BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
o0o
Đinh Phước Vinh
BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUI CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin kính gửi đến Thầy, PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn lời cám ơn sâu sắc
về sự tận tình giúp đỡ của Thầy đối với tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn cũng
như trong học tập.
Xin trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô thuộc khoa Toán của trường Đại học Sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi
trong suốt những năm học tập.
Xin trân trọng cám ơn Phòng Sau Đại Học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất chương trình học tập và thực hiện luận
văn này.
Xin cảm ơn tất cả bạn bè đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trong những lúc khó
khăn nhất.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn đến gia đình tôi, là chỗ dựa cho tôi về mọi mặt và đã
tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và hoàn thành luận văn này.

Đinh Phước Vinh

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU 6
MỞ ĐẦU 9
Chương 1: BÀI TOÁN BIÊN CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI
2.3.6. Định nghĩa 38
2.3.7. Định nghĩa 39
2.3.8. Định lí 39
2.4. Ứng dụng vào hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch 44
2.4.1. Bổ đề 45
2.4.2. Định lí 47
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU


Tập hợp các số tự nhiên
( )
,= −∞ +∞
Tập hợp các số thực
[0, )
+
= +∞
Tập hợp các số thực không âm
m


i
x y xy
=
⋅=
∑
với
( ) ( )
11
, y
nn
ii
ii
xx y
= =
= =

( )
sgn x

( ) ( )
( )
1
sgn sgn
n
i
i
xx
=
=


x ∈

và với chuẩn
,1
m
ik
ik
xx
=
=
∑
.
x

( )
1
m
i
i
xx
=
=
với
( )
1
m
m
i
i
xx

{ }
,1
: , 1, ,
m
mm
ik ik
ik
x x ik m
×
++
=
= ∈=

( )
rX
Bán kính phổ của ma trận
mm
X
×
∈

xy≤

( )
1, ,
ii
x y x yi m≤⇔ ⇔ =
với
( ) ( )
11


( )
,1
m
mm
ik
ik
Yy
×
=
= ∈

( )
!k
ε
−

( ) (
)
1
!
k
i
ki
εε
=
−= −
∏
với
k ∈

[ ]
:,
m
x ab → 
khả tích với chuẩn
( )
b
L
a
x x t dt=
∫

( )
( )
1
,
,;
nm
C ab
αβ
−

Không gian Banach các hàm véc tơ
( )
:,
m
x ab → 
khả vi liên tục tới
cấp
( 1)n −

αβ
−∞ < < + ∞ ∈ 

,
22
ii
in in in in
αα ββ
αβ
+− + +− +− + +−
= =

( )
1, ,in=

với chuẩn
( ) ( )
( )
( )
1
,
1
1
sup :
ii
n
n
i
C
i

nm
x C ab
αβ
−
∈ 
sao cho
( )
1n
x
−
là liên
tục tuyệt đối trên
(,)ab
, nghĩa là, liên tục tuyệt đối trên
[ ]
,ab
εε
+−
với mọi số dương
ε
bé tuỳ ý
( )
( )
,
,;
m
L ab
αβ

Không gian Banach các hàm vectơ

mm
L ab
αβ
×

Không gian Banach các ma trận hàm
( )
:,
mm
Y ab
×
→ 
có các thành
phần khả tích với trọng số
( ) ( )
ta bt
αβ
−−
với chuẩn
( ) (
) ( )
,
b
L
a
Y t a b t Y t dt
αβ
αβ
=−−
∫

L ab
αβ
×
+


( )
( )
( )
( )
( ) ( )
{ }
,,
,; ,; : , ,
mm mm mm
L ab Y L ab Y t t ab
αβ αβ
× ××
++
=∈ ∈∈ 
MỞ ĐẦU

f x t gtxt x t
−
=
đã được nghiên
cứu đầy đủ; trong khi với phương trình vi phân hàm
( )
( ) ( )( )
n
x t fxt=
, bài toán có trọng số
đã được giải quyết trong [13], cũng như bài toán hai điểm trong [6], [7], và bài toán nhiều
điểm Vallée-Poussin trong [8].
Với mong muốn phần nào lấp đầy lỗ hỏng trên, luận văn này trình bày một số kết quả thu
được từ việc khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán trong trường hợp tổng quát

Nội dung của luận văn gồm hai chương.
Chương 1 trình bày định lí về sự tồn tại nghiệm của bài toán biên chính qui
( )
( )( )
dx t
fxt
dt
=
,
( )
0hx=
trong trường hợp các toán tử
[ ]
( )
[ ]

( )
( )
( )
( )
1
,,
: ,; ,;
nm m
f C ab L ab
αβ αβ
−
→
và
( )
( )
( )
1
,
: , ; 1, ,
n mm
i
h C ab i n
αβ
−
→=
liên tục và
thỏa các điều kiện

( )( )
{ }

≤ < +∞ =
.

Một số kết quả thu được sau đó chính là sự tổng quát hoá các kết quả đã biết trước
đó. Chương 1: BÀI TOÁN BIÊN CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN HÀM PHI TUYẾN

1.1. Giới thiệu bài toán

Trong chương này ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân hàm phi
tuyến

( )
( )( )
dx t
fxt
dt
=
(1.1)

với điều kiện biên
h(x)=0 (1.2)
trong đó
[ ]

( )
( )( ) ( )
dx t
px t qt
dt
= +
(1.3)

( )
0
xc=
(1.4)
trong đó,

[ ]
( )
[ ]
( )
: ,; ,;
nn
p C ab L ab→
,
[ ]
( )
: ,;
nn
C ab → 

(ii)  là toán tử tuyến tính bị chặn.
Cùng với bài toán (1.3), (1.4) ta có bài toán thuần nhất tương ứng

( )
( )( )
dx t
px t
dt
=
(1.3
0
)

( )
0x =

(1.4
0
)
Định lí
Bài toán (1.3), (1.4) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán thuần nhất tương ứng
(1.3
0
), (1.4
0
) chỉ có nghiệm tầm thường.Hơn nữa, nếu bài toán (1.3
0
), (1.4
0
) chỉ có nghiệm

c∈ 
với chuẩn
BC
uxc= +

Với tuỳ ý
( )
,u xc B= ∈
, cố định
[ ]
0
,t ab∈
, ta đặt

( )( ) (
) ( )( ) ( )
0
0
,
t
t
f u t c x t p x s ds c x

=++ −



∫



,u xc=
là nghiệm của phương trình trên khi và chỉ khi
0c =
và
x
là nghiệm của bài
toán (1.3), (1.4).
• f là toán tử compact
Ta chứng minh f(M) là tập compact tương đối nếu M là một tập bị chặn trong B.
Đặt
{ }
:M u Bu K=∈≤
với K dương.
Do các giả thiết (i), (ii) của bài toán (1.3), (1.4), có K
1
dương sao cho
( )
[ ]
( )
1
, , ;
n
C
x K x x C ab≤ ∀∈
và với mọi
uM∈
ta có

( )( )
( )

≤+ + ≤+ +
≤+ + ≤+ +
∫∫
∫∫

Từ đó suy ra f(M) bị chặn đều.
Mặt khác, với
[ ]
, ,t s ab∈
ta có

( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
,0
s
t
ss s
C
tt t
fu t fu s px d
pxdxdKd
ξξ
ξ ξ ηξ ξ ηξ ξ

−=


≤ ≤≤

( )
1
If
−
−
là tuyến tính bị chặn. Suy ra nghiệm u của
phương trình
( )
u fu h= +
thoả đánh giá
( )
( )
1
0
B BL
B
u If h h c q
ββ
−
=− ≤=+
. Tuy
nhiên khi đó
0c =
và ta có

( )
0
.
CL
x cq

[ ]
( )
[ ]
( )
,: ,; ,;
nn
p x C ab L ab⋅→

và
( )
[ ]
( )
,: , ;
nn
x C ab⋅→ 
tuyến tính;
(ii) Với bất kì
[ ]
( )
, ,;
n
xy C ab∈ 

và hầu khắp trên [a,b], ta có các bất đẳng thức

( )( )
( )
( )
( )
0

[ ]
( )
0
, ; , , ; ,
n nn
x C ab q C ab c∈∈ ∈ mọi nghiệm y của bài toán

( )
( )( ) ( )( ) ( )
0
, , , ,
dy t
pxy t qxy t xy c
dt
=+=
(1.5)
đều thoả bất đẳng thức ( )
0
.
CL
y cq

( )
0,1
λ
∈
mọi x là nghiệm của bài
toán

( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
, ,,
dx t
pxxt fxt pxxt
dt
λ
=+−


(1.7)

( ) ( ) ( )
,,xx xx hx
λ
= −



(1.8)
đều thoả bất đẳng thức

.

( )
{ }
00
2 2 sup : , ; , 2 ,
n
C
h x x C ab x
γ ρα ρ ρ
=+∈ ≤( )
1 khi 0 s
2 / khi s<2
0 khi s 2
ss
ρ
σ ρ ρρ
ρ
≤≤


=−<


≥

(1.10)

( )( )

( )( )
( )
( )( ) ( )( )
,
C
qxt x fxt pxxt
σ

≤+


( ) ( )( )
[ ]
( )
{ }
( )
2 ,2 sup : , ; , 2
n
C
t f x t x C ab x t
ρα ρ ρ γ
≤ + ∈ ≤=
.
Tương tự ta cũng có:
( )
00
.cx
γ
≤


(1.13)
Ta chứng minh bài toán có nghiệm duy nhất bằng cách chỉ ra rằng bài toán thuần nhất tương
ứng

( )
( )( ) ( )
, , , 0
dy t
pxy t xy
dt
= =

chỉ có nghiệm tầm thường.
Thật vậy, giả sử y(t) là nghiệm của bài toán thuần nhất, do
( )
,p 
là hoà hợp và theo điều
kiện (iii) của định nghĩa 1.2.2, với
( )( ) ( )
0
0, 0qx t c x= =
, ta có

( )
( )
( )
0
0
C
L

( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
, , ,.
CC C
pxy t qx t tx y t tx r t
α γα γ
+ ≤ +≤ +

với

( )
0
:,
L
r
βγ γ
= +( )
( )
( )
*, .
C
t tx r t
γα γ

, và
( ) ( ) ( )
21
yt y t y t= −

Khi đó, ta có

( ) ( )( ) ( )( )
2 0 12
' , ,,y t px y t q xx t= +( ) ( )
2 12
,,x y cxx=

với

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
0 12 21 11 2 1
, ,, ,q xx t px y t pxy t qx t qx t= − +−( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 11 21 0 2 0 1
,,,cxx xy xy cx cx= − +−
.
Theo điều kiện (iii) của định nghĩa 1.2.2, y là nghiệm của bài toán nên thoả bất đẳng thức
Do
các toán tử
, , pq
và
0
c

liên tục nên suy ra F liên tục trên
[ ]
( )
,;
n
C ab 
.
• F là toán tử compact
Xét

[ ]
( )
{ }
,; : .
n
r
C
C x C ab x r=∈≤

Ta đã có

( )
C

r
sao cho
( )( ) ( )
Fx t xt=
với mọi
[ ]
,t ab∈
. Khi đó, x là
nghiệm của bài toán (1.7), (1.8) với
( )
.
C
x
λσ
=
Ta chứng minh
C
x
ρ
≤
, tức x thoả (1.9).
Giả sử ngược lại,

2
C
x
ρρ
<<
(1.14)
hoặc

( )
( )( ) ( )
, , , 0.
dy t
pxy t xy
dt
= =

Điều này mâu thuẫn với việc phương trình này chỉ có nghiệm tầm thường. Vậy x phải thoả
(1.9). Và do đó, x là nghiệm của (1.1), (1.2). Thật vậy, do (1.9) đúng nên
( )
1
C
x
λσ
= =
và
x là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).
Định lí được chứng minh.

1.2.4. Định nghĩa
Cho các toán tử

[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
: ,; ,; ,;

: ,; ,;
nn
C ab L ab→ 

là các toán tử tuyến tính.
Ta nói cặp
( )
00
,p 

thuộc tập
,
n
p
Ω

nếu tồn tại dãy
[ ]
( )
,;
n
k
x C ab∈ 
(k=1,2, ) sao cho với
mỗi
[ ]
( )
,;
n
y C ab∈ 

( ) ( )
0
,p y pxy=
và
( ) ( )
0
,y xy=
thì
( )
00
,p 
thuộc tập
,
n
p
Ω

.

1.2.5. Định nghĩa
Ta nói cặp
( )
,p 

các toán tử liên tục
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]

[ ]
( )
,: ,; ,;
nn
p x C ab L ab⋅→
,
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
,: ,; ,;
nn
x C ab L ab⋅→ 
là tuyến tính;
(ii) Với bất kì
[ ]
( )
, ,;
n
xy C ab∈ 
, và hầu khắp nơi trên
[ ]
,ab
ta có các bất đẳng
thức

( )( )
( )
,

p
p ∈Ω


bài toán

( )
( )( ) ( )
00
, 0
dy t
pyt y
dt
= =
(1.16)
chỉ có nghiệm tầm thường.

1.2.6. Hệ quả
Giả sử tồn tại số dương
ρ

và cặp
( )
0
,
n
p ∈Ο
sao cho với bất kì
( )
0,1

( )
00 ,
,
n
p
p ∈Ω


. Từ điều kiện (iii) của định nghĩa 1.2.5, bài toán (1.16) chỉ
có nghiệm tầm thường. Theo định lí 1.2.1, tồn tại số dương
β
và bài toán

( )
( )( ) ( ) (
)
0 00
,
dy t
p y t qt y c
dt
=+=

có nghiệm duy nhất thoả đánh giá

( )
0
CL
y cq
β

y C ab∈ 
ta có
( )( )
( )
0
C
pyt ty
α
≤
hầu
khắp nơi trên
[ ]
,ab
.

1.2.8. Hệ quả
Giả sử tồn tại số dương
ρ
, toán tử tuyến tính bị chặn mạnh
[ ]
( )
[ ]
( )
0
: ,; ,;
nn
p C ab L ab→
và toán tử tuyến tính bị chặn
[ ]
( )


= −


 có nghiệm thoả đánh giá (1.9).
Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm.
Chứng minh
Cố định
[ ]
( )
,;
n
x C ab∈ 
, đặt
( )( ) ( )( )
0
,pxyt pyt=
và
( ) ( )
0
,xy y=
. Ta chứng minh
( )
0

,xy y=

nên các toán tử
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
,: ,; ,;
nn
p x C ab L ab⋅→
,
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
,: ,; ,;
nn
x C ab L ab⋅→ 
tuyến tính;
(ii) Do
0
p
bị chặn mạnh và
0

bị chặn nên có
[ ]
:,ab

với mọi
[ ]
( )
, ,;
n
xy C ab∈ 
;
(iii) Bài toán (1.16) chỉ có nghiệm tầm thường.
Vậy
( )
0
,
n
p ∈Ο
. Theo hệ quả 1.2.6 ta có điều phải chứng minh.

Chương 2: BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO 2.1. Giới thiệu bài toán
Xét phương trình vi phân hàm cấp n

( )
( ) ( )( )
n
x t fxt=

h C ab i n
αβ
−
→=
là
các toán tử liên tục, ( với
( )
0,
ρ
∈ +∞
), thỏa các điều kiện

( )( )
{ }
( )
( )
1
,
,
sup : , ;
n
C
f x x L ab
αβ
αβ
ρ
−
+
⋅ ≤∈ 
, (2.3)

( )
1
,
,;
n
m
x C ab
αβ
−
∈ 
thỏa (2.1) hầu khắp nơi trên
( )
,ab
.
Một nghiệm của (2.1) thỏa (2.2) được gọi là một nghiệm của bài toán (2.1), (2.2).

2.2. Định lí về tính chất Fredholm của bài toán biên tuyến tính bậc cao 2.2.1. Định nghĩa
Toán tử tuyến tính
( )
( )
1
,
: ,;
n mm

, , ; .
nm
a t b x C ab
αβ
−
<< ∈ 
(2.6)

2.2.2. Bổ đề
Giả sử
( )
( )
( )
,0
0, , ; , ,L ab t ab
αβ
ρη
+
>∈ ∈
và
S
là tập các hàm véctơ
( )
:,
m
x ab → 
khả vi liên tục tới cấp
( )
1n−
thỏa các điều kiện

(2.8)
Khi đó,

( )
( )
1
,
,;
n
m
S C ab
αβ
−
⊂ 
và S là tập compact trong không gian
( )
( )
1
,
,;
nm
C ab
αβ
−

.
Chứng minh
Lấy tùy ý
xS∈
. Khi đó từ (2.8) hàm

αβ
∈ 
(2.10)

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
11
0
0
1
!!
ji
t
n
ni
ij n
ji
t
tt
x t x t t s x s ds
ji ni

1, ,atb i n<< =
, (2.12)
trong đó

( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
0
1
1, , .
!!
ji
t
n
ni
i
ji
t
ba
t t s s ds i n
ji ni
ερ η
−
−
=
−
= +− =
−−

(2.14
1
)

, 0
i
ni
ββ
−≥ =
với
1
, 0
i
ii in
ββ
≤ = +− >
với
2
.ii>
(2.14
2
)
Do đó,

( ) ( )
ii
ta
εε
≤ + < +∞
với


( )
2
0
1
b
i
t
s ds
ε
+
< +∞
∫
nếu
2
1.in<−
(2.18)
Nếu
1
ii>
thì từ (2.13), (2.14
1
), với bất kì
( )
0
0,ta
δ
∈−
ta có


−


∫( )
( ) ( )
1
!
a
a
s t s ds
ni
δ
α
η
+
≤−
−
∫
.