1
BIN I LNG GIÁC 10
Bài 1 Chng minh ng thc sau
a)
4
3 4cos2 4cos4
tan
3 4cos2 4cos4
x x
x
x x
− +
=
− +
b)
1 cos 1 cos
cot , 2
2 4
1 cos 1 cos
x x x
x
x x
+ + − π

= + π < < π

+ − −


Chng minh
a) Ta có

= = = =
+
− +
b) Nhân vi lng liên hp ca mu ta c:
(
)
( )( )
2
2 2
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
1 sin
1 cos 1 cos 2 1 cos 1 sin
1 cos 1 cos cos cos
x x
x x
VT
x x
x x x x
x
x x x x
x x x x
+ + −
+ + −
= =
+ − −
+ − − + + −
+

x x
x
x x x
VP
π
π π 

− − −
− − − −

 

+
−


= = = = =
π π π π
  
− − − −
  
  
π π π π

= − = − + = + =


Vuihoc24h.vn
2
Bài 2 Rút gn biu thc sau

x
x
x x
−
+
−
+
+
Chng minh
a) Ta có
tan tan tan cot
2 2 2
x x x x
πππ
  
− = − − = − − = −
  

  

3
cos cos cos cos ( ) sin( ) sin
2 2 2 2
x x x x x x
π π π π

+ = π + + = − + = − − − = − − =




  

3
tan tan tan tan ( ) cot( ) cot
2 2 2 2
x x x x x x
π π π π

+ = π + + = + = − − = − = −



Khi ó,
( )
3
3
3
2 2
3 7
cos
tan cos sin
sin cos
cot .sin cos
2 2 2
sin
cos
3
sin cot
sin
cos tan

b) Ta có
( )
2
2 2
1 sin2 sin cos 2sinc os sin co s
x x x x x x x
+ = + + = +

2 2 2
2
2 2 2
sin cos sin
cos
2 2 2
1 tan 1
2
cos cos cos
2 2 2
x x x
x x
x x x
−
− = − = =

2
2
1
1 tan
2
cos

x x x x
x
−
+
+
− = − = + − =
+ +
+
Bài 3 Chng minh rng
a)
5 1
sin18
4
o
−
=
b)
t an15 2 3
o
= −
c)
t an22 30 2 1
o
′
= −
Áp dng chng minh ng thc sau:
1)
4cos36cot730 1 2 3 4 5 6
o o
′

Vì
0 sin181
o
< <
nên
5 1
sin18
4
o
−
=
b) Ta có
(
)
( )
2
2
2
2
1 1 2sin
sin sin 1 cos 2
tan (tan 0)
cos cos 1 cos 2
1 2cos1
x
x x x
x x
x x x
− −
−

4cos36 4cos2.18 4 1 2sin18 4 1 25 1
4
o o o


−

= = − = − = +





Vuihoc24h.vn
4
Nhn xét rng:
2
cot cot 2 1 cot 2
x x x
= + +
. Tht vy, ta có
2
2
2
cos 2 1 1 cos 2 1 2cos 1
cot 2 1 cot 2 cot
sin2 sin 2 sin2 2sincos
x x x
x x x
x x x x x

3
sin33sin1 4sin1
o o o
= − là s hu t, suy ra
3
sin 9 3sin3 4sin3
o o o
= − là s hu t
3
sin27 3sin9 4sin9
o o o
= −
là s hu t
3
sin81 3sin27 4sin27
o o o
= − là s hu t
Khi ó,
5 1
sin18 2sin9 cos 9 2sin9 sin81
4
o o o o o
−
= = =
là s hu t suy ra
5
là s hu t (MT)
Chng minh
cos 1
o

=
Nhân v theo v 8 ng thc trên ta c
Vuihoc24h.vn
5
7
2 4 6 8 10 12 14 2 2 3 3
sin sin sin sin sin sin sin 2 sin cos sin cos sin cos
15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15
4 4 5 5 6 6 7 7
sin cos sin cos sin cos sin cos
15 15 15 15 15 15 15 15
π π π π π π π π π π π π π
= ×
π π π π π π π π
×
7
2 3 4 5 6 7
cos cos cos cos cos cos cos 2
15 15 15 15 15 15 15
−
π π π π π π π
⇔ =

(vì
(
)
sin sin
x x
π − = )
Bài 5 Tính t"ng sau


Gii a) Nhân c hai v vi
2sin
7
π
r#i áp dng công thc bin "i tích thành t"ng.
1
2
P
= −
b) H bc r#i áp dng câu (a)
c) Nhân c hai v vi
2sin
2
x
r#i áp dng công thc bin "i tích thành t"ng.
1
( 1 )
sin sin
2 2
, 2
sin
2
0 , 2
n x nx
x k
x
S
x k
+




= π

d) Nhân c hai v vi
2sin
2
d
r#i áp dng công thc bin "i tích thành t"ng
Bài 6 Tính giá tr các biu thc sau
4 4 4
2 3
sin sin sin
7 7 7
A
π π π
= + + và
4 4 4
4 5 6
cos cos cos
7 7 7
B
π π π
= + +
Gii Nhn xét rng
4 4 4 4 4 4
4 5 6 2 3
cos cos cos cos cos cos
7 7 7 7 7 7

1 cos 1 cos 1 cos
1
7 7 7
3
2 2 2 2
9 1 4 8
cos cos co
4 2 7 7
B A
π π π π π π
+ = + + + + +
π π π π π π
= − + − + −
π π π
= − − −
π π π
 
− − −
 
= − + +
 
 
 
π π
= + + +
12
s
7
π
 

B A
B
B A


=
+ =


 
⇔
 
 
=
− = −




Vuihoc24h.vn
7
Bài 7 Chng minh rng
3
2
3tan tan
tan3
1 3tan
x x
x
x

VP
x
x x x x x x
x
x
x VT
x
−
− − −
= = = =
− − −
−
= = =
Áp dng công thc trên ta c
2 4 6
2
2 4
9 tan 6 tan tan
tan 3
1 6tan 9tan
x x x
x
x x
− +
=
− +
(*)
Vi
10
o

1
tan 3.10 tan 3.50 tan 3.70
3
o o o
= = =
nên lp lun nh trên ta c'ng c
2 2
tan 50 , tan 70
o o
là nghi m c a (1). Do ó, theo nh lý Viet
2 2 2
(27)
tan 10 tan 50 tan 70
9
3
o
S
−
= + + = =
.
Bài 7 Cho bit tanx, tany là nghi m ca phng trình
2
0
x px q
+ + =
. Chng minh rng
2 2
sin ( ) sin( )cos( ) cos ( )
x y p x y x y q x y q
+ + + + + + =

8
2)
c os ( ) 0
x y
+ ≠
, ta có
2 2
2
(*)
2
2
2
sin ( ) sin( )cos( ) cos ( )
cos ( )
cos ( )
1
tan ( ) tan( )
1 tan ( )
x y p x y x y q x y
VT x y
x y
x y p x y q
x y
+ + + + + +
= +
+
 
= + + + +
 
+ +

((H 1970)
Chng minh Theo gi thit ta có h
1 1
1 2
2 2
sin cos 0
,
sin cos 0
a x b x
x x k
a x b x
+ =

∀ − ≠ π

+ =

Xem h trên là h bc nht theo hai )n a và b. Ta có
1 1
1 2 1 2 1 2
2 2
sin cos
sin cos cos sin sin( ) 0
sin cos
x x
D x x x x x x
x x
= = − = − ≠
(vì
1 2

1 2 3 1 2 3
,x x x y y y k k
+ + + + + = π ∈

Chng minh Tính
1 2 3
tan( )
x x x
+ +
và
1 2 3
tan( )
y y y
+ +
. T% ó khng nh
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
tan( ) tan( ) ,x x x y y y x x x y y y k k
+ + = − + ++ + + + + = π ∈

Bài 10 Cho
4
x y z
π
+ + =
và
tan ,tan , tan
x y z
là ba nghi m c a
3 2
0

A B C A B C
cot cot cot cot
+ + =
7) 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg
+ + =
8 ) c o t cot cot cot cot cot 1
A B B C C A
+ + =
2 2 2
9)cot
4
b c a
A
S
+ −
=

2 cos
2
10)
a
A
bc
l
b c
=
+

Bài 1 Cho tam giác ABC có nh
( 1 ; 3 )
A
− −
a) Cho bit hai ng cao
:53 25 0
BH x y
+ − =
và
:38 12 0
CK x y
+ − =
. Hãy xác nh ta
 các nh B và C.
b) Xác nh ta  nh B và C nu bit ng trung trc ca AB là
3 2 4 0
x y
+ − =
và ta
 trng tâm
(4, 2)
G
−
ca tam giác ABC (H Cn th)
Bài 2 Trong m$t phng ta  Oxy, cho tam giác ABC có trong tâm
( 2 , 1 )
G
− −
và các cnh
: 4 15 0

C x y x y
+ − − =
. Vit phng trình tip tuyn vi
(C) v t% A và tìm ta  tip im .
c) Lp phng trình ng tròn tâm
(4;3)
I và tip xúc vi ng thng
: 2 5 0
d x y
+ − =
Vuihoc24h.vn