→
R
94 Giaựo Trỡnh Vaọt Lyự ẹaùi Cửụng Taọp 1: Cụ Nhieọt in

Nu cú nhiu ngoi lc tỏc dng vo vt rn thỡ tng mụmen ca ngoi lc l:


(3.47)



=
i
ti
i
)FxR(M


Mụmen quay ca lc l:

M

= F.R.sin = 10.0,2.sin30
o
= 1(Nm) .
Vớ d 3.9: Tớnh mụmen ca lc m cỏnh ca
hỡnh ch nht, bit lc tỏc dng vo tay nm
(nỳm ca) vuụng gúc vi mt cỏnh ca, cú
ln 5N v tay nm cỏch bn l 80cm. Nu
im t ca lc khụng phi nỳm ca m ch
cỏch bn l 50cm thỡ ln ca lc phi l bao
nhiờu cú mụmen trờn?

F


F

M
N
O
Hỡnh 3.13: Mụmen lm
quay cỏnh ca
Gii
Mụmen lc khi t ti nỳm c
a:
M
o

trc .
Chng 3: NG LC HC VT RN 95

Vt rn: (3.50)

=

vaọt raộn
dmrI
2
vi r l khong cỏch t yu t khi lng dm n trc . Tựy theo phõn b ca vt
rn m dm cú th tớnh theo (3.4), (3.7) hay (3.9).
b) Mụmen quỏn tớnh ca mt s vt rn ng cht, khi lng phõn b u i vi
trc quay

i qua khi tõm G:
Vớ d 3.10: Tớnh mụmen quỏn tớnh ca hỡnh tr rng, thnh mng hay vnh trũn ng
cht, khi lng phõn b u i vi trc ca nú.
d
Gii
h
R
Hỡnh 3.14
Chia b mt hỡnh tr lm nhiu phn, cú dng
hỡnh ch nht, mi phn cú chiu rng d
= Rd. Gi l
mt khi lng phõn b trờn mt tr, ta cú:
A
dm = dS = h.d
= hRd A

r
Vy: Mụmen quỏn tớnh i vi trc ca hỡnh tr rng, hay
vnh trũn ng cht, khi lng phõn b u l:
I = mR
2
(3.50)
vi m v R l khi lng v bỏn kớnh hỡnh tr, hay vnh
trũn.
Vớ d 3.11: Tớnh mụmen quỏn tớnh ca khi tr c hay ió
trũn ng cht, khi lng phõn b u i vi trc ca nú.
Gii
Chia khi tr c thnh nhiu lp mng, cú b dy
dr. Mi lp c coi nh mụt hỡnh tr rng, nờn cú mụmen
quỏn tớnh l: dI = dm.r
2
= dV.r
2

vi l khi lng riờng ca khi tr.
Hỡnh 3.15
M dV = dS.h = [(r + dr)
2
- r
2
].h

2hrdr
96 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

⇒ dI = 2πρhr

∆

vng góc với thanh.
Giải
Chia chiều dài thanh thành các phần
tử nhỏ có bề dày dx. Khối lượng của mỗi
phần đó là dm = λ dx , với λ là mật độ khối
lượng phân bố theo chiều dài của thanh. Vì khối lượng phân bố đều nên λ = const. Ta
có dI = dm.x
2
= λ dx.x
2
= λ x
2
dx
2
A
Hình 3.16
O
2
A
−
x
dx
⇒ I =
∫∫
−
λ=
2
2

+===
cầu ối cầu khốicầu khối kh
222
zz
dm)yx(dmrdII
Tương tự đối với trục Ox, Oy ta cũng có:

;

.
∫
+=
cầu khối
dm)zy(I
22
x
∫
+=
cầu khối
dm)xz(I
22
y
Hình 3.17
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 97

Do tính đối xứng cầu nên I
x
= I
y
= I

R
0
422
R
15
8
drr
3
8
drr4r
3
2 πρ
=πρ=πρ
∫∫
caàu khoái
=
2
mR
5
2
(3.53)
với R, m = ρV =
3
4
πR
3
ρ là bán kính, khối lượng của khối cầu.
Ví dụ 3.14: Tính mômen quán tính của khối cầu rỗng, thành mỏng đồng chất, khối
lượng phân bố đều đối với trục quay chứa đường kính.
Giải

G
, ta có thể vận dụng định lí Huygens – Steiner để tính:
I
∆
= I
G
+ md
2
(3.55)
với m là khối lượng của vật rắn và d là khoảng cách giữa hai trục quay ∆ và ∆
G
.
Chứng minh:
Xét một yếu tố khối lượng dm, các
trục ∆
G
một đoạn x và cách trục ∆ một
khoảng (x + d) (xem hình minh họa 3.18).
∆
G

O
∆
x
dm
x
d
Mômen quán tính của vật rắn đối với trục ∆
G


; số hạng
thứ hai ln triệt tiêu, vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ theo x và miền tính tích
phân đối xứng quanh trục ∆
G
của vật rắn (nói cách khác nếu có yếu tố dm ở tọa độ x
thì tồn tại yếu tố dm ở tọa độ (– x) nên tích phân thứ hai bằng khơng); Số hạng thứ ba
chính là md
2
. Vậy: I
∆
= I
G
+ md
2
(đpcm).
Ví dụ 3.15: Tính mơmen qn tính của thanh đồng chất đối với trục quay đi qua một
đầu và vng góc với thanh.
Giải
Ap dụng định lí Huygen – steiner:
I
∆
= I
G
+ md
2
=
222
m
3
1

• Bước 3: Chiếu phương trình (1) lên các trục toạ độ cần thiết.
• Bước 4: Giải hệ phương trình và biện luận kết quả.
Chú ý: - Khi chiếu một vectơ lên trục toạ độ, nếu vectơ đó đã xác định thì hình chiếu
của nó sẽ có dấu xác định tùy theo nó theo chiều dương hay âm của trục toạ độ. Nếu
vectơ đ
ó chưa xác định (thường là vectơ gia tốc và các lực liên kết) thì hình chiếu của
nó sẽ có giá trị đại số.
- Khi tính tổng các mơmen lực, cần chọn một chiều quay dương (thường là
chiều quay của vật, hoặc chiều kim đồng hồ). Nếu lực nào làm vật quay theo chiều đó
thì mơmen của nó sẽ dương; trái lại là mơmen âm.
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 99

2 – Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 3.16: Một bánh xe (coi như hình trụ đặc đồng nhất), bán kính R bắt đầu lăn
không trượt từ đỉnh một cái dốc có độ cao h, nghiêng một góc α so với phương ngang
xuống chân dốc. Bỏ qua ma sát cản lăn. Tính gia tốc và vận tốc của khối tâm bánh xe
ở chân dốc.
Giải
Bước 1: Lực tác dụng lên bánh xe gồm:
- Trọng lực
(có giá qua khối tâm G);
→
P
- Phản lực pháp tuyến
(có giá qua khối tâm G);
→
N
- Lực ma sát nghỉ
(tiếp tuyến với mặt tiếp xúc).
msn

f
→
→
P

→
v

→
N
Hình 3.19
100 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Bước 3: Chiếu (1) lên phương mặt phẳng nghiêng, chiều dương hướng xuống chân
dốc, ta có: Psinα - f
msn
= ma (3)
Do lăn khơng trượt nên a = a
t
= β.R ⇒ β = a/R (4)
Bước 4: Thay (4) vào (2) và kết hợp (3), ta có gia tốc của khối tâm bánh xe là:
α=
+
α
=
+
α
= sing
3
2

rotor.
Giải
→
F
Lực tác d
ụng lên rotor gồm trọng lực ,
phản lực pháp tuyến
của vòng đỡ, lực từ
(khi quấn động cơ, người ta tính tốn sao cho có
phương tiếp tuyến để tạo mơmen lớn nhất). Dễ thấy
cân bằng với trọng lực và chỉ có lực từ tạo
mơmen làm quay động cơ.
→
P
→
N
→
F
→
F
→
N
→
P
Hình 3.20
Mơmen khởi động của lực từ:
M
∆
= I.β =
t

∆
.
Ví dụ 3.18: Cho cơ hệ như hình 3.21. Khối lượng vật A, con lăn B và ròng rọc C là
m
1
, m
2
và m
o
. Bán kính ròng rọc là r, bán kính con lăn là R. Mơmen cản ở trục ròng
rọc là M
c
, hệ số ma sát lăn giữa con lăn và mặt bàn là µ’ (có thứ ngun là mét). Bỏ
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 101

qua mômen cản ở trục con lăn, coi dây không giãn và không trượt trên ròng rọc. Tính
gia tốc của vật A.
Giải
Phân tích lực:
H 3.21
C
B
A
• Lực tác dụng lên vật A gồm: trọng lực
, lực căng dây
→
1
P
→
1

→
4
T
Viết các phương trình động lực học cho A, B, C:
A:
(1)
→→→
=+
1111
amTP
B:
(2)
→→→→→
=+++
22
ms
222
amFTNP
và:
22G/
IM β=
∑
(3)
C:
00G/
IM β=
∑
(4)
A
By
x
O
H 3.22
→
1
P
Chiếu (1) lên Ox ⇒ P
1
– T
1
= m
1
a
1
(5)
102 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện

Chiếu (2) lên Ox ⇒ T
2
– F
ms
= m
2
a
2

N
= – µ’.N
2
. Do đó (3) trở thành:
F
ms
.R – µ’.N
2
= I
2
.β (8)
• Tương tự đối với ròng rọc C, (4) trở thành:
T
4
.r – T
3
.r – M
c
= I
0
.β
0
(9)
Ngồi ra ta có các điều kiện:
- Dây khơng giãn ⇒ a
1
= a
2
= a (10)
- Dây khơng khối lượng ⇒ T

R
a
Igm
R
'
F
2
2
22ms
==
µ
− (8’)
(9) ⇒ T – T’
am
2
1
r
a
.
r
I
r
M
0
0c
==− (9’)
Cộng vế với vế các phương trình (5’), (6’), (8’) và (9’), ta thu được gia tốc của vật:

o21
c

P
→
R
của trục
quay (có điểm đặt tại trục quay). Suy ra, chỉ có trọng lực gây ra mômen quay, còn
phản lực không tạo mômen quay (vì có giá đi qua trục quay).
Phương trình chuyển động quay của con lắc quanh trục O là:

d.sinmgd.sinPM
dt
d
I
O/P
2
2
θ−=θ−==
θ
→
(3.60)
với I là momen quán tính của con lắc đối với trục
quay; d là khoảng cách từ khối tâm G đến trục
quay; chiều quay dương là chiều ngược kim đồng
hồ.

G
→
P
θ
Xét trường hợp con lắc dao động với biên độ góc
θ

có dạng: θ = θ
o
sin(ω
o
t + ϕ). (3.62)
Hình 3.23: Con lắc vật lý
Vậy, với biên độ góc nhỏ (θ
o
< 10
o
), dao động của
con lắc vật lý là dao động điều hoà tự do, có :
• Tần số góc riêng:
I
mgd
o
=ω
(3.63)
• Chu kì riêng:
mgd
I
2
2
T
o
o
π=
ω
π
=