BÀI TOÁN SUY DIỄN THỐNG KÊ

Suy diễn TK về TB mẫu: X∼N(μ,σ
2
), ()pa X b ?
<
<=
Cách 1: Theo bài ra: X∼N(μ,σ
2
)
Với mẫu có n quan sát, ta có
2
2
(, )
X
XN
n
σ
μσ
=∼
00
()
XX
ba
pa X b
μ
μ
φφ
σσ
⎛⎞⎛
−−

X
X
XX
XN GU N
nSeX
σμ
μσ
σ
−−
=⇒== =∼∼
μ

[]
μμ
p=(a<X<b)=p U <
σσ
XX
ab
pU
⎡⎤
−−
<
=<<
⎢⎥
⎣⎦Cách 3:
Tổng quát:
12

n
α
σ
μ
α
⎛⎞
−
<=
⎜⎟
⎝⎠
−

Khoảng giá trị tối đa:
1pX u
n
α
σ
μ
α
⎛⎞
≤
+=
⎜⎟
⎝⎠
−
Khoảng giá trị tối thiểu:
1pX u
n
α
σ

=0
2
22
1 α
σ
χ (1)1α
1
pS n
n
−
⎡⎤
≥−=
⎢⎥
−
⎣⎦
−
•
GT tối đa α
1
=0, α
2
= α
2
22
α
σ
χ (1)1α
1
pS n
n

−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
hoặc
α
2
p(1-p)
u1α
n
Pf p
⎛⎞
−
≤=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−
● Khoảng GT tối thiểu
α
p(1-p)
1α
n
Pf p u
⎛⎞
≥− =−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠


σσ
μ
α
⎛⎞
−<<+ =
⎜⎟
⎝⎠
−

1PXu
n
α
σ
μ
α
⎛⎞
≤+ =−
⎜⎟
⎝⎠

1PXu
n
α
σ
μ
α
⎛⎞
≥− =−
⎜⎟
⎝⎠

+=
⎜⎟
⎝⎠
−
(1)
1
n
S
PXt
n
α
μ
α
−
⎛⎞
≥− =−
⎜⎟
⎝⎠

Kích thước mẫu n để I≤I
0
hay ε≤ε
0
:
2
2
2
2
0
4

m
S
nt
I
α
−
≥
)
hay
()
2
2
(1)
2
2
0
m
S
nt
α
ε
−
≥
⇒ Điều tra thêm (n-m) quan sát Ước lượng p của X ∼A(p)
n≥100 N<100
/2 /2
(1 ) (1 )

α
α
⎛⎞
−
≤+ =−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

(1 )
1
ff
Pp f u
n
α
α
⎛⎞
−
≥− =−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

22
α/2 α/2 α/2
12
2
α/2
24(1
,

nu
α
ε
−
≥
Ước lượng σ
2
của X ∼N(μ,σ
2
)
μ đã biết μ chưa biết
*2 *2
2
2( ) 2( )
α 21α 2
n.S n.S
σ 1 α
χχ
nn
p
−
⎛⎞
<< =−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠


22
2
2( 1) 2( 1)
α 21α 2
(n-1).S (n-1).S
σ 1 α
χχ
nn
p
−−
−
⎛⎞
<
<=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−
2
2
2( 1)
1 α
(n-1).S
σ 1 α
χ
n
p
−
−
⎛⎞

0
khi σ
2
chưa biết
00
10
:
:
H
H
μ
μ
μ
μ
=
⎧
⎨
≠
⎩

(
)
0
αα/2
μ
;| |
σ
Xn
WU Uu
⎧⎫

10
:
:
H
H
μ
μ
μ
μ
≥
⎧
⎨
<
⎩

(
)
0
αα
μ
;
σ
Xn
WU Uu
⎧⎫
−
⎪⎪
== <−
⎨⎬
⎪⎪

μ
μ
μ
≤
⎧
⎨
>
⎩

(
)
0
αα
μ
;
σ
Xn
WU Uu
⎧⎫
−
⎪⎪
== >
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭

(1)
0
αα
( μ )

), X
2
∼N(μ
2
,σ
2
2
)

MBB đối với H
0
khi σ
2
đã biết MBB đối với H
0
khi σ
2
chưa biết
n
1
, n
2
đủ lớn
01 2
11 2
:
:
H
H
μ


12
αα/2
22
12
12
;| |
XX
WU Uu
SS
nn
⎧
⎫
⎪
⎪
−
⎪
⎪
== >
⎨
⎬
⎪
⎪
+
⎪
⎪
⎩⎭

01 2
11 2

⎨⎬
⎪⎪
+
⎪⎪
⎩⎭

12
αα
22
12
12
;
XX
WU Uu
SS
nn
⎧
⎫
⎪
⎪
−
⎪
⎪
== <−
⎨
⎬
⎪
⎪
+
⎪

⎧⎫
⎪⎪
−
⎪⎪
== >
⎨⎬
⎪⎪
+
⎪⎪
⎩⎭

12
αα
22
12
12
;
XX
WU Uu
SS
nn
⎧
⎫
⎪
⎪
−
⎪
⎪
== >
⎨

00
22
10
:
:
H
H
σ
σ
σ
σ
⎧
=
⎪
⎨
≠
⎪
⎩

22(1)
2
1 α/2
2
α
2
22(1)
0
α/2
χχ
(1)


σ
σ
σ
σ
⎧
=
⎪
⎨
≠
⎪
⎩

2
1 α/2 1 2
1
α
2
α/2 1 2
2
(1, 1)
;
(1, 1)
FF n n
S
WF
FFn n
S
−
<−−


2
22
α 1 α
2
0
(1)
χ ; χχ
σ
n
nS
W
−
−
⎧⎫
−
== <
⎨⎬
⎩⎭
2(1)
22
01 2
22
11 2
:
:
H
H
σ
σ

22
10
:
:
H
H
σ
σ
σ
σ
⎧
≤
⎪
⎨
>
⎪
⎩

2
22
αα
2
0
(1)
χ ; χχ
σ
n
nS
W
−

2
;(1,
S
WF FFnn
S
1)
⎧
⎫
== > − −
⎨
⎬
⎩⎭Kiểm định GT về P và so sánh hai tham số P
1
, P
2
MBB đối với H
0
MBB đối với H
0

00
10
:
:
HPP
HP P
=

=
⎧
⎫
⎧
⎨

≠
⎩

12
αα/2
12
;
11
(1 )
ff
WU Uu
ff
nn
⎪
⎪
−
⎪
⎪
== >
⎨⎬
⎛⎞
⎪
⎪
−+

== <−
⎨⎬
−
⎪⎪
⎩⎭
0
12
11 2
:
:
H
PP
HP P
≥
⎧
⎨

<
⎩

12
αα
12
;
11
(1 )
ff
WU Uu
ff
nn

⎩

0
αα
00
()
;
(1 )
fpn
WU Uu
pp
⎧⎫
−
⎪⎪
== >
⎨⎬
−
⎪⎪
⎩⎭

0
12
11 2
:
:
H
PP
HP P
≤
⎧

⎪
⎝⎠
⎩⎭
Bài tập
1) Điều tra ngẫu nhiên 200 sinh viên của một trường đại học thấy có 110 sinh viên nữ và 90 nam.
Trong số sinh viên nữ, có 20 người đi làm thêm ngoài giờ học, trong số sinh viên nam có 19 người đi
làm thêm ngoài giờ học. Với mức ý nghĩa 5% hãy cho kết luận về điều nghi ngờ sau:
a) Tỷ lệ giới trong sinh viên của trường đại học này là như nhau.
b) Tỷ lệ sinh viên nam đi làm ngoài giờ lớn hơn tỷ lệ nữ đi làm ngoài giờ.

2) Trường đào tạo lái xe ô tô TX đã đào tạo được 5000 lái xe cho tỉnh A. Kiểm tra ngẫu nhiên 1500
người ở tỉnh A thấy có 200 người có bằng lái xe ô tô, trong đó có 150 người có bằng lái xe do trường
TX cấp.
a) Ước lượng số người đã có bằng lái xe ô tô của tỉnh A tối đa với độ tin cậy 95%.
b) Có thể cho rằng 15% số người của tỉnh A đã có bằng lái xe ô tô không? α=5%.

3) Điêu tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm của một lô hàng thì thấy có 90 chính phẩm. Một lô hàng đủ điều
kiện xuất khẩu nếu có tỷ lệ chính phẩm đạt từ 95% trở lên.
a) Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết lô hàng có xuất khẩu được không?
b) Nếu khẳng định tỷ lệ chính phẩm của lô hàng là 95%, với xác suất 0,9 cho biết khi kiểm tra
một mẫu 169 sản phẩm thì có ít nhất bao nhiêu phế phẩm.

4) Chiều cao thanh niên vùng M là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với µ=165 cm, σ
2
=10
2
cm
2
. Người
ta đo ngẫu nhiên chiều cao của 100 thanh niên vùng đó.

11
2376; ( ) 3575
ii
ii
xxx
==
=−=
∑∑
.
a) Tỷ lệ các cửa hàng cùng loại trong toàn quốc có doanh thu từ 20 triệu đồng/tháng trở lên bằng 42%.
Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết sự khác biệt về tỷ lệ này của địa phương A trong tháng 2 so với toàn
quốc hay không? Biết rằng trong mẫu 144 cửa hàng nói trên có 58 cửa hàng có doanh thu ít nhất 20
triệu/tháng.
b) Hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng cho mức doanh thu trung bình với hệ số tin cậy 95%.
c) Theo thống kê, trước đây độ phân tán (σ) của doanh thu/tháng của các cửa hàng trên bằng 5,2 triệu.
Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết độ phân tán trong tháng 2 có nhỏ hơn so với trước đây không?
d) Từ mẫu ngẫu nhiên gồm 169 cửa hàng kinh doanh mặt hàng tương tự ở địa phương B, người ta thu
được sai số tiêu chuẩn mẫu bằng 5,5. Với mức ý nghĩa 5% hãy cho biết độ phân tán của doanh thu ở A
có nhỏ hơn ở B hay không? Doanh thu các cửa hàng vùng B cũng là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn.

8) Năng suất một giống lúa tại vùng A là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Người ta đã thu hoạch ngẫu
nhiên 100 khu ruộng, được số liệu sau:
Năng suất (tấn/ha) 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5
Số điểm thu hoạch 8 13 22 24 15 10 8
a) Trước đây năng suất trung bình của giống lúa trên bằng 3,8 tấn/ha, với mức ý nghĩa 5% hãy cho biết
năng suất có tăng lên hay không?
b) Với hệ số tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy cho phương sai của năng suất.
c) Thu hoạch ngẫu nhiên 100 điểm ở vùng B người ta tính được năng suất trung bình là 3,7 tấn và độ
lệch tiêu chuẩn là 0,9 tấn. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng năng suất giống lúa ở vùng A lớn hơn
năng suất vùng B hay không? Năng suất vùng B cũng là bnn pp chuẩn.