Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail: [email protected] http://dangngocduong.violet.vn

1

Chuyên đề:
hệ Thức vi ét

Các kiến thức cần nhớ
1) Định lí Vi ét:
Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a0). Nếu phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thì:
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a




- Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm
1 2
1;
c
x x
a


3) Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Hai số x; y có: x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là nghiệm của phơng trình:
X
2
SX + P = 0
Điều kiện S
2
4P.
Bài tập
Dạng thứ nhất
: Lập phơng trình khi biết hai nghiệm:
Bài 1:
a) x
1
=2; x
2
=5 b) x
1
=-5; x
2
=7 c) x
1

1 2
1 1
2 ; 3
4 3
x x
i)
1 2
1
1 ; 0,9
3
x x

j)
1 2
1 2; 1 2
x x

k)
1 2
1
3 2;
3 2
x x


l)
1 2
5 2 6; 5 2 6
x x


4 3 5; 4 3 5
x x

q)
1 2
3 11; 3 11
x x


r)
1 2
3 5; 3 5
x x

s)
1 2
4; 1 2
x x


t)
1 2
1
; 2 3
3
x x
u)
1 2
1, 9; 5,1
x x

d)
2
1
1
x
và
2
2
1
x
e)
2
1
x
x
và
1
2
x
x
f)
1
1
1
x
x

và
2
2

x
x

i)
1
2
1
x
x

và
2
1
1
x
x


j)
2
1
2
x

và
1
1
2
x



d)
1
1
x
và
2
1
x
e)
2
1
x
x
và
1
2
x
x
f)
1
1
2
x
x

và
2
2
2

x

i)
1
2
1
x
x

và
2
1
1
x
x


j)
2
1
x
và
2
2
x
k)
1
2
1
x


và
1
q
p


Bài 5: Tơng tự:
a)
2
4 2 0
x x

b)
2
5 3 0
x x

c)
2
2 6 7 0
x x


Bài 6:
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail: [email protected] http://dangngocduong.violet.vn


2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
a b a b a b a b q p


b) Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của pt:
2
1 0
x ax

với mộ nghiệm nào đó
của pt
2
1 0
x bx

là nghiệm pt thì:
2 2 2 2
4 1 1
2
a b a b


c) Cho pt
2
0
x px q


Chứng minh rằng nếu

1 2
x x

d)
2 2
1 2
x x


e)
3 3
1 2
x x

f)
1 2
1 1
x x

g)
2 2
1 2
1 1
x x

h)
1 2
1 2
3 3
x x

2 2
x x
x x



m)
2 2
1 2 1 2
x x x x

n)
1 2
2 1
x x
x x


Bài 2
: Tơng tự:
2
2 5 1 0
x x

;
2
3 4 3 0
x x

;

4

2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
5 5
x x x x
A
x x x x




Dạng thứ ba
: Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Bài 1
:
a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.
b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 33 , tích của chúng bằng 270.
d) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 4, tích của chúng bằng 50.
e) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 6 , tích của chúng bằng -315.
Bài 2
Tìm hai số u, v biết:
a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105
c) u + v = 2; uv = 9 d) u + v = 42; uv = 441
e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40
g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24

36
x x

b)
1 2
1 1
3
x x

c)
2 2
1 2
1 1 4
3
x x

d)
1 2
4
x xBài 2
: Cho pt
2
8 0
x x m

. Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x
1

x m x m

. Tìm m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2
2
x x

. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt?
Bài 4:
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail: [email protected] http://dangngocduong.violet.vn

5

a) Tìm k để pt:
2
( 2) 5 0
x k x k

có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả

2
thoả

1 2
(4 1)(4 1) 18
x x


d) Tìm m để pt:
2
5 28 0
x mx

có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2
5 2 1
x xBài 5 Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm khác 0 của pt:
2
( 1) 3( 1) 0

x xe) Định m để pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?
Bài 2: Cho pt
2
2( 1) 0
x m x m


a) CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
với mọi m.
b) Với m 0. Hãy lập pt ẩn y có 2 nghiệm là:
1 1
2
1
y x
x

và
2 2
1
1
y x
x
ấy?
c) Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x
1
; x
2
với mọi k.
d) CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?
e) Tìm k để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2 1 2
1 1 3
2
x x x x


f) Tìm k để tổng bình phơng các nghiệm có giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho pt
2
( 1) 2 1 0
m x mx m


a) CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m 1.
b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính ổng các nghiệm
của pt.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc m?
d) Tìm m để pt có hai nghiệm x

x x x x

đạt giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 6: Cho pt
2
2 2 1 0
x mx m


a) Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
b) Đặt
2 2
1 2 1 2
2( ) 5
A x x x x


+) Chứng minh
2
8 18 9
A m m


+) Tìm m sao cho A = 27.
c) Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm

1 2
x x


Bài 8: Cho pt
2
2( 2) 1 0
x m x m


a) Giải pt trên khi
3
2
mb) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu?
c) Tìm m để pt có hai nghiệm đều âm?
d) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của pt. Tìm m để
2
1 2 2 1
(1 2 ) (1 2 )
x x x x m


Bài 9: Cho pt

1 2
x x

theo m.
e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phơng nghịch đảo các nghiệm.
Bài 11
:
a) Pt
2
2 5 0
x px

có nghiệm
1
2
x

. Tìm p và tính nghiệm kia.
b) Pt
2
5 0
x x q

có một nghiệm bằng 5. Tìm q và tính nghiệm kia.
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail: [email protected] http://dangngocduong.violet.vn

8

Tìm nghiệm kia.
g) Cho pt:
2
5 28 0
x mx

. Định m để pt có hai nghiệm thoả
1 2
5 2 1
x xh) Tìm tất cả các giá trị của a để pt
2
7 0
x ax a

có hai nghiệm x
1
; x
2

thoả mãn
2 2
1 2
10
x xBài 12: Cho pt

d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả
1 2 1 2
3( ) 5
x x x xBài 13: Cho pt
2
2( 1) 2 10 0
x m x m


a) Tìm m để pt có nghiệm
b) Cho
2 2
1 2 1 2
6
P x x x x

( x
1
; x
2
là hai nghiệm của pt). Tìm m sao cho P
đạt giá trị nhỏ nhất, tìm GTNN ấy.
Bài 14: Tìm các giá trị của m; n để pt
2
2( 1) 2 0
x m x n


b) x
1
; x
2
đều âm.
Bài 16: Cho pt
2
2( 1) 3 0
x m x m


a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
c) Xác định m để pt có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu
nhau.
Bài 17
: Cho pt
2
3 0
x mx


a) Giải và biện luận pt. Từ đó hãy cho biết với giá trị nào của m thì pt có hai
nghiệm?
b) Xác định các giá trị của m để pt có hai nghiệm dơng.
c) Với giá trị nào của m thì pt nhạn 1 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 18
: Cho pt
2
8 5 0



+) Tính giá trị của m để A = 8
+) Tìm min của A
Bài 20
: Cho pt
2
( 1) 2( 1) 0
m x m x m


a) Định m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail: [email protected] http://dangngocduong.violet.vn

10

b) Định m để pt có hai nghiệm đều âm? đều dơng? trái dấu?
Bài 21: Cho pt
2 2
(2 3) 3 0
x m x m m


a) CMR pt luôn có hai nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để pt có hai nghiệm x
1
; x

6
x x x xBài 23: Cho pt
2
10 20 0
x x m


a) Giải pt khi m = 4?
b) Xác định giá trị của m để pt có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
d) Tìm m để pt có hai nghiệm đều dơng.
Bài 24
: Cho pt
2
2( 2) 1 0
x m x m


a) Tìm các giá trị của m để pt có nghiệm.
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của pt. tìm m để:
2
1 2 2 1
(1 2 ) (1 2 )

a) Giải pt khi a = -2
b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoả
1 2
2 3
x xd) Tìm a để pt có hai nghiệm dơng.
Đặng Ngọc Dơng
THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Gmail: [email protected] http://dangngocduong.violet.vn

11

Bài 27: Cho pt
2
( 1) 2( 1) 2 0
m x m x m


a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả
1 2
1 1 7
4
x x


Bài 30: Cho pt
2
2( 1) 4 0
x m x m


a) Giải pt khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì pt nhận x = 3 là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.
c) Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi m.
d) Tìm m để pt có nghiệm thoả
2 2
1 2
5
x xe) Tìm giá trị của m để pt có hai nghiện dơng? hai nghiệm âm?
Bài 31: Cho pt
2
2( 1) 2 4 0
x m x m


a) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x
1
; x
2

2 2
1 2
142
25
x x

d) Định m để pt có hai nghiệm thoả:
1 2
5 2 1
x xBài 33: Cho pt
2
2 (2 1) 1 0
x m x m


a) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả
1 2
3 4 11
x xc) Tìm m để pt có hai nghiệm đều dơng
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.


http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/1539042
3) Đề thi tuyển sinh tỉnh TP Hồ Chí Minh (2000 -> 2011)
http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/1539043
4) Đề thi tuyển sinh tỉnh TháI Bình (2000 -> 2011)
http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/1539045

Email: [email protected]
Website: http://dangngocduong.violet.vn