Phần thứ nhất
LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM
Chương 1
LÝ THUYẾT TÍNH TẤM ĐÀN HỒI
Tấm là vật thể hình khối được giới hạn bằng hai mặt phẳng, có chiều cao h
(chiều dày) rất nhỏ so với hai kích thước còn lại h<<a,b, hình 1-1.
Mặt phẳng trung bình là mặt
phẳng cách đều mặt trên và mặt dưới
của tấm.
Tấm chịu uốn được phân loại
thành tấm mỏng và tấm dầy.
Tấm được gọi là tấm mỏng khi
[12,17]:

min
1
10
h
l
≤
và
max
1 1
5 10
w
h
≤ ÷
(w
max
là
chuyển vị pháp lớn nhất). Tấm được

.
Từ các giả thiết của Kirchhoff, đối với tấm mỏng, chuyển vị
( )
, ,u x y z
,
13
Hình 1-1.
( )
, ,v x y z
, biến dạng, ứng suất và nội lực được xác định qua chuyển vị
( )
,w x y
và
bài toán 03 chiều trở thành bài toán 02 chiều.
1.1.2. Các phương trình cơ bản
Nói chung, bài toán cơ học được giải trên cơ sở 03 nhóm phương trình cơ
bản: hình học, vật lý, cân bằng kết hợp với điều kiện biên.
- Nhóm phương trình hình học biểu thị quan hệ giữa biến dạng và chuyển
vị.
- Nhóm phương trình vật lý biểu thị quan hệ giữa ứng suất và biến dạng.
- Nhóm phương trình cân bằng biểu thị điều kiện cân bằng của phân tố hoặc
toàn hệ.
1. Phương trình hình học
Xét tấm mỏng có chiều dày
h const
=
, vật liệu đàn hồi tuyến tính.
Tách từ tấm một phân tố VCB có các
cạnh
,dx dy

3, có dạng:
( )
( )
,
, , .
y
w x y
u x y z z z
x
∂
= − = − θ
∂
(1.2)
( )
( )
,
, , .
x
w x y
v x y z z z
y
∂
= − = − θ
∂
(1.3)
Từ lý thuyết đàn hồi, các thành
phần biến dạng của tấm được xác định theo công thức:

( ) ( )
2

1 2
, , , , ,
2 .
xy xy
u x y z v x y z w x y
z zk
y x x y
∂ ∂ ∂
γ =β +β = + = − =
∂ ∂ ∂ ∂
(1.6)
trong đó:
x
k
,
y
k
và
xy
k
là độ cong uốn và độ cong xoắn.

( )
2
2
,
x
w x y
k
x

các thành phần biến dạng xác định theo (1.4)
÷
(1.6), hình 1-4:
Hình 1-4 và 1-5. Các thành phần ứng suất và mô men của tấm.
( )
2 2
2 2 2 2
.
1 1
x x y
E E z w w
x y
 
∂ ∂
σ = ε +µε = − +µ
 ÷
−µ −µ ∂ ∂
 
(1.8)
( )
2 2
2 2 2 2
.
1 1
y y x
E E z w w
y x
 
∂ ∂
σ = ε +µε = − +µ

định ứng suất. Nội lực kết cấu tấm bao gồm: mô men uốn
x
M
,
y
M
, mô men xoắn
xy
M
, lực cắt
x
Q
,
y
Q
, hình 1-5. Nội lực phân bố trên một đơn vị chiều dài, được
xác định qua ứng suất bằng các công thức:
/2
2 2
2 2
/2
.
h
x x p
h
w w
M z dz D
x y
−
 

/ 2
. 1
h
xy yx xy p
h
w
M M z dz D
x y
−
∂
= = τ = − −µ
∂ ∂
∫
(1.14)
trong đó,
p
D
là độ cứng trụ:
( )
3
2
12 1
p
Eh
D =
−µ
(
h
là chiều dày tấm) (1.15)
Biểu diễn mô men uốn và mô men xoắn (1.12)

0 0 0 0
2 2
m p
Eh
C D
   
   
µ µ
   
= µ = µ
   
−µ
   
−µ −µ
   
   
(1.19)
Lực cắt
x
Q
,
y
Q
là hợp lực của ứng suất
zx
τ
,
zy
τ
được xác định từ điều kiện

x
x
M
M
Q
x y
∂
∂
− − + =
∂ ∂
(1.21)
0
y xy
y
M M
Q
y x
∂ ∂
− − + =
∂ ∂
(1.22)
Hình 1-6. Các thành phần nội lực của tấm
Từ (1.21)
÷
(1.22) và kết hợp với mô men uốn và mô men xoắn biểu diễn qua
chuyển vị
( )
,w x y
theo (1.12)
÷

là toán tử Laplat:
2 2
2
2 2
x y
∂ ∂
∇ = +
∂ ∂
(1.25)
Thay (1.23), (1.24) vào (1.20) và chú ý đến (1.12)
÷
(1.14), phương trình
cân
bằng của tấm có dạng:
( )
4 4 4
4 2 2 4
,
2
p
q x y
w w w
x x y y D
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
(1.26)
Phương trình này gọi là phương trình Sophi-Giecman.
1.2. TÍNH TẤM DÀY CHỊU UỐN THEO GIẢ THIẾT MINDLIN
1.2.1. Góc xoay có kể đến biến dạng cắt

w
y
∂
−θ = − + φ
∂
(1.27)
Từ (1.27), góc xoay của câc pháp tuyến:
y y
w
x
∂
φ = θ +
∂
x x
w
y
∂
φ = −θ +
∂
(1.28)
Hình 1-7. Góc xoay pháp tuyến.
1- Đường thẳng đứng; 2. Đường pháp tuyến sau biến dạng;
3. Đường thẳng nghiêng kể đến biến dạng cắt;
4. Tiếp tuyến với mặt trung bình; 5. Mặt trung bình.
1.2.2. Công thức xác định nội lực
Ứng suất tiếp
zx
τ
và
zy

 
 
(1.29)
Lực cắt
x
Q
,
y
Q
được xác định bằng công thức:
/ 2
/ 2
h
x xz
h
Q dz
−
= τ
∫

/ 2
/ 2
h
y yz
h
Q dz
−
= τ
∫
(1.30)

(1.31)
trong đó:
[ ]
( )
1 0
0 1
2 1
s
Eh
C
 
=
 
+µ
 
(1.32)
Nội lực mô men uốn
x
M
,
y
M
, mô men xoắn
xy
M
và lực cắt
x
Q
,
y

=
 
 
(1.35)
{ }
{ }
T
x y xy y x
p
k k kε = φ φ
(1.36)
Biểu diễn
{ }
p
ε
qua
w
,
x
θ
,
y
θ
:
{ }
T
y y
x x
y x
p

và
y b=
:
0w
=
và
0
w
y
∂
=
∂
(1.38b)
1.3.2. Biên tựa khớp
Điều kiện biên là chuyển vị và mô men uốn bằng không.
- tại
0x =
và
x a=
:
0w =
và
2 2 2
2 2 2
0
x p
w w w
M D
x y x
 

y b=
là biên tự do, hình 1-8, nên mô men uốn
y
M
, mô men xoắn
19
xy
M
, lực cắt
y
Q
bằng không:
( ) ( ) ( )
0
y xy y
y b y b y b
M M Q
= = =
= = =
. Song, phương trình
vi phân mặt uốn của tấm (1.26) là phương trình vi phân cấp 4 nên chỉ cần 02 điều
kiện biên trên mỗi cạnh là đủ xác định nghiệm. Kirchhoff đã gộp hai điều kiện
biên
xy
M
và
y
Q
thành một điều kiện.
Trên biên tự do

1 xy
T M=
và
2
xy
xy
M
T M dx
x
∂
= +
∂
.
Hình 1-8. Điều kiện biên tự do.
Chiếu các lực tập trung tại điểm
b
lên phương OZ:
2 1
xy
y
M
Q T T dx
x
∂
∆ = − =
∂
,
vì
y
Q∆

:
2 2
2 2
0
x
w w
M
x y
∂ ∂
= +µ =
∂ ∂
và
( )
3 3
3 2
2 0
x
w w
Q
x x y
∂ ∂
= + −µ =
∂ ∂ ∂
(1.40a)
- tại biên
0y =
và
y b=
:
20

trọng phân bố là lực cắt tương đương
x
Q
của tấm. Do vậy:

( )
4 3 3
4 3 2
2
x a p
x a
w w w
EJ D
y x x y
=
=
 
∂ ∂ ∂
= + −µ
 
∂ ∂ ∂ ∂
 

(1.41a)
2. Điều kiện biên thứ hai
Mô men xoắn của dầm bằng mô
men uốn
x
M
của tấm.

 
(1.41c)
1.4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN CỦA TẤM
Thế năng toàn phần
Π
của tấm bằng tổng thế năng biến dạng của nội lực
U

và thế năng ngoại lực khi hệ chuyển từ trạng thái ban đầu không biến dạng sang
trạng thái biến dạng.
. .U q w dxdyΠ = −
∫∫
(1.42)
Thế năng của ngoại lực được đo bằng công của ngoại lực. Công của ngoại
lực luôn âm (có xu hướng ngăn cản biến dạng, đưa hệ về trạng thái cân bằng)
bằng tích của ngoại lực với chuyển vị của các điểm đặt lực tương ứng.
Thế năng biến dạng của nội lực
U
được đo bằng công của nội lực. Công
nội lực luôn luôn dương, bằng nửa tích của nội lực (ứng suất) trên chuyển vị
(biến dạng) tương ứng.
Khi kể đến biến dạng cắt:
b s
U U U= +
(1.43)
21
Hình 1-9. Biên tựa đàn hồi
trong đó:
b
U

 ÷
 ÷
∂ ∂
−µ
 
 
 
 
∫∫
(1.44)
Năng lượng biến dạng uốn của tấm đẳng hướng được xác định bằng
công thức, [12]:
( )
( )
2 2
2
3
2
1
2
2
24 1
y y y
x x x
b
S
Eh
U dxdy
x x y y y x
 

{ }
[ ]
{ } { }
[ ]
{ }
( )
1
2
T T
c m c s
S
U k C k C dxdy= + φ φ
∫∫
(1.46b)
Thế năng toàn phần của tấm chỉ xét đến biến dạng uốn có dạng khác, [17]:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
0 0
2 1 , ,
2
a b
p
D
w w w w w
q x y w x y dxdy
x y x y x y
 
 