Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào THPT
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Toán nâng cao
ứng dụng định lí vi- ét

I. LP PHNG TRèNH BC HAI
1. Lp phng trỡnh bc hai khi bit hai nghim
1 2
;x x
Vớ d : Cho
1
3x =
;
2
2x =
lp mt phng trỡnh bc hai cha hai nghim trờn
Theo h thc VI-ẫT ta cú
1 2
1 2
5
6
S x x
P x x
= + =


= =

vy
1 2
;x x

2
3 2 0x x + =
cú 2 nghim phõn bit
1 2
;x x
. Khụng gii phng trỡnh trờn, hóy
lp phng trỡnh bc 2 cú n l y tho món :
1 2
1
1
y x
x
= +
v
2 1
2
1
y x
x
= +
Theo h th c VI- ẫT ta c ú:
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x

phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim
1 1
2
1
y x
x
= +
v
2 2
1
1
y x
x
= +
(ỏp s:
2
5 1
0
6 2
y y+ =
hay
2
6 5 3 0y y+ =
)
2/ Cho phng trỡnh :
2
5 1 0x x =
cú 2 nghim
1 2
;x x

1 1
3y x
= −
và
2 2
3y x= −
b)
1 1
2 1y x
= −
và
2 2
2 1y x= −
(Đáp số a)
2 2
4 3 0y y m− + − =
b)
2 2
2 (4 3) 0y y m− − − =
)
II. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
2
0x Sx P− + =
(§iều kiện để có hai số đó là S
2

−
4P ≥ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =

2

−
y
2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a
2
+ b
2
= 41
2. a
−
b = 5 và ab = 36
3. a
2
+ b
2
= 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích
của a v à b.
T ừ
( )
( )
2 2
2
2 2
81
9 81 2 81 20
2

2
2
4
5 36 0
9
x
x x
x
= −

− − = ⇔

=

Do đó nếu a =
−
4 thì c = 9 nên b =
−
9
nếu a = 9 thì c =
−
4 nên b = 4
Cách 2: Từ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 4 169a b a b ab a b a b ab− = + − ⇒ + = − + =
( )
2
2
13


+ + =

=

Vy a =
4
thỡ b =
9
*) Vi
13a b+ =
v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh :
1
2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
=

+ =

=

Vy a = 9 thỡ b = 4
3) ó bit ab = 30, do ú cn tỡm a + b:
T : a

=

+ + =

=

Vy nu a =
5

thỡ b =
6

; nu a =
6

thỡ b =
5

*) Nu
11a b
+ =
v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh :
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x

( )
( )
( ) ( )
2
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
3x x x x x x x x x x x x x x

+ = + + = + +

Dạng 3 .
( )
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x

+ = + = + = +

Dạng 4.
5 5
1 2
x x+
=
)(.))((
21
2
2
2
1


( ) ( )
1 2 1 2
x x x x= +
=
( )
).(4)(
2121
2
21
xxxxxx
++
Dạng 7.
3 3
1 2
x x
=
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x x x

+ + = +

=.
Dạng 8.
4 4

1
2
2
1
2
2
2
1
3
2
2
3
2
1
=++==
xxxxxxxx
Dạng 11 .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Đồng Đức Lợi.
3
Trờng THCS Cản h D ơng ôn thi vào THPT
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng13 .
1 2
1 1
1 1x x
+

2. Bài tập áp dụng: Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca biu thc nghim
a) Cho phng trỡnh :

2
1 2
x x+
(46)
b) Cho phng trỡnh :
2
8 72 64 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+
9
8

ữ

2.
2 2
1 2
x x+
(65)
c) Cho phng trỡnh :
2
14 29 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:
1.
1 2
1 1

2 2
1 2
x x+
(1) 4.
1 2
2 1
1 1
x x
x x
+
+ +
5
6

ữ

e) Cho phng trỡnh
2
4 3 8 0x x + =
cú 2 nghim x
1
; x
2
, khụng gii phng trỡnh, tớnh
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
Q
IV. TèM H THC LIấN H GIA HAI NGHIM CA PHNG TRèNH SAO CHO HAI
NGHIM NY KHễNG PH THUC (HAY C LP) VI THAM S
lm cỏc bi toỏn loi ny, các em lm ln lt theo cỏc bc sau:
1- t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x
1
v x
2
(thng l a 0 v 0)
2- p dng h thc VI-ẫT:
a
c
xx
a
b
xx
=

=+
2121
.;
3- Sau ú da vo h thc VI-ẫT rỳt tham s theo tng nghim, theo tớch nghim sau ú ng nht cỏc v
ta s c mt biu thc cha nghim khụng ph thuc vo tham s.Đó chính là h thc liờn h gia cỏc
nghim x
1
v x
2
không phụ thuộc vào tham số m.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m

+ = + = +




= =
B ớc2 : Rỳt m t (1) ta cú :
1 2
1 2
2 2
2 1
1 2
x x m
m x x
= + =
+

. Chng minh rng biu thc
( )
1 2 1 2
3 2 8A x x x x= + +
khụng ph thuc giỏ tr ca m.
Theo h thc VI- ẫT ta c ú :
1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
x x
m
m
x x
m

+ =






=



1 2
;x x
c
lp i vi m.
Hng dn:
B1: D thy
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m = + = + = + >
. Do ú phng trỡnh ó cho luụn
cú 2 nghim phõn bit x
1
v x
2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Đồng Đức Lợi.
5
1