Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức
VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR:
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Ta đặt
2
2
2
y z x
a
x b c
x z y
y c a b
z a b
x y z
c
+ −

=

= +


+ −
 
= + ⇒ =
 

Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
a b c⇔ = =
VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:
2 2 2
3x y z+ + =
. CMR:
3
xy yz zx
z x y
+ + ≥
Đặt
xy
a
z
yz
b
x
zx
c
y

=



=




a
x
a b c
b
y
a b c
c
z
a b c

=

+ +


=

+ +


=

+ +

với a,b,c >0
Nên BĐT
⇔
CM
4. 9. 36
a b c a b c a b c


=


=


⇔ ⇒ =
 
=



=


VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR
( )( )( )xyz x y z y z x z x y≥ + − + − + −
Ta đặt
x b c
y c a
z a b
= +


= +


= +


z
z
c
x

=



=



=


với
, , 0x y z >
Nên BĐT có thể viết lại
1 1 1 1
x z y x z y
y y z z x x
 
  
− + − + − + ≤
 ÷
 ÷ ÷
  
 





=


với
, , 0x y z >
và do
1abc =
nên
1xyz =
Nên BĐT
2 2 2
3
2
x y z
y z z x x y
⇔ + + ≥
+ + +
mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x y z
y z z x x y x y z
y z z x x y
 
 
+ + + + + + + ≥ + +

2 1
1 1 1
xyz x y z
x y z
= + + + ⇔ + + =
+ + +
Ta đặt
1 1 1
, ,
1 1 1
a b c
x y z
= = =
+ + +
với
, , 0a b c >

1 1 1
, ,
a b c b a c c a b
x y z
a a b b c c
− + − + − +
⇒ = = = = = =
Nên BĐT cần CM
⇔
CM BĐT
3
. . .
2

c a c a
a b b c c b a b
 
≤ +
 ÷
+ + + +
 
Nên
1 3
. . .
2 2
a b b c c a a b b c c a
b c c a c a a b a b b c a c b c b a c a c b a b
 
+ + ≤ + + + + + =
 ÷
+ + + + + + + + + + + +
 
Vậy BĐT luôn đúng
Dấu “=” xảy ra
2x y z⇔ = = =
Sau đây là một số bài tập để luyện tập:
Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác:
1,
3
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
2,

2 22
abc
ab bc ca
+ + ≥ + +
Bài 4: Cho
, , 0a b c >
thoả mãn
1abc
=
. CMR:
3 6
1
a b c ab bc ca
+ ≥
+ + + +
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR:
1,
2 2 2
4 3a b c S+ + ≥
với S là diện tich tam giác
2,
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0a b a b b c b c c a c a− + − + − ≥
Gợi ý: Đặt
, ,a x y b y z c z x= + = + = +
TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN
“Tìm được lời giải cho một bài toán là một phát minh” (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta
biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Bài viết này đề cập đến một
bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này.
Bài toán: Với hai số dương x và y ta có:

⇒≥
Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y.
Cách 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có

yx
+
,2 xy≥

xy
yxyx
21
.
1
2
11
=≥+
Từ đó:
)( yx +
(
)
11
(
4
11
4)
11
yxyxyx
+≤
+
⇒≥+

(
2
1111
cbaaccbba
++≤
+
+
+
+
+
(2)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
* Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:

)
111
(
2
1
2
1
2
1
2
1
accbbabacacbcba +
+
+
+
+

Chú ý: Nếu thêm giả thiết
4
111
=++
cba
thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học
và Cao đẳng khối A, năm 2005.
Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương:

accbbabacacbcba 3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
1
+
+
+
+
+
≤
++
+
++

2
1
3
1

baccbaaccbaac ++
=
++++
≥
++
+
+ 2
2
)2()3(
4
2
1
3
1
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5)
Đẳng thức xảy ra khi:
cba
cbaac
baccb
acbba
==⇔





1
2
C
tg
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg
C
tg
A
tg
C
tg
B
tg
C
tg
B
tg
A
tg
=
+
+
+

+
+
+
+
Ta có:
xyzxyz
zxyzxy
zyxzxxy
zy
yzzx
yx
yzxy
zx
xyzx
z
yzxy
z
zxyz
y
zxxy
y
yzzx
x
yzxy
x
xyzxyzxy
z
zxyzzxxy
y
yzzxyzxy




++=








+
+
+
+
+
+
+
+
=
=









+
+++
+
+++
=
+
+
+
+
+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.
Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y +
1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của

111 +
+
+
+
+
=
z
z
y
y
x
x
Q
Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và



816444
)
11
(
=−≤⇒
=
++
≥+
+
≥++
Q
cbacbacba
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:





−=
==
⇔





=
==
⇔



−=
==
1
2
1
z
yx
Bài toán 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

tx
xz
xz
zy
zy
y
yt
x
A
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−

≥−






+
+
+
++






+
+
+
+=
=−
+
+
+
+
+
+
+
+

xy
zy
zt
yt
yx
tx
xz
xz
zy
zy
yt
y
tx
A
Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.
Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương
tự:
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:







+
+
+
+
+

1
2
1
32
1
32
1
32
1
/2
4
1
.
111
)(32
1
)(32
1
)(32
1
/1
Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc =
ab + bc + ca thì:

96
17
32
1
32
1

T
222 ++
+
++
+
++
=
Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh
rằng:







++≥
−
+
−
+
− cbacpbpap
111
2
111