Phần I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ
Trong trường phổ thông, Hình học không gian là bài toán rất khó đối với học sinh, do
đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thiết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành
giải bài toán.
Cả chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích khối đa diện( thể tích khối
chóp và khối lăng trụ )
Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành hai dạng như sau:
Cho hình chóp
Thông thường bài toán về hình lăng trụ:
Cho hình lăng trụ:
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt
đáy.
A
C
B
S
Đa giác đáy:
- Tam giác: vuông, cân, đều, ….
- Tứ giác : Vuông, chữ nhật, …
Hình chóp đều.
A
C
B
S
O
- Hình chóp tam giác đều
- Hình chóp tứ giác đều
Lăng trụ đứng
1 1 1
.ABC A B C

µ
= =
Ñoái
tan
Keà
b
B
c
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lí hàm số côsin :
2 2 2
2 . osAa b c bc c= + −
* Định lí hàm số sin :
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
( R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
)
3. Cấc công thức tính diện tích:
a. Công thức tính diện tích tam giác:
-
1
. .
2
ABC

=

+ Tam giác cân:
- Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
- Tính đường cao và diện tích
µ
.tanAH BH B=
1
. .
2
ABC
S BC AH
∆
=
- Định lý pitago:
-
-
-
_h
_H
_A
_B
_C
_
M
b
c
a
b’c’
A

b) Hình vuông: S = cạnh x cạnh
c) Hình chữ nhật: S = dài x rộng
d) Diện tích hình thoi: S =
1
2
( chéo dài x chéo ngắn )
e) Diện tích hình thang: S =
1
2
( đáy lớn + đáy nhỏ ) x chiều cao
f) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao
i) Diện tích hình tròn : S =
2
R
π
B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC.
1. Kiến thức cơ bản thường sử dụng:
• Định lý 1 :
( )
( )
; ,
,
a b a b P
d P
d a d b
∩ ∈ 

⇒ ⊥

⊥ ⊥


⇒ ⊥

⊥


• Định lý 5 :
( ) ( )
( )
( )
,
P Q
d Q
d P d
∩ = ∆ 

⇒ ⊥

⊂ ⊥ ∆


• Định lý 6 :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
P Q
P R R
Q R
∩ = ∆

·
·
·
( ,( )) ( , )SB ABC SB AB SBA= =
3. Góc giữa hai mặt phẳng
A
C
B
S
M
O
Xác định góc giữa (SBC) và (ABC)
Ta có :
·
·
·
( ) ( )
(( ),( )) ( , )
SBC SABC BC
SM BC SBC ABC SM AM SMA
AM BC
∩ =


⊥ ⇒ = =


⊥

Chú ý : Xác định hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với

h
S
B
A
C
H
O
C
D
B
A
S
H
A1
B
C
A
B1
C1
G
_
b
_A
_C
_D
_M
_O

h : đường cao
E. TỶ SỐ THỂ TÍCH

A
S
N
K
M

PHẦN III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN
bằng cách sử dụng trực tiếp các công thức toán
Phương pháp:
+ Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.
+ Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.
Ví dụ mẫu 1:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a
2
, AC = a
3
, cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB =
3a
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải:
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA
⊥
(ABC) và vẽ thẳng đứng
− Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông
 Lời giải:
Ta có : AB = a
2

.
1 1 . 2 . 2
. . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
Ví dụ mẫu 2:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB =
3a
, BC = a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng
60
0
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Sai lầm của học sinh:
− Gọi M là trung điểm BC
− Ta có AM
⊥
BC
SM
⊥
BC

⇒

·
·
·

∆
ABC vuông tại B)
SB
⊥
BC ( vì
( )
SB
ABC
AB hc=
⇒

·
·
·
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABC SB AB SBA= = =
*
∆
ABC vuông tại B có AB =
3a
,BC =a
⇒

2
ABC
1 1 . 3
S . . 3.
2 2 2
a

thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí
đầu mút của cạnh giao tuyến
o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc là hình chóp
đều thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao
tuyến.
Ví dụ mẫu 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA
⊥
(ABC) và vẽ thẳng đứng
− Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên
(ABCD)
 Lời giải:
* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a ,

( )
SC
ABCD
AC hc=

⇒

·
·

S

* Thể tích khối chóp S.ABCD
3
2
.
1 1 . 6
. . . . 6
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
01
Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a.
Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS.
3
6
a
V =
b) Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ( AB’C’).
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’. ĐS.
3
36
a
V =
02
Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a. ĐS.
3

. 2
6
a
V =
05
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SB =
5a
.Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS.
3
. 3
3
a
V =
06
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a
3
,
·
0
AC 120B =
,cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS.
3
2 . 3
3
a
V =
07
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a


10
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng
3a
.Tính thể
tích khối chóp S.ABCD ĐS.
3
4
3
a
V =
11
. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a,
·
0
60ACB
=
, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45
0
.Tính thể tích khối
chóp S.ABC.
ĐS.
3
3
6
a
V =
12
. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc

3
2
12
a
V =
15
. Cho lăng trụ đứng ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC =
2a
, mặt phẳmg (A
/
BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30
0
.Tính thể tích khối lăng trụ.
ĐS.
3
6
3
a
V =

16
. Cho lăng trụ ABC.A
/
B

. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA =
3a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối
chóp S.AMN và A.BCNM. ĐS.
3
3
6
a
V =
,
3
3
2
a
V =

19
. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD.
ĐS.
3
3
a
V =
20
. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD

3
12
a
V =
23
.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
2
, các cạnh
bên bằng
3a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. ĐS.
3
2 2
3
a
V =
24
.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
, 2AB a AD a
= =
;
( )
SA ABCD
⊥
. Cạnh bên SB bằng
3a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐS.
3
2 2

a
V =
27
.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = 2a, SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy một góc 30
0
. Gọi M là trung điểm SB. Tính
thể tích khối chóp M.ABC. ĐS.
3
3
9
a
V =
28
.Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = 2a , biết
SA (ABC)
⊥
và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 60
o
. Tính thể tích khối chóp SABC.
ĐS.
3
V a=29
.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC,
CA. Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp SMNK và SABC. ĐS.
1
2

a
V =
32
. Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh bằng a .
a). Chứng minh rằng SABCD là khối chóp tứ giác đều .
b). Tính thể tích của khối chóp SABCD . ĐS.
3
2
6
a
V =
33
.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD . Biết
AB = 3a, BC = 4a và
·
0
45SAO
=
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. ĐS.
3
10V a=
34
.Cho lăng trụ ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác vuông tại A, A
/

= = =
V
36
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC =
2a
, cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng
45
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC
37
Cho lăng trụ đứng ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC =
2a
,
mặt bên (A
/
BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30
0
.Tính thể tích khối lăng trụ.
38
Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC

. Khi ú tớnh di cnh ca hỡnh lp phng.
05
ỏy ca hỡnh hp ng ABCD.ABCD l hỡnh thoi cnh a, gúc BAD bng 60
0
, AC
= BD. Tớnh th tớch ca hỡnh hp.
06
ỏy ca hỡnh hp ABCD.ABCD l hỡnh thoi cnh bng 6cm, gúc BAD bng 45
0
;
cnh bờn AA = 10cm v to vi ỏy mt gúc 45
0
. Tớnh th tớch ca khi hp ú.
07
Cho hỡnh hp ng ABCD.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi cnh a v gúc BAD bng 60
0
,
AB hp vi ỏy ABCD mt gúc

. Tớnh th tớch ca khi hp ú
08
Các đờng chéo của các mặt bên của một khối hộp chữ nhật bằng:
5
,
10
,
13
10
Tính thể tích của khối lập phơng có tổng diên tích các mặt bằng 24
DNG 3: TH TCH KHI LNG TR

08
Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B v AB = a,
BC = 2a, AA = 3a. Mt phng (P) i qua A v vuụng gúc vi CA ln lt ct CC v BB
ti M v N.
a. Tớnh th tớch khi chúp C.AAB
b. Chng minh AN

AB

c. Tính thể tích khối tứ diện A’AMN.
d. Tính diện tích tam giác AMN.
09
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’ tạo với đáy một góc 60
0
, BC = a và
hình chóp A.A’B’C’ là hình chóp đều. Tính thể tích khối lăng trụ theo a.
10
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên
AA’=
2a
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ĐS. V =
3
2
2
a
; d =
7
7
a

11
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng
3a
.
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.
a. Tính thể tích khối đa diện ABA'B’C’.
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và (CEB’)
DẠNG 4 : CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI CHÓP ĐỀU
01
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60
0
. Tính thể
tích hình chóp S.ABC theo a.
02
Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45
0
.
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .
2) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
03
Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60
0
.
Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
04
Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .
Tính thể tích hình chóp.
05
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc
·

và tỉ số thể tích 2
phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP).
3
5
A Q
A D
=
;
1
2
7
13
V
V
=
05
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA
⊥
(ABCD), SA = 2a. Gọi
B’, D’ là hình chiếu của A trên SB,SD.Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’.Tính thể tích khối
chóp S. AB’C’D’.
5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC.
Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mp (MNP).
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TN – THPT QUA CÁC NĂM
01
( 2008 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB=a; BC=
3a
và SA=3a
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

0
60
. Tính thể tích của khối
lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
06
( 2013)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc
0
30
Tính
thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

07
( ĐH-KA - 13)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
·
0
ABC 30=
, SBC
là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
08
( ĐH-KB - 13)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của
khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
09
( ĐH-KD - 13)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với đáy,
·
0
120=BAD