Chuyên đề: hệ Thức vi ét
Các kiến thức cần nhớ
1) Định lí Vi ét:
Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a0). Nếu phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thì:
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

+ =




=


L u ý : Khi đó ta cũng có:
1 2
x x
a

=5 b) x
1
=-5; x
2
=7 c) x
1
=-4; x
2
=-9
d) x
1
=0,1; x
2
=0,2 e)
1 2
1
x 3; x
4
= =
f)
1 2
3
x 5; x
2
= =
g)
1 2
1 3
x ; x
4 2

1 2
1 1
x ; x
2 3 2 3
= =
+
o)
1 2
1 1
x ; x
10 72 10 72
= =
+
p)
1 2
x 4 3 5; x 4 3 5= = +
q)
1 2
x 3 11; x 3 11= + =
r)
1 2
x 3 5; x 3 5= = +
s)
1 2
x 4; x 1 2= =
t)
1 2
1
x ; x 2 3
3

2
1
1
x
và
2
2
1
x
e)
2
1
x
x
và
1
2
x
x
f)
1
1
x 1
x
+
và
2
2
x 1
x

và
2
1
1
x
x
+
j)
2
1
x 2+
và
1
1
x 2+
B i 3 : Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình:
2
x px 5 0+ =
. Không giải phơng trình,
hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là:
a) -x
1
và -x
2
b) 4x
1

f)
1
1
x 2
x

và
2
2
x 2
x

g)
1
2
x 3
x
+
và
2
1
x 3
x
+
h)
1
2
x
x 1
và

x
x
+
và
2
1
1
x
x
+
l) x
1
2
x
2
và x
1
x
2
2
Bài 4: Gọi p; q là hai nghiệm của phơng trình
2
3x 7x 4 0+ + =
. Không giải phơng trình. Hãy
lập một phơng trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:
p
q 1
và
q
p 1

a b a b a b a b q p + + =
b) Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của pt:
2
x ax 1 0+ + =
với mộ nghiệm nào đó của pt
2
x bx 1 0+ + =
là nghiệm pt thì:
2 2 2 2
4 1 1
2
a b a b
=
c) Cho pt
2
x px q 0+ + =
Chứng minh rằng nếu
2
2p 9q 0 =
thì pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Dạng thứ hai: Tìm tổng và tích các nghiệm:
Bài 1: Cho phơng trình:
2
x 5x 3 0 + =
. Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình không giải
phơng trình hãy tính:

h)
1 2
1 2
x 3 x 3
x x

+
i)
1 2
1 1
x 2 x 2
+

j)
1 2
2 1
x 5 x 5
x x
+ +
+
k)
1 2
1 2
1 1
x x
x x
+ + +
l)
1 2
1 2

Bài 4: Cho pt:
2
x 4 3x 8 0+ + =
có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải pt hãy tính:
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6x 10x x 6x
A
5x x 5x x
+ +
=
+
Dạng thứ ba: Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Bài 1:
a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.
b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 33 , tích của chúng bằng 270.
d) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 4, tích của chúng bằng 50.
e) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 6 , tích của chúng bằng -315.
Bài 2 Tìm hai số u, v biết:
a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105
c) u + v = 2; uv = 9 d) u + v = 42; uv = 441
e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40
g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24

1 1
3
x x
+ =
c)
2 2
1 2
1 1 4
x x 3
+ =
d)
1 2
x x 4 =
Bài 2: Cho pt
2
x 8x m 0 + =
. Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả một trong
các hệ thức sau:
a)
2 2
1 2
x x 50+ =
b)
1 2
x 7x=
c)

2
x 2(m 2)x 5 0 =
có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
2 2
1 2
x x 18+ =
c) Tìm k để pt:
2
(k 1)x 2(k 2)x k 3 0+ + + =
có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả

1 2
(4x 1)(4x 1) 18+ + =
d) Tìm m để pt:
2
5x mx 28 0+ =
có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2

2
x 2(m 1)x m 0 =
a) CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
với mọi m.
b) Với m 0. Hãy lập pt ẩn y có 2 nghiệm là:
1 1
2
1
y x
x
= +
và
2 2
1
1
y x
x
= +
c) Định m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2
x 2x 3+ =
Bài 3: Cho pt
2

d) Tìm m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2
2 1
x x 5
0
x x 2
+ + =
Bài 5: Cho pt
2
x 2(m 1)x 2m 10 0 + + + =
a) Giải và biện luận pt trên.
b) Tim giá trị của m để pt có một nghiệm bằng m. khi đó hãy tìm nghiệm còn lại?
c) Tìm m sao cho hai nghiệm x
1
; x
2
của pt thoả
2 2
1 2 1 2
10x x x x+ +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 6: Cho pt
2
x 2mx 2m 1 0 + =
a) Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x

x x
Bài 8: Cho pt
2
x 2(m 2)x m 1 0 + + + =
a) Giải pt trên khi
3
m
2
=
b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu?
c) Tìm m để pt có hai nghiệm đều âm?
d) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của pt. Tìm m để
2
1 2 2 1
x (1 2x ) x (1 2x ) m + =
Bài 9: Cho pt
2 2
x 2(m 1)x m 4m 9 0 + + =
(x là ẩn)
a) Giải và biện luận pt.
b) Tìm m để pt nhận 2 là nghiệm. Với giá trị của m vừa tìm đợc hãy tìm nghiệm còn lại
của pt.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
Bài 10: Cho pt
2
(m 4)x 2mx m 2 0 + + =

bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
d) Tìm q và hai nghiệm của pt
2
x qx 50 0 + =
, biết pt có hai nghiệm và nghiệm này
gấp đôi nghiệm kia.