nguyen thi nhung THCS SON TAY
Chuyên đề
hệ thức Viét và ứng dụng
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm chắc hệ thức Viét.
Biết vận dụng hệ thức Viét để:
+ Tính giá trị biểu thức giữa 2 nghiệm.
+ Xét dấu các nghiệm.
+ Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc và tham số
+ Lập một phơng trình bậc 2 khi biết hai nghiệm của nó
B. Phần chuẩn bị
- Giáo viên: Giáo án và các tài liệu tham khảo nh:
+ Toán nâng cao và các chuyên đề 9.
+ Toán nâng cao và phát triển 9
+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9.
+ SGK, SBT, các dạng toán 9.
- Học sinh: Ôn lại hệ thức Viét.
+ Các tài liệu tham khảo.
C. Nội dung
I. Lý thuyết:
1. Hệ thức Viét: Nếu x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phơng trình
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) thì S = x
1
+ x
2

- Có 2 nghiệm trái dấu là p < 0
- Có 2 nghiệm cùng dấu là: 0 và p > 0
- Có 2 nghiệm cùng dơng là: 0; p > 0; s > 0
- Có 2 nghiệm cùng âm là: 0; p > 0; s < 0
II. Ví dụ minh hoạ:
1. Dạng 1: Tính trí trị của 1 hệ thức giữa các nghiệm của phơng trình
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
* Phơng pháp giải:
Vận dụng các phép biến đổi, để đa biểu thức cần tính giá trị về một biểu thức
bằng nó nhng chỉ chứa tổng và tích các nghiệm.
a. Ví dụ 1: Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0; c 0). Cho biết x
1
, x
2
là
2 nghiệm. Tính theo a, b, c giá trị của các biểu thức sau:
+)
2
2
2
1
xx
+
+)
3
2

21
2
2
2
1
2
2.22)(
a
acb
a
c
a
b
a
c
a
b
xxxxxx

==







=+=+

+)

3
3
33
..3
a
babc
a
bc
a
b
a
b
a
c
a
b

=+

=









+)

=


( )
=
2
21
xx

a
acb
a
acb

=

2
2
2
4

2. Dạng 2: Xác định dấu các nghiệm.
2
nguyen thi nhung THCS SON TAY
Phơng pháp giải: Vận dụng điều kiện về dấu các nghiệp của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0
Ví dụ: Cho phơng trình với tham số m
mx
2

P < 0
400
4
<<<

m
m
m
Khi đó, do 0 < m < 4 nên s > 0, do đó nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
3. Dang 3: Tìm hệ thức liên hệ 2 nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ
thuộc vào tham số.
* Giải:
+ Bớc 1: Theo thớc Viét viết các hệ thức của s và p theo tham số
+ Bớc 2: Dùng quy tắc cộng hoặc quy tắc thế để thử tham số.
+ Ví dụ: Cho phơng trình
(k - 1 ) x
2
- 2kx + k - 4 = 0
Gọi x
1
x
2
là các nghiệm của phơng trình, lập 1 hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc và k.
* Giải
- Để phơng trình đã có nghiệm x
1



k
k
(2)
Rút k từ (1) ta có k =
2
21
21
+
+
xx
xx
Rút k từ (2) ta có k =
1
4
21
21
+
+
xx
xx
Suy ra
2
21
21
+
+
xx
xx

) + 2 x
1
x
2
- 8 = 0
4. Dạng 4: Lập phơng trình bậc hai khi biết các nghiệm
* Phơng pháp giải: Để lập 1 phơng trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm của nó là
x
1
, x
2
ta làm theo 2 bớc.
Bớc 1: Tính s = x
1
+ x
2
; p = x
1
. x
2
+) Nếu s
2
4p thì sẽ lập đợc 1 phơng trình bậc có nghiệm là x
1
, x
2
;
+) Nếu s
2
4p thì không lập 1 phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là x

= - 1
Gọi y
1
, y
2
là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta đợc
y
1
+ y
2
=
;
4
2
4
1
xx
+
y
1
y
2
=
;
4
2
4
1
xx
+

1
+ y
2
= (x
1
x
2
)
4
= (-1)
4
= 1
Phơng trình phải lập có tổng các nghiệm bằng 272 và tích cac snghiệm bằng
1 nên có dạng
y
2
- 72 + y + 1 = 0
III. Bài tâp vận dụng:
Bài 1: Cho phơng trình 2x
2
- 3x + 1 = 0
Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình, không giải phơng trình, hãy tính
giá trị của các biểu thức sau:
a) A =
21
11

+
+
x
x
x
x
Bài 2: Cho phơng trình x
2
+ (2m - 1) x - m = 0
a. CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để
A =
21
2
2
2
1
6 xxxx
+
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: cho phơng trình x
2
- mx + m - 1 = a
a. CMR phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x
1