Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
Chuyên đề: hệ Thức vi ét
Các kiến thức cần nhớ
1) Định lí Vi ét:
Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a0). Nếu phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thì:
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a
ỡ
ù
ù
+ = -
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=

Điều kiện S
2
4P.
Bài tập
Dạng thứ nhất: Lập phơng trình khi biết hai nghiệm:
Bài 1:
a) x
1
=2; x
2
=5 b) x
1
=-5; x
2
=7 c) x
1
=-4; x
2
=-9
d) x
1
=0,1; x
2
=0,2 e)
1 2
1
3;
4
x x= =
f)

3 2
x x= + =
+
l)
1 2
5 2 6; 5 2 6x x= + = -
m)
1 2
3 2 2; 3 2 2x x= + = -
1
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
n)
1 2
1 1
;
2 3 2 3
x x= =
+ -
o)
1 2
1 1
;
10 72 10 72
x x= =
- +
p)
1 2
4 3 5; 4 3 5x x= - = +
q)
1 2

1
và -2x
2
c)
1
1
x
và
2
1
x
d)
2
1
1
x
và
2
2
1
x
e)
2
1
x
x
và
1
2
x

x +
và
2
1
1
x
x +
i)
1
2
1
x
x
+
và
2
1
1
x
x
+
j)
2
1
2x +
và
1
1
2x +
B i 3 : Giả sử x

và
2
1
x
e)
2
1
x
x
và
1
2
x
x
f)
1
1
2x
x
-
và
2
2
2x
x
-
g)
1
2
3x

1
x
x
-
j)
2
1
x
và
2
2
x
k)
1
2
1
x
x
+
và
2
1
1
x
x
+
l) x
1
2
x

Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
a) Chứng minh rằng nếu a
1
; a
2
là hai nghiệm của phơng trình:
2
1 0x px+ + =
, b
1
; b
2
là hai
nghiệm của phơng trình:
2
1 0x qx+ + =
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
a b a b a b a b q p- - + + = -
b) Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của pt:
2
1 0x ax+ + =
với mộ nghiệm nào đó của
pt
2
1 0x bx+ + =
là nghiệm pt thì:
2 2 2 2

1 2
x x-
d)
2 2
1 2
x x-
e)
3 3
1 2
x x-
f)
1 2
1 1
x x
+
g)
2 2
1 2
1 1
x x
+
h)
1 2
1 2
3 3x x
x x
- -
+
i)
1 2

x x x x+
n)
1 2
2 1
x x
x x
+
Bài 2: Tơng tự:
2
2 5 1 0x x- + =
;
2
3 4 3 0x x+ - =
;
2
3 2 5 0x x- + + =
Bài 3: Cho phơng trình:
2
4 1 0x x- - + =
. Không giải phơng trình hãy tính:
a) Tổng bình phơng các nghiệm b) Tổng nghịch đảo các nghiệm
c) Tổng lập phơng các nghiệm d) Bình phơng tổng các nghiệm
e) Hiệu các nghiệm f) Hiệu bình phơng các nghiệm
Bài 4: Cho pt:
2
4 3 8 0x x+ + =
có hai nghiệm x
1
; x
2

+ v
2
= 85; uv = 18 l) u - v = 3; uv = 180
m) u
2
+ v
2
= 5; uv = -2 n) u
2
+ v
2
= 25; uv = -12
Dạng thứ bốn: Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm:
Bài 1: Cho pt
2
6 0x x m- + =
. Tính giá trị của m biết pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả:
a)
2 2
1 2
36x x+ =
b)
1 2
1 1
3
x x

1 2
2x x- =
Bài 3: Cho pt
2
( 3) 2( 2) 0x m x m- + + + =
. Tìm m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2
2x x=
. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt?
Bài 4:
a) Tìm k để pt:
2
( 2) 5 0x k x k+ - + - =
có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
2 2
1 2
10x x+ =
b) Tìm m để pt:
2
2( 2) 5 0x m x- - - =
có hai nghiệm x
1

1
; x
2
là hai nghiệm khác 0 của pt:
2
( 1) 3( 1) 0mx m x m+ - + - =
. Chứng
minh:
1 2
1 1 1
3x x
+ = -
Dạng thứ năm: Các bài toán tổng hợp.
Bài 1: Cho pt:
2 2
(2 3) 3 2 0x m x m m- + + + + =
a) Giải pt trên khi m = 1
b) Định m để pt có một nghiệm là 2. Khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm đó?
c) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
d) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của pt. Tìm m để
2 2
1 2
1x x+ =
e) Định m để pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?
Bài 2: Cho pt
2

a) Giải pt khi
1
2
k =
b) Tìm k để pt có một nghiệm là 3, khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy?
c) Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x
1
; x
2
với mọi k.
d) CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?
e) Tìm k để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2 1 2
1 1 3
2
x x x x
+ + =
5
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
f) Tìm k để tổng bình phơng các nghiệm có giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho pt
2
( 1) 2 1 0m x mx m- - + + =
a) CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m 1.
b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính ổng các nghiệm của pt.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc m?

2 2 1 0x mx m- + - =
a) Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
b) Đặt
2 2
1 2 1 2
2( ) 5A x x x x= + -
+) Chứng minh
2
8 18 9A m m= - +
+) Tìm m sao cho A = 27.
c) Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy?
Bài 7: Cho pt
2
2( 1) 4 0x m x m- + + - =
a) Giải pt khi m = -5
b) CMR pt luôn có nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng.
e) CMR biểu thức
1 2 2 1
(1 ) (1 )A x x x x= - + -
không phụ thuộc m.

Bài 10: Cho pt
2
( 4) 2 2 0m x mx m- - + + =
a) Tìm m để pt có nghiệm
2x =
. Tìm nghiệm kia
b) Tìm m để pt có nghiệm
c) Tính
2 2
1 2
x x+
theo m.
d) Tính
3 3
1 2
x x+
theo m.
e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phơng nghịch đảo các nghiệm.
Bài 11:
a) Pt
2
2 5 0x px- + =
có nghiệm
1
2x =
. Tìm p và tính nghiệm kia.
b) Pt
2
5 0x x q+ + =
có một nghiệm bằng 5. Tìm q và tính nghiệm kia.

2
7 0x ax a+ + + =
có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
mãn
2 2
1 2
10x x+ =
Bài 12: Cho pt
2
( 1) 2( 1) 2 0m x m x m+ - - + - =
a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để pt có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm kia.
c) Xác định m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2
1 1 7
4x x
+ =
;
1 2
1 1
1
x x

2
1 0x mx m- + + =
có nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn một
trong hai điều:
a)
1 2 1 2
2( ) 19 0x x x x+ + - =
b) x
1
; x
2
đều âm.
Bài 16: Cho pt
2
2( 1) 3 0x m x m- - + - =
a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
c) Xác định m để pt có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Bài 17: Cho pt
2
3 0x mx+ + =
8
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
a) Giải và biện luận pt. Từ đó hãy cho biết với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm?
b) Xác định các giá trị của m để pt có hai nghiệm dơng.
c) Với giá trị nào của m thì pt nhạn 1 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.

2 2
(2 3) 3 0x m x m m- - + + =
a) CMR pt luôn có hai nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn một trong các điều:
+)
2 2
1 2
9x x+ =
+)
2 2
1 2 1 2
4x x x x+ = -
Bài 22: Cho pt
2
18 3 0kx x- + =
a) Với giá trị nào của k thì pt có một nghiệm? Tìm nghiệm đó?
b) Với giá trị nào của k thì pt có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm k để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
2 2
1 2 1 2
6x x x x+ =
Bài 23: Cho pt

1 2
2 1
3
x x
x x
+ =
Bài 26: Cho pt
2
2( 1) 2( 5) 0x a x a- + + + =
a) Giải pt khi a = -2
b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoả
1 2
2 3x x+ =
d) Tìm a để pt có hai nghiệm dơng.
Bài 27: Cho pt
2
( 1) 2( 1) 2 0m x m x m+ - - + - =
a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả
1 2
1 1 7
4x x
+ =
c) Xác định m để pt có một nghiệm bằng hai nghiệm kia
Bài 28: Xác định m để pt
2
(5 ) 6 0x m x m- + - + =
có hai nghiệm thoả mãn một trong
các điều kiện sau:

2( 1) 2 4 0x m x m- - + - =
a) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN của
2 2
1 2
Y x x= +
c) Tìm m để Y = 4; Y = 2.
Bài 32: Cho pt
2
5 28 0x mx+ - =
a) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng
c) Tìm m để pt có hai nghiẹm thoả:
+)
1 2
1 1 7
4x x
+ =
+)
2 2
1 2
142
25
x x+ =
d) Định m để pt có hai nghiệm thoả:
1 2