To: My Special Friend

Một số cách đặt trong chứng minh bất đẳng thức

Lời nói đầu:

Bất đẳng thức luôn là miền đất giàu có của toán học. Chúng ta làm việc với bất đẳng
thức hơn là đẳng thức. Ở những bài toán không có điều kiên, thường các vế đồng bậc
với nhau khi đó chúng ta dễ dàng có hướng đi để đánh giá hơn so với những bất đẳng
thức có điều kiện. Ở bài viết nhỏ này tôi xin giới thiệu với các bạn một vài cách đặt
ẩn
trong chứng minh bất đẳng thức có điều kiện.Do thời gian viết không được dài nên không
thể tránh được sai sót. Tôi mong rằng các bạn xem qua bài viết này để có sự góp ý cho
bài viết được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ email:
Bắc Ninh, ngày 03 tháng 07 năm 2011
Nguyễn Viết Thủy

Cuộc sống là không chờ đợi !!


ABC ABC
+++ =
4:
222
os os os 2cos cos cos 1cAcBcC A B C+++ =II: Một số bất đẳng thức lượng giác hữu ích
1:
3
cos cos cos sin sin sin
2222
ABC
ABC
++≤++≤
2:
33
sin sin sin os os os
2222
ABC
ABCc c c++≤ + + ≤
3:
1
cos cos cos sin sin sin
2228
ABC
ABC≤≤

4:
33

sec sec sec csc csc csc 6
222
ABC
ABC++≥ + + ≥III: Một số cách đặt lượng giác trong chứng minh bất đẳng thức

Từ những đẳng thức, bất đẳng thức trên, ta có thể tìm ra được những cách đặt lượng
giác để có thể giải bài toán bất đẳng thức một cách dễ dàng. Sau đây tôi xin giới thiệu
một số cách đặt:

(Chứng minh sự tồn tại tôi xin dành cho bạn đọc)

T1:Với 3 số dương a;b;c thỏa mãn:ab+bc+ca=1.
Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:
1)
tan ; tan ; tan
222
ABC
abc===
2) cot ; cot ; cotagAbgBcgC
===
T2: Với 3 số dương a;b;c thỏa mãn:a+b+c=abc
Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:
1)a
=tanA; tan ; tanbBcC==

1)
sin ; sin ; sin
222
ABC
abc===
2) cos ; cos ; cosaAbBcC===

T4: Với 3 số thực dương a;b;c. Khi đó luôn tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

sin
2()()
Ayz
x
yx z
=
++

sin
2()()
Bxz
y
xy z
=
+
+sin
2()()
Cxy

=
+
+()
os
2()()
Czxyz
c
zxzy
++
=
++
Sau đây chúng ta sẽ vận dụng chúng để chứng minh một vài bất đẳng thức sau, tôi sẽ
trình bày cả cách không thế lượng giác và cả cách đặt lượng giác để các bạn thấy được
ích lợi của nó (^_^) IV: Những bất đẳng thức qua các kì thi

Pro.1: (Ba Lan 99)
Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn:a+b+c=1. Chứng minh rằng:


1
x
yyzzx⇒++=
Bất đẳng thức tương đương :

222
() () () 23 1
x
yyzzx xyz+++ ≤

3xyz⇔++≥ (*)
Lại có từ điều kiện tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

tan ; tan ; tan
222
A
BC
xyz===

(*)
tan tan tan 3
222
ABC
⇔++≥
Mà bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng. Từ đó ta có đpcm.
Dấu “=” xảy ra khi
1
3
abc===
Nhận xét: Ở bài toán này có vẻ cách đặt lượng giác đã làm một bài toán từ đơn giản trở

⇒++=
+++

Hay
21ab bc ca abc+++ = (1)

3
(*)
2
ab bc ca⇔++≤ (2)
Đặt
;;
222
mn p
ab bc ca===22 2
4mn pmnp⇒+++ =
Ta phải chứng minh:
3mn p++ ≤
Trong 3 số m;n;p luôn tồn tại 2 số cùng phía với 1.
Không mất tính tổng quát giả sử: (m-1)(n-1)
0≥

1mn m n⇒+≥+
Ta cần chứng minh
2pmn
+
≤

sin sin sin
2222
ABC
⇔++≤
Đây là bất đẳng thức lượng giác cơ bản. Ta có đpcm.
Dấu”=” xảy ra khi
3
2
xyz===
.

Nhận xét: Nếu không thế lượng giác, chúng ta phải biến đổi dài dòng kết hợp với lý luận
mới có được lời giải cho bài toán trên. Nhưng chỉ với cách đặt lượng giác, chúng ta đã
đưa BĐT ban đầu trở về một bất đẳng thức lượng giác cơ bản (^_^). Pro. 3: (Crux Mathematicorum)
Cho 3 số dương x;y;z
Chứng minh rằng:

1
()() ()() ()()
xyz
x xyxz y yzyx z zyzx
++≤
++ + ++ + ++ +


22
13
()() ()()
sym
xx
x
yx z x yx z
sym
≥
∑
++
∑
++ ++

Ta sẽ chứng minh:

9
2
2
3
()()
x
xyxz
sym
≥
+
∑
++

2

()()
1
sym
xyxz
x
≤
++
+
∑
(*)
Hai vế của bất đẳng thức đồng bậc. Không mất tính tổng quát giả sử:
1
x
yyzzx++=

Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:
tan ; tan ; tan
222
ABC
xyz===
2
2
(tan tan )(tan tan )
()() 1
2222
tan sin
22
ABAC
xyxz
AA

2
sym
A
A
⇔≤
+
∑1
2
1sin
2
sym
A
⇔≥
+
∑

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawz ta có:

19
2
1 sin 3 sin
22
sym
sym
AA
≥≥
++

222
x
zy xyz yzx
abc
+− +− +−
⇒= = =
Điều kiện trở thành: xyz=1
Khi đó bất đẳng thức tương đương:

()()()()()()3zxyzyx xyzxzy yxzyzx+− +− + +− +− + +− +− ≤

222 2 2 2
3( )( )( )
x
yz xy yz zx⇔++≤+− +− +−

222
32( )
x
y z xy yz zx⇔+++≥ ++
Có 3 hướng đi để ta “tấn công” bất đẳng thức trên:

Hướng
1:
Ta có:
222 2 2 2
3
9
31 3 2( )
x

Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc ba cho bộ số:
22 2
(;;)mnp ta được:
66 6 222 2222 3 3 3
3()2[()()()]mn p mnp mnmn mn np pm++ + ≥ + ≥ + +
∑

Ta có đpcm
Lời giải 2:
Ta chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau:
Với 3 số dương a;b;c ta luôn có:
33 2
3
( ) ( ) [( )( )( )]
4
ab bc ca a b b c c a++ ≤ + + + (*)
Thật vậy:
Vì 2 vế đồng bậc nên không mất tính tổng quát giả sử:
1ab bc ca
+
+=

Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:
tan ; tan ; tan
222
ABC
abc===
1
()()()
os os os

1119
()
()()()4
ab bc ca
ab bc ca
⎡⎤
++ + + ≥
⎢⎥
+++
⎣⎦Bất đẳng thức trên được phát biểu với hình thức rất đẹp nhưng không phải vậy mà chúng
ta dễ dàng “xơi” được nó. Sau đây là hai lời giải cho bài toán khó trên.
Lời giải 1: (V.Q.B.Cẩn)
Do tính đối xứng nên không mất tính tổng quát giả sử
0abc≥≥≥. Áp dụng bất đẳng
thức Cauchy-Schwarz ta có:
2
2
22 22
11111(2)
()()2 2()()
ab c
bc ac bc ac bc ac
++
⎛⎞
+≥+=
⎜⎟
++ ++ ++

() 0
2( ) 4
xc c
fx x c
xcc
++
=
++ − ≥
++

Ta có:
22
23
(1 2 ) ( )
'( ) 1
2( )
ccxc
fx
cc x
++−
=−
++22
24
(1 2 ) ( 2 )
''( ) 0
()
cc c x

−
⇒≥ = ≥
+

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu”=” xảy ra khi a=b; c=0
Lời giải 2:(Hojoo Lee)

Bất đẳng thức trên thuần nhất, không mất tính tổng quát giả sử:
1ab bc ca
+
+=
Khi đó ta chỉ cần chứng minh:
222
1119
()()()4ab bc ca
++≥
+++Theo
T1: Tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:
cotagA= ; cotbgB= ; cotcgC=
Ta để ý đến các phân tích sau:
2
22
22
1 (sin .sin ) (sin .sin ) sin .sin
(cot cot ) (sin cos sin cos ) [sin( )] sin
AB AB AB
gA gB B A A B A B C

B
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠
(*)
()
2
222
sin sin sin sin sin sin 9
2sin sin sin
sin sin sin 4
AB BC C A
ABC
CAB
⎛⎞
⇔++ ≥+++
⎜⎟
⎝⎠

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên bằng dồn biến.
Đặt:
sin sin sin sin sin sin
(;; )
sin sin sin
AB BC C A
fABC
CAB
=++
Bất đẳng thức (*) đối xứng. Không mất tính tổng quát giả sử:


Lại có:
()
2
22
sin
4sin Asin
1
2
2
;; ; ; 0
2 2 sin sin sin 2
BC
A
BCBC
fABC fA
ABC
−
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
++
⎛⎞
⎝⎠
−= −≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟

⎛⎞
≥+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

Hay:
2
4
os
2
2sin
sin
A
c
A
A
⎛⎞
⎜⎟
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
22
9
2sin 4cos
42
A
A≥+ +

P
abc
=−+
+++Pro.8: (APMO 2002)
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn:
111
1
abc
+
+=
Chứng minh rằng:

a bc b ca c ab abc a b c++ +++≥ + + +

Pro 9 (Crux Mathematicorum)
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng:
22 22 22
43
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
9
ab c ba c cb a−−+−−+−−≤Pro:10
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng:

I: Một số cách đặt

H1
Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn: 21ab bc ca abc
+
++ = (1). Khi đó tồn tại bộ ba số
dương (x;y;z) sao cho:
x
a
y
z
=
+
;
y
b
zx
=
+
;
z
c
x
y
=
+
(*)

Chứng minh:


+

Ta sẽ chứng minh bộ (x;y;z) được chọn như trên thỏa mãn.
Thật vậy:
Khi đó ta có: 1
x
yz++=

Lại có:
11
axx
xa
axyz
=⇔==
+−+

Tương tự
1
y
y
b
y
xz
==
−+1
zz
c

x
y
=
+()()
xy
mab
x
zy z
⇒= =
++
;
()()
yz
nbc
x
yx z
==
+
+
;
()()
xz
pac
x
yy z
==
++

yz y
=
+
+

H3: Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn: 2
xyz
xyz yzx zxy
+
+=
+++

Khi đó tồn tại ba số
;;
x
yz sao cho:
()()
xy
a
x
zy z
=
++
;
()()
yz
b
x
yx z
=

b
xz
+
−+−
=
;
()()
4
zyxzxy
c
xy
+
−+−
=

H5: Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn:
1111
ak bk ck k
+
+=
+
++
trong đó k là số thực
dương
Khi đó tồn tại bộ ba số x;y;z sao cho:
()ky z
a
x
+
= ;

;
()
xy
c
zx y z
=
+
+H7: Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: 1ab bc ca
+
+= khi đó tồn tại ba số thực dương
x;y;z sao cho:
()()
()()
x
yzxzy
a
x
yzyzx
+− +−
=
++ +−
;
()()
()()
y
xzyzx
b

Pro.1 (Post by hxtung)
Cho ba số thực dương a;b;c thỏa mãn:x+y+z+2=xyz.
Chứng minh rằng:

()
5( ) 18 8
x
y z xy yz zx++ + ≥ + +

Lời giải 1:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
9( ) 18 4( ) 8( )
x
yz xyz xy yz zx++ + ≥ ++ + + +
322( )
3
2
x
yz x y z
xyz xyz
⇔+++≥ ++
⇔≥++Theo
H1: tồn tại ba số dương a;b;c sao cho:
bc
x
a
+

++ + +
⎝⎠1
.
2
bc b c
caab ba ca
⎛⎞
≤+
⎜⎟
++ + +
⎝⎠1
.
2
ca c a
abbc cb ab
⎛⎞
≤+
⎜⎟
++ + +
⎝⎠

Nên
13


+++ +≥+++ ≥+++
++Vậy ta chỉ cần chứng minh:

222
9
2( )
abc
a b c ab bc ca
abc
+++ ≥ ++
++

Nhưng bất đẳng thức trên đúng theo Schur bậc ba . Ta có đpcm.
Trở lại bài toán. Đặt 2 ; 2 ; 2
x
ay bz c=== 14a b c abc⇒+++=
Ta cần chứng minh:
(
)
5( ) 9 8a b c ab bc ca++ +≥ + +
Áp dụng bất đẳng thức (*) với bộ
(
)
;;abc ta có:
()
84()84ab bc ca a b c abc++ ≤+++ +
Do vậy ta chỉ cần

x
yz xyz xy yz zx++ + + − + +
()()
(
)
(
)
(
)
22 2
4424222220xy z zx y xyz=−+−+ − −+ − ≥
Ta có đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi 2xyz
=
==. ☺

Lời bàn:

Lời giải trên rất ngắn gọn nhưng nó không thật tự nhiên cho lắm. Chắc hẳn các bạn cũng
đặt câu hỏi: Tại sao có thể phân tích được như vậy??. Thực ra ban đầu khi tiếp xúc với
bài toán này tôi đã nghĩ ngay đến việc phân tích hiệu hai về thành các bình phương
nhưng sau nhiều lần cố phân tích tôi đã thất bại. Nản chí với cách đó tôi thử giải quyết
theo hướng khác và kết quả có đượ
c hai lời giải 1 và 2.Rồi tôi chợt nghĩ lại hướng đi ban
đầu của mình, suy nghĩ tại sao mình lại thất bại. Và tôi đã phát hiện ra sai lầm của mình
khi cố phân tích bình phương mà đánh giá giữa các biến bình đẳng với nhau.Khi phát
hiện ra “lỗ hổng” của mình, tôi đã thử phân tích bình phương mà chỉ có 2 biến x;y bình
đẳng xem sao?Bằng cách sử dụng tính chất cùng phía kết hợp với đẳng thức xảy ra của
BĐT như
vậy trong biểu thức phân tích ắt phải có hạng tử
(

22222a x y b z c z x y d xyz−+−+ − −+ −

()
4( ) 16 8
x
yz xyz xy yz zx=++++− + + .
Đó là lý do tại sao tôi có được đẳng thức trên
☺
Pro.2 (Nguyễn Viết Thủy)
Cho ba số dương a;b;c
Chứng minh rằng:
222
3
()()()64
()27
ab bc ca
abc a b c
+++
≥
++

Lời giải:
Đặt
()
bc
x
aa b c

=+ =+
++ ++

Khi đó bài toán trở thành: Cho ba số dương x;y;z thỏa mãn: xy+yz+zx=1
Chứng minh:
222
64
(1 )(1 )(1 )
27
xyz+++≥
Và hiển nhiên bài toán trên được “xơi” rất nhẹ nhàng bằng biến đổi như sau:
Ta có:
222 2 2 2
(1 )(1 )(1 ) ( ) ( ) ( )
x
yzxyyzzx+++=+ + +
Khi đó ta chỉ cần chứng minh:

8
()()()
33
xyyzzx+++≥
Nhưng bất đẳng thức trên chỉ là hệ quả của hai bất đẳng thức đúng sau:
88
()()()()( )()
99
x
yy zz x x y zxy yz zx x y z+++≥++ ++=++
Và:
88

++ + + + + +
+≥+
+++ ++Nếu như chúng ta đánh giá bằng AM-GM ngay sẽ trở lên rắc rối và khi đó cách đặt sẽ trở
thành công cụ đắc lực của ta khi làm rõ bản chất của bài toán

Lời giải: Đặt
()
bc
x
aa b c
=
++
;
()
ac
y
babc
=
++
;
()
ab
z
cabc
222
111
3
111xyz
⎛⎞
=++
⎜⎟
+
++
⎝⎠

Khi đó bài toán trở thành:
Cho ba số dương x;y;z thỏa mãn:
1
x
yyzzx
+
+=
Chứng minh:
222
222
111 13
3(1)(1)(1)9
1 1 1 108
xyz
xyz
⎛⎞
++ ++++≥+

(1 )(1 )(1 ) 9
108
xyz++ + + ≥+ (*)

Đặt
222
3
(1 )(1 )(1 )
x
yzt+++=

Khi đó theo Pro.2 ta có được
4
3
t ≥
Và
3
9 985
(*)
108
t
t
⇔+≥

Nhưng bất đẳng thức trên đúng theo AM-GM:
3
9 9 9 243.
9
3 3 3 256
t

abbcca abcabc
++ + + + + +
+≥
+++ ++

Và có lẽ theo tôi hằng số tốt nhất là
512
81

☺

Pro 4 (Iran 2005):
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn:
21ab bc ca abc
+
++ =

Chứng minh rằng:
3
2
ab bc ca++≤ (*)
Lời giải:
Chắc hẳn nếu như chúng ta đã có những công cụ ở trên thì việc chứng minh bài toán sẽ
trở lên đơn giản khi chỉ bằng AM-GM hai số:
Theo
H1: Tồn tại ba số dương x;y;z sao cho:
;;

1
()()2
y
zyz
x
yx z x y x z
⎛⎞
≤+
⎜⎟
+
+++
⎝⎠ Và
1
()()2
x
zxz
x
yy z x y y z
⎛⎞
≤+
⎜⎟
++ + +
⎝⎠

Kết thúc chứng minh.

Nhưng nếu chúng ta không có công cụ trên thì sẽ làm thế nào??

++≤
+++

Lời giải:
Điều kiện tương đương:
111
1
ab bc ca
++=
Dễ dàng nhận ra rằng tồn tại bộ ba số x;y;z sao cho:
()
x
xyz
a
yz
++
= ;
()yx y z
b
zx
++
=
;
()zx y z
c
xy
+
+
=
Khi đó bất đẳng thức trở thành:

xyz
xyz
yzx
+++≥+++
Pro. 6
Cho ba số dương a;b;c thỏa mãn: 1ab bc ca
+
+=
Chứng minh rằng:

222
1119
888
4
555
abc bca cab
++≥
+++

(
Tạ Minh Hoằng-Nguyễn Huy Tùng tuyển tập các bài toán BĐT)
Pro.7
Cho ba số dương x;y;z thỏa mãn:
2
xyz
xyz yzxzxy
+
+=
+++

Hãy chọn cho mình một lối đi chứ không phải một lối thoát !! The End