BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


Nguyễn Tăng Vũ

BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO



Chuyênngành : Toán Giải Tích
Mãsố : 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS Nguyễn Anh Tuấn

nhậnđượcsựgópýcủaQuýThầyCôvàbạnđọcnhằmbổsungvàhoànthiệnđềtàihơn.
Xinchânthànhcảmơn.
      TPHồChíMinhtháng10năm2010



DANH MỤC KÍ HIỆU




,
I a b
 

n
R
làkhônggianvectơnchiềuvớivectơcột
 
1
n
i
i
x x


trongđó
i
x R


trongđó


, 1,2, ,
ik
x R i k n
 
vớichuẩn:
, 1
n
ik
i k
X x





 


1
: 0; 1, ,
n
n n
i i
i
R x R x i n



n n n
x y y x R X Y Y X R

 
       

 Nếu
 
n
n
i
i
x x R
 
và
 
, 1
n
n n
ik
i k
X x R


 
thì:






max :
C
x x t t I
 


C

với
0


làkhônggiancáchàmliêntục

-tuầnhoàn
:
u R R

vớichuẩn:




max :
C
u u t t R

 


1
max :0
n
n
k
C
k
u u t t





  

   

1
n
C


làkhônggiancáchàmkhảviliêntụccấp


1
n

,


u C



với


1
n
u

làliêntụctuyệtđối.





0;
L

làkhônggiancáchàmkhảtíchLebesgue


: 0;
u R


vớichuẩn
    
 




L

làkhônggiancáchàm
:
u R R

,

-tuầnhoàn,khảtíchLebesguetrên


0;

với
chuẩn
 
0
L
u u s ds






MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài


1.1 Giới thiệu bài toán
Cho




: ; ;
n n
f C I R L I R

và


: ;
n n
h C I R R

làcáctoántửliêntụcthỏavớimọi


0;

 
thì:
  





h x

      (1.2)
Định nghĩa 1.1
Nghiệmcủacủabàitoán(1.1),(1.2)làcácvectơhàmliêntụctuyệtđối
:
n
x I R

,
thỏa(1.1)hầukhắpnơitrên
I
vàthỏa(1.2).
  Trongphầnhaitanghiêncứucácđiềukiệnđủchosựtồntạinghiệmcủaphươngtrình
(1.1),(1.2).Trongphầnba,tathiếtlậpcáctiêuchuẩnchosựtồntạinghiệmcủabàitoán
biên:
    


 
 
0
,
dx t
f t x t
dt

    (1.3)



t C I R I

và


: ;
n n n
A C I R R


làtoántửliêntục.
1.2Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)
Định nghĩa 1.2
Cặptoántử


,
p l
với






: ; ; ;
n n n
p C I R C I R L I R
 
và

,. : ;
n n
x C I R R

làtuyếntính.
ii) Vớimọi


, ;
n
x y C I R

vàhầuhết
t I

tacócácbấtđẳngthức:






, ,
C C
p x y t t x y


,



n
x C I R

,


;
n
q C I R

và
0
n
c R

,
và với mọi nghiệm bất kỳ y của bài toán biên:


      
0
, , ,
dy t
p x y t q t x y c
dt
  

   (1.5)
thỏa


: ; ;
n n n
C I R C I R R
 
làcáctoántửliêntục
saocho


0;1

 
mọinghiệmcủabàitoán


        
, ,
dx t
p x x t f x t p x x t
dt

  
 
 
 (1.7)







     
 
 
0 0
2 ,2 sup : ; , 2
2 2 sup : ; , 2
n
C
n
C
t t f x t x C I R x
t h x x C I R x
   
   
   
   

   
1 khi 0
2 khi 2 1
0 khi 2
s
s
s s s
s

   


  

     (1.11)








0
,
C
c x x x x h x

 
 
 


Khiđódođịnhnghĩacủafvàαtacó




0
; ,t L I R
 
  
vàvớimỗi


 
    (1.12)
(do




0 2
C
q x t x

  
)
Cốđịnh


;
n
x C I R

,xétbàitoánbiêntuyếntính


         
0
, , ,
dy t
p x y t q x t x y c x
dt
  


 
 hầuhết
t I

 (1.14)
trongđó








*
0 0 0 0
, ,
L
t t t
        
   

Đặt




: ; ;
n n



0
0
; :
n
C
C x C I R x


  
,khiđóulàtoántửliêntụctừ
0
C

vàotậpconcompact
củachínhnó,nêntheonguyênlýSchauder,tồntại
0
x C


saocho






u x t x t


.Tuyvậy,theođiều
kiệncủađịnhlýtacó(1.9)nênmâuthuẫnvới(1.16).
Nếu(1.17) thỏa. Khi đótheo (1.10) và (1.15) thì
0


, suy rax là nghiệmcủa bài toán
(1.13
0
).Điềunàylàkhôngthểvì(1.13
0
)chỉcónghiệmtầmthường.
Từcácđiềutrêntathấyxthỏa(1.9).
Dođó,từ(1.9),(1.10),(1.15)rõràng
1


,suyraxlànghiệmcủabàitoán(1.1),(1.2). Định nghĩa 1.4
Cho






: ; ; ;
n n n



0 0
,
p

thuộcvềlớp
,
n
p l

nếutồntạidãy


 
; 1,2,
n
k
x C I R k 
saochovớimỗi


;
n
y C I R

cácđiềukiệnsauđượcthỏamãn:
 
    
0



: ; ; ;
n n n
p C I R C I R L I R
 
và




: ; ;
n n n
C I R C I R R
 
,thuộclớp
0
n
O
nếu:
i) Vớix cốđịnhthuộc


;
n
C I R
thìtoántử
 







0
, , ,
C C
p x y t t y x y y
 
 


 thỏamãn,trongđó
:
I R



làkhảtíchvà
0
R




iii’)Vớimỗi


0 0
,

saochovớimỗi


0,1

 ,mọi
nghiệmcủabàitoán(1.7),(1.8)thỏa(1.9).Khiđóbàitoán(1.1),(1.2)cónghiệm.
Chứng minh
Theobổđề2.2của[6],nếu


0
,
n
p O


thì


,
p

lànhấtquán,nêntừđịnhlý1.3tacó
điềucầnchứngminh.
Định nghĩa 1.7
Toántử






thỏa
mãnvớihầuhết
t I

.
Hệ quả 1.8
Giảsửtồntạisốnguyêndươngρ,mộttoántửtuyếntínhbịchặnmạnh




0
: ; ;
n n
p C I R L I R

vàmộttoántửtuyếntínhbịchặn


0
: ;
n n
C I R R

saochobài
toán(1.18)chỉcónghiệmtầmthườngvàvớimỗi







0 0
, , ,
p x y t p y t x y y
 
 
. Rõ ràng do
0
p
 là toán tử tuyến tính bị
chặnmạnhvà
0

làtoántửtuyếntínhbịchặn,theođịnhnghĩa1.7thì




,
p x y t
và


,
x y

thỏađiềukiện(i)và(ii’)củađịnhnghĩa1.5.

,
p

thỏa điều kiện (iii’) của định
nghĩa1.5.
Dođó


0
,
n
p O


.Từđótheohệquả1.6thìbàitoán(1.1),(1.2)cónghiệm.

1.3 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.3), (1.4)
Trongbàitoán(1.3),(1.4)thìtaxétvectơhàm
0
:
n n
f I R R
 
thỏađiềukiện
Caratheodory,cáctoántử


 
: ; 1,2
n



Định lý 1.9
Giảsửtồntạicáchàmkhảtích
1 2
: , :
g I R g I R

 
vàmộtsố


0,1


saocho:








0 0 1 2
, .sgn
f t x t t x g t x g t
 
  
 

với


;
n
x C I R

 (1.20)
Khiđóbàitoán(1.3),(1.4)cónghiệm.
Chứng minh
Vớimỗi


, ,
n
x y C I R

,đặt








0
,
f x t f t x t







1 1 1
, sgn , ,
p x y t g t t t x y t x y y t x
 
  
 


Tachứngminhtoántử






: ; ; ;
n n n
p C I R C I R L I R
 
và




: ; ;

: ; ;
n n n
C I R C I R R
 
vàvớicáchđặtnhưtrênthì
,
p

tuyếntínhtheođối
sốthưhai.
(ii) Tacó






, , ,
p x y t x y

thỏa(ii)củađịnhnghĩa1.5với
1 0
, 1
L
g
 
 

(iii) Vớimọi


.Khiđónghiệmcủabàitoán(1.5)trongđịnh
nghĩa1.3là
 
 
 
   
 
1
0
t
R t R s R t
t x
y t c e q s e ds
 
 


Chọn
 
1
1
L
g
e b a

  
khôngphụthuộcvào
0
, ,
x q c

 
,










1 2 0
x t x A x x t x c

 
 
 

Gọixlànghiệmbấtkỳcủabàitoántrênứngvới


0,1


.Đặt





n
x t x t x t x t

khiđótacó
     
 
sgn
i i i
x t x t x t



hầukhắpnơitrên
I.Dođó
         
 
 
 
 
 
1 1
sgn sgn
n n
i i i
i i
u t x t x t x t x t x t x t
 

 


 
 
 
       
 
 
 
 
1 1
1 0 1
1 0 1
sgn sgn sgn
1 sgn , sgn sgn
1 , sgn
u t t t x x t x t t t x
g t x t x t f t x t t t x x t
g t x t f t x t t t x x t
 
 
 
  
   
 
   
 










1 2 0
x t x A x x t x c

 
 
 

tasuyra
 










1 2 0
0
u t x A x u t x c
 
    (1.22)
Từbấtđẳngthức(1.21)tacó
 

Thay


2
t t x

vào(1.23),vàtừ(1.20)và(1.22)thì:
 
 
   
 
 


 
 
   
 
 
 
   
 
 
2
1
2
1
2 1 1 1 1
1 1 2 0 1
0

 
   
 
 
 
 
 
 
2
1
2
1
1 1 2
0
1 1 0 1
2 1 1
exp sgn
exp sgn
exp
t x
t x
t x
t x
o
L
g s s t x ds A x u t x
g s s t x ds c
u t x g c

 

exp
1
L
c g
 

 
 
 

.
Từ(1.20),tacũngcó
   
 


   
 
 
2
1
1 2 1 1
0
exp .sgn exp
t x
L
t x
A x g t dt t x t x g
 
 

PHƯƠNG TRÌNHVI PHÂN HÀM BẬC CAO

2.1 Giới thiệu bài toán 
Chosốtựnhiên
2
n

và
0


,
1
:
n
f C L
 


làtoántửliêntục.Taxétphươngtrình
viphânhàm:
   


    
n
u t f u t

(2.1)
với


đượcgọilà nghiệm

-tuầnhoàncủabàitoán(2.1)nếuthỏa
phươngtrình(2.1)hầuhếttrên
R
.
Trườnghợpđặcbiệtcủaphươngtrình(2.1)là:



   
 
 
 


 
 


1
1 2
, , , ,
n n
n
u t g t u t u t u t
  



n
x x x R

.Cáchàm


: 1,2, ,
k
R R k n

 

đođượctrênmọi
khoảnghữuhạnvà






k k
t t
  

 
làmộtsốnguyên


1, ,
k n

x khi x



 

 

   (2.7)






min :0u u t t
 
  
với
u C


  (2.8)
Trướckhiđivàocácđịnhlýchính,tacócácbổđềsau.

2.2 Một số bổ đề quan trọng
2.2.1 Bổ đề đánh giá tiên nghiệm
Bổ đề 2.2 Nếu
1
n

k
C C
u v u k n
 

  
 (2.10)
Chứng minh
Talấy


0
0;
t


saocho




0
u u t


     (2.11)
Đặt  




0 0
0 0
,
t t
t t
t t
t t
t s ds s ds
t s ds s ds
 
  
  
 
 
 
 
 
 
 
    (2.13)
với
0
t

 
         
Cộnghaibấtđẳngthứctrong(2.13)tacó
  
   
0





    (2.15)
Hơnnữa 


C C
u u
 
 
 
(Vì






0
u t t u t

 
)
và 
   
0
0
0

C
u u u s ds u u s ds

 
  
 
 
 
   
 
 
 
 (2.17)
Mặtkhác,theobấtđẳngthứcWirtinger,
 
 
 
 
2 4 2 4
2 2
2
1 1
0 0
2 2
n n
n n
C
u s ds u s ds u

 

1
0
1
2
2
2 2
n
n
C
n
C
n
n
C
n
C
u u u
u u
u v u





 

 







 
0 1, ,
k
u k n

 
thìtacó(2.10)■
Bổ đề 2.3
Cho
1
n
u C




và
   
1
1
0
0
n
n k
k
C C
k



 


      (2.20)
Khiđó


   
 
1
1
0 0
1
n
C
u c u

 


   
    (2.21)
 
     
 
1
1
1

k
C C
k
u c u
 



 



 
1
0 0
1
n
k
k
C
C
k
c u u




  

 

k k
C
k
c u v u





 
  
 
 
 

 

 


1
0 0
n
C
c u u

 

  


1
1 1 1
0
2 2
1
1
0
1
1
0 0
0

1
do2.21
n
n n
k n n
k
C C
C C C
k k
n
n
k
C
k
n
k
k
u u u u v u v u

1
n
u C



thỏa
 
 
1
,
n
C
u u

 

 

 
 
     
(2.23)
   
1
1
0
1
n
n k

và
  
1
1
1
n
k k
k
v



 


      (2.25)
Khiđó 
1
0
n
C
u r



       (2.26)
với  
 



n
n k
k
C C
k
u c u
 



 


và
1
0
1
n
k k
k
v



 


.
Ápdụngbổđề2.3tacócácbấtđẳngthứcsau


1
1
1
0 0
0
1
n
n
k
C
k
u u c u v

  




   


  
   
1
1
0
0
1
n
k

 
 
   (2.30)
Từ(2.29),(2.30)tacó
 


 
1
1
1 1
0 0
0
0
1 1
n
n
k
C
k
u c c v
r

  


 

   





  


  (2.31)
với


0
0, 0 0, , 1
k
c k n
   

.Hơnnữanếu(2.20)thỏa,khiđóbấtđẳngthức(2.26)thỏa,
với
 
 
1
1
0 0 0
0
1 1 1
n
k
k
r v c


1
do
n
n
k
C
k
n
k
k
u u c u v
c c c v
u c

  









   
   





r
đượcxácđịnhbởi(2.32).■
2.2.2 Bổ đề về sự tồn tại nghiệm
Trongphầnnàytaxâydựngmộtsốbổđềvềtínhgiảiđượccủabàitoánbiêntuần
hoànbậccaotrongtrườnghợptổngquát.
Xétphươngtrìnhviphânhàmbậcn
   


    
n
u t f u t

     (2.33)
Vớiđiềukiệnbiêntuầnhoàn


 


   
1 1
0 1,2, ,
i i
u u i n

 
 
 (2.34)
trongđó

f f u u r L



  
 (2.35)
vớimỗi
0
r

.
Khiđótừhệquả1.8tanhậnđượckếtquảsau:
Bổ đề 2.6
Giảsửtồntạitoántửtuyếntínhbịchặn








1
: 0; 0;
n
p C L
 


vàmộthằngsố

   
 
 
1
0
0;
n
C
u r



     (2.38)
Khiđóbàitoán(2.33),(2.34)cónghiệm.
Ápdụngkếtquảtrênchotoántử




0
p u au
tacókếtquảsau:
Bổ đề 2.7
Cho
1
:
n
f C L
 


thỏa(2.25).Khiđóbàitoán(2.1)cónghiệm

-tuầnhoàn.
Chứng minh
Vớicáchằngsố
1
, ,
n
c c
bấtkỳ,bàitoán
 


 


 


   
2 1 1
0, 0 0, 1, ,
n i i
i
y t y y c i n

 
   
 (2.40)
cónghiệmduynhất.Khiđótađặt

; 0 , , 0
n n
z u t u t y t u u u u
 
 
   
với
0
t

 

(2.41)
Vàmởrộngtuầnhoàn




.
z u
lên
R
vớichukỳ

.
Tathấy


1 1
: 0,

lên


0;

,khiđó
u
thỏa(2.34)tứclà


 


  
1 1
0 1,2, ,
i i
u u i n

 
 
,từ(2.40)tacó
0
y

,từ(2.41)suyra





1
: 0; 0;
n
f C L
 


làtoántửliên
tục,thỏađiềukiện(2.35)vớimọi
0
r

.
Mặtkhác,nếu






0
p u t au
,thìbàitoán(2.33),(2.34)chỉcónghiệmtầmthường.Theo
cácđiềukiệncủabổđề(2.6),bàitoán(2.33),(2.34)cónghiệmvớimọi


0;1


.

1
1
1
0
sgn 0
n
k
k
C
k
f u s ds u h u u c


 


 
 
  
 
 



với


0
u


 
0
sgn 0 0
f u s ds u


 
 

 
 

với


0
u c


    (2.45)
  
 
1
0
0
x
n
k
k
C



0 1,2; 1, , 1 , 1
ik
i k n
    
 
và


1;1

 
saocho


h x
 
khi
x
 
,
 
1
1 2
1
. 1
n
k k k
k

k n
   
  
và
1 1 1 2 1 0
n n n
v a

  
  
  
 (2.48)
thỏa(2.20)tứclà
 
 
1 2
1 2 1 1 2 1 0 1
0 0
1
n n
k k k k k n n n
k k
v v v a v

 
  
 
     
 
    


nên




0 0
h x h y

.
Dođó




0
: 0; 0;h
  

tăngnghiệmngặtnêntồntạihàmngược,đặt
1
0
h

làhàmngược
của
0
h
và
 

0
h

tăngvà
1
1
1
0
n
k k
k
v





nên




: 0, 0,

  
cũnglàhàmtăng.
Gọi
0
r
làhằngsốđượcchobởiđẳngthức(2.27).Theobổđề2.7đểchứngminhđịnhlý,ta