Trần Sĩ Tùng Lượng giác
VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân
Công thức nhân đôi
sin2 2sin .cos
α α α
=
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
α α α α α
= − = − = −

2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot
1 tan
α α
α α
α
α
−
= =
−

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin

α α α
α α α
α α
α
α
= −
= −
−
=
−
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)
khi
5 3
cos2 , sin2 , tan2 cos ,
13 2
π
α α α α π α
= − < <
b)
khicos2 , sin2 , tan2 tan 2
α α α α
=
c)
khi
4 3
sin , cos sin2 ,
5 2 2
π π
α α α α

8
d)
D
0 0 0
cos10 .cos50 .cos70=
ĐS:
3
8
e)
o o o o
E sin6 .sin42 .sin66 .sin78=
ĐS:
1
16
f)
G
2 4 8 16 32
cos .cos .cos .cos .cos
31 31 31 31 31
π π π π π
=
ĐS:
1
32
h)
o o o o o
H sin5 .sin15 .sin25 sin75 .sin85=
ĐS:
2
512

ĐS:
2
8
Bài 3. Chứng minh rằng:
a)
n
n
n
a a a a a
P
a
2 3
sin
cos cos cos cos
2
2 2 2
2 .sin
2
= =
b)
n
n
Q
n n n
2 1
cos .cos cos
2 1 2 1 2 1
2
π π π
= =

sin .cos cos .sin sin4
4
− =
d)
x x
x x
6 6 2
1
sin cos cos (sin 4)
2 2 4
− = −
e)
x
x
2
1 sin 2sin
4 2
π
 
− = −
 ÷
 
f)
x
x x
2
2
1 sin
1
2cot .cos

+
 ÷
 
h)
x
x
x
1 sin2
tan
4 cos2
π
 
+
+ =
 ÷
 
i)
x x
x
cos
cot
1 sin 4 2
π
 
= −
 ÷
−  
k)
x x
x x

cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

π π
α α α α
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
sin cos 2sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
2. Công thức biến đổi tích thành tổng
Bài 1. Biến đổi thành tổng:
a)
a b a b2sin( ).cos( )+ −
b)
a b a b2cos( ).cos( )+ −
c)
x x x4sin3 .sin2 .cos
d)
x x
x
13
4sin .cos .cos
2 2
e)
o o

x x x x4sin .sin sin sin3
3 3
π π
   
− + =
 ÷  ÷
   
Áp dụng tính:
o o o
A sin10 .sin50 .sin70=
o o o
B cos10 .cos50 .cos70=
C
0 0 0
sin20 .sin 40 .sin80=
D
0 0 0
cos20 .cos40 .cos80=
Bài 3. Biến đổi thành tích:
a)
x2sin 4 2+
b)
x
2
3 4cos−
c)
x
2
1 3tan−
d)

x x x
B
x x x
sin2 2sin3 sin4
sin3 2sin4 sin5
+ +
=
+ +
c)
x x x
C
x x
2
1 cos cos2 cos3
cos 2cos 1
+ + +
=
+ −
d)
x x x
D
x x x
sin4 sin5 sin6
cos4 cos5 cos6
+ +
=
+ +
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
A

2sin10
= −
f)
o o
F
1 3
sin10 cos10
= −
g)
o o
o o o o
G
tan80 cot10
cot25 cot75 tan25 tan75
= −
+ +
h)
H
0 0 0 0
tan9 tan27 tan63 tan81= − − +
ĐS:
A
1
2
=
B 2( 6 3)= −
C
1
64
=

ĐS:
1
2
−
e)
2 3
cos cos cos
7 7 7
π π π
− +
ĐS:
1
2
f)
5 7
cos cos cos
9 9 9
π π π
+ +
ĐS: 0
g)
2 4 6 8
cos cos cos cos
5 5 5 5
π π π π
+ + +
ĐS: –1
h)
3 5 7 9
cos cos cos cos cos

S n k
1
cos cos3 cos5 cos(2 1) ( )
α α α α α π
= + + + + − ≠

b)
n
S
n n n n
2
2 3 ( 1)
sin sin sin sin .
π π π π
−
= + + + +
c)
n
S
n n n n
3
3 5 (2 1)
cos cos cos cos .
π π π π
−
= + + +
d)
S vôùi a
a a a a a a
4

1
sin2
2sin
α
α
=
;
S
n
2
cot
2
π
=
;
S
n
3
cos
π
= −
;
a a
S
a
4
tan5 tan
1 5
sin
−

3
3 3 3
−
= = + + +
ĐS:
n
n
n
a
S a
1
3 sin sin .
4
3
 
= −
 ÷
 
Bài 10.
a) Chứng minh rằng:
a
a
a
sin2
cos
2sin
=
.
b) Tính
n

b) Tính
n
n
S k
1
1
1 1 1
(2 )
sin sin2
sin2
α π
α α
α
−
−
= + + + ≠
ĐS:
n
S
1
cot cot 2
2
α
α
−
= −
Bài 12.
a) Chứng minh rằng:
x x x x
2

2 2 2 2
1 1 1 1
7
tan cot sin cos
+ + + =
ĐS:
8
9
Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x xcot tan 2tan2 4cot 4− − =
b)
x x
x x
2
1 2sin 2 1 tan2
1 sin4 1 tan2
− +
=
− −
c)
x
x
x x
2
6
6 2
1 3tan
tan 1
cos cos

3
tan
+
=
Trang 71
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
b) Cho
a b atan( ) 3tan+ =
. Chứng minh:
a b a bsin(2 2 ) sin2 2sin2+ + =
Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
A B C
A B Csin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
+ + =
b)
A B C
A B Ccos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
+ + = +
c)
A B C A B Csin2 sin2 sin2 4sin .sin .sin+ + =
d)
A B C A B Ccos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cos+ + = − −
e)
A B C A B C
2 2 2
cos cos cos 1 2cos .cos .cos+ + = −
f)

= = =
Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông:
a)
A B Ccos2 cos2 cos2 1+ + = −
b)
A B Ctan2 tan2 tan2 0+ + =
c)
b c a
B C B Ccos cos sin .sin
+ =
d)
B a c
b
cot
2
+
=
Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
a)
A B
a A b B a btan tan ( )tan
2
+
+ = +
b)
B C B C
2
2tan tan tan .tan+ =
c)
A B

cos cos cos
2
+ + ≤
HD: Cộng
cos
3
π
vào VT.
c)
A B Ctan tan tan 3 3+ + ≥
(với A, B, C nhọn)
d)
A B C
1
cos .cos .cos
8
≤
HD: Biến đổi
A B C
1
cos .cos .cos
8
−
về dạng hằng đẳng thức.
Bài 21.
a)
Trang 72