Cỏc bi tõp tng hp v nõng cao hc kỡ 1 lp 8
Bài 7: Cho một góc nhọn xOy và một đờng thẳng d cắt Ox tại I, cắt Oy tại J; A và B là hai điểm thuộc đoạn thẳng IJ.
Tìm một điểm M trên Ox và một điểm N trên Oy sao cho tổng MA + MN + NB nhỏ nhất.
Bài 8: Chứng minh rằng giao điểm của các đờng trung trực của các đoạn thẳng MA, MB nằm trên một đờng thẳng cố
định không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên d.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A. Kẻ đờng cao AH, D và E theo thứ tự là hình đói xứng của H qua các
đơng thẳng AB, AC. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) Tứ giác BCED là hình thang vuông.
c) DHE = 90
0
.
d) DE = 2AH.
(Để học tốt hình học 8)
V. Các bài toán về hình bình hành - đối xứng tâm
Bài toán 1: (Bài toán cơ bản)
Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm F,E lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho
AE = CF. Chứng minh rằng: AF = CE.
Nhận xét 1: Chúng ta dễ dàng nhận thấy tứ giác EBFD là hình bình hành. Khi đó ta có bài toán sau:
Bài 1.1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh
rằng: DE = BF.
Nhận xét 2: Và nếu gọi M, N lần lợt là giao điểm của
CE, AF với BD ta cũng nhận đợc tứ giác AMCN là hình
bình hành. Do vậy nếu gọi O là giao điểm của AC và BD,
chúng ta sẽ có O là trung điểm cuae EF và MN.
Từ đó ta có các bài toán sau:
Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh
rằng: AE = CF.
Bài 1.3: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh
rằng các đờng thẳng AC, BD, EF đồng quy.
Bài 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt

D
B
C
E
F
Bài 1.6: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. AF và CE
cắt BD lần lợt tại N, M. AM cắt BC tại I, CN cắt AD tại K. Chứng minh rằng các đờng thẳng AC, BD, EF, IK đồng
qui.
(Bài 84 - SBT)
Bài toán 2(Bài toán cơ bản):
Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng thẳng xy chỉ có
một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ
từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng BB' + DD' = CC'
(Bài 85 - SBT)
Nhận xét 1: Chúng ta cũng nhận ra rằng O
'
là trung điểm của AC
'
và B'D'. Suy ra AD
'
= B
'
C
'
. Từ đó ta có bài
toán sau:
Bài 1.1 : Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB',
CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng AD
'
= B

.
Nhận xét 4: Di chuyển đờng thẳng xy để đờng thẳng xy
Không có điểm chung với hình bình. Gọi AA
'
, BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ A, B, C, D đến đờng
thẳng xy, chắc hẳn chúng ta cũng nhận ra rằng ta có AA
'
+ CC' = BB' + DD'. Từ đó ta có bài toán sau:
Bài 1.5: Cho hình bình hành ABCD và đờng thẳng xy Không có điểm chung với hình bình. Gọi AA
'
, BB', CC', DD' là
các đờng vuông góc vẽ từ A, B, C, D đến đờng thẳng xy. Tìm mối liên hệ giữa AA
'
, BB', CC', DD'.
1. Chuyên đề : Đa thức
Bi 1: Tinh gi tri cua biờu thc
a. A =
4 3 2
17 17 17 20x x x x + +
tại x = 16.
b. B =
5 4 3 2
15 16 29 13x x x x x + +
tại x = 14.
c. C =
14 13 12 11 2
10 10 10 ... 10 10 10x x x x x x + + + +
tại x = 9
d. D =
15 14 13 12 2

B'
O'
C'
O
A
C
D
B
x
y
D'
B'
O'
O
A
C
D
B
x
y
A'
B'
C'
D'
O'
b. N =
1 3 546 1 4
2 . .
547 211 547 211 547.211


biờt x+ y = -p, xy = q
B i 6: tính giá trị của biểu thức:
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x a x b x b x c x c x a ab bc ca x + + = + +
; biờt rng 2x = a + b + c
b.
( )
2 2 2
2 4bc b c a p p a+ + =
; biết rằng a + b + c = 2p
bài 7:
a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. chứng minh rằng ab 2 chia hết cho 3.
b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. hỏi tích ab có chia hết cho 3 không?
Vì sao?
Baứi 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:

( ) ( )
M a a b a c= + +
;
( ) ( )
N b b c b a= + +
;
( ) ( )
P c c a c b= + +
Baứi 9: Cho biểu thức: M =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x a x b x b x c x c x a x + + +

I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
1. (a b)
2
= a
2
2ab + b
2
;
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca ;
2
1 2 n
(a a ... a )+ + + =
=

+ + + + + + + + + + + +
2 2 2
1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n
a a ... a 2(a a a a ... a a a a ... a a ... a a )
;
2. (a b)
3
= a

2
= (a b)(a + b) ;
a
3
b
3
= (a b)(a
2
+ ab + b
2
) ;
a
n
b
n
= (a b)(a
n 1
+ a
n 2
b + a
n 3
b
2
+ + ab
n 2
+ b
n 1
) ;
4. a
3

2k + 1
= (a + b)(a
2k
a
2k 1
b + a
2k 2
b
2
+ a
2
b
2k 2
ab
2k 1
+ b
2k
) ;
II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)
n
Tam giác Pascal
Đỉnh 1
Dòng 1 (n = 1) 1 1
Dòng 2 (n = 2) 1 2 1
Dòng 3 (n = 3) 1 3 3 1
Dòng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1
Dòng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn ở dòng 2
ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x +
y)

b
3
+ 10ab
4
+ b
5
II. Các ví dụ
Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau :
A = (x + y + z)
3
(x + y z)
3
(y + z x)
3
(z + x y)
3
.
Lời giải
A = [(x + y) + z]
3
[(x + y) z]
3
[z (x y)]
3
[z + (x y)]
3
= [(x + y)
3
+ 3(x + y)
2

2
z 6z(x y)
2
= 24xyz
Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a
2
4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x
2
+ y
2
; b) x
3
+ y
3
; c) x
4
+ y
4
; d) x
5
+ y
5
Lời giải
a) x
2
+ y
2
= (x + y)
2

2b
2
= a
4
4a
2
b + 2b
2
d) (x
2
+ y
2
)(x
3
+ y
3
) = x
5
+ x
2
y
3
+ x
3
y
2
+ y
5
= (x
5

6
= (a
2
)
3
+ (b
2
)
3
= (a
3
)
2
+ (b
3
)
2
a
7
+ b
7
= (a
3
+ b
3
)(a
4
+ b
4
) a

+ b
2
+ c
2
ab bc ca) ;
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lời giải
a) a
3
+ b
3
+ c
3
3abc = (a + b)
3
+ c
3
3abc 3a
2
b 3ab
2
= (a + b + c)[(a + b)

+ c
3
)
= (b + c)[(a + b + c)
2
+ (a + b + c)a + a
2
] (b + c)(b
2
bc + c
2
)
= (b + c)(3a
2
+ 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Ví dụ 4. Cho x + y + z = 0.
Chứng minh rằng : 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)

2
+ y
2
+ z
2
)
= x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(y
2
+ z
2
) + y
3
(z
2
+ x
2
) + z
3
(x
2
+ y
2

+ z
2
) = x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(x
2
2yz) + y
3
(y
2
2zx) + z
3
(z
3
2xy) = 2(x
5
+ y
5
+ z
5
)
2xyz(x
2
+ y

4
.
2. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x 1)
2007
+ y
2008
+ (z + 1)
2009
.
3. Cho a
2
b
2
= 4c
2
. Chứng minh rằng : (5a 3b + 8c)(5a 3b 8c) = (3a 5b)
2
.
4. Chứng minh rằng nếu:
5. (x y)
2
+ (y z)
2
+ (z x)
2
= (x + y 2z)
2
+ (y + z 2x)
2

2
) = (ax + by + cz)
2

và x, y, z khác 0 thì
a b c
x y z
= =
.
7. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
a) 5(x
3
+ y
3
+ z
3
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = 6(x
5
+ y
5
+ z
5
) ;
b) x

)(x
5
+ y
5
+ z
5
).
8. Chứng minh các hằng đằng thức sau :
a) (a + b + c)
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b)
2
+ (b + c)
2
+ (c + a)
2
;
b) x
4
+ y
4
+ (x + y)
4
= 2(x

4
10. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1.
Tính giá trị của biểu thức : C = a
2
+ b
9
+ c
1945
.
11. Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau :
a
3
3a
2
+ 5a 17 = 0 và b
3
3b
2

4
; c) x
5
+ y
5
; d) x
6
+ y
6
;
e) x
7
+ y
7
; f) x
8
+ y
8
; g) x
2008
+ y
2008
.
3. Chuyên đề:
Phân tích đa thức thành nhân tử
I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2
2 2
2 2

Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để
xác định thừa số còn lại.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải
a, Giả sử thay x bởi y thì P =
2 2
( ) ( ) 0y y z y z y + =
Nh vậy P chứa thừa số x y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi
các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa số x y thì cũng chúa thừa số y z, z x. Vậy P phải có dạng
P = k(x y)(y z)(z x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z
còn tích (x y)(y z)(z x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức
đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0
ta đợc k = -1
Vậy P =- (x y)(y z)(z x) = (x y)(y z)(x - z)
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
= + + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= + + , với 2m = a+ b + c.
B i 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3 3
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 3 3
2 2
) ( )( ) .
) ( 2 ) (2 ) .

4 3 2
2 2
4 3 2
4
) 6 12 14 3
) 4 4 5 2 1
) 3 22 11 37 7 10
) 7 14 7 1
) 8 63
a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x
= + +
= + + + +
= + + + + +
= + +
= +6
4 3 2
2 2 2 2 2
1, 6 7 6 1
2,( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
+ + +
+ + + + + + +

2
S 2P-
; a
3
+ b
3
=
3
S 3SP-
. Vì vậy :
A = x
3
3(
2
S 2P-
)x + 2(
3
S 3SP-
) =
3 3 2 3
(x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + -
=
2 2 2
(x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + -
=
2 2
(x S)(x Sx 2S 6P)- + - +
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a + b)

4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x + 1 ;
e) x
6
+ 3x
5
+ 4x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1.
f) x
8
+ x
4
+ 1;
g) x
10
+ x
5
+ 1 ;
h) x
12
+ 1 ;

2
9
3 4 ?
4
x x+ + =

Câu 4. 6x
3
-9x
2
Câu 5. 3xy
2
+6xyz=?
Câu 6. 4x
2
-1 =?
Câu 7. a
4
-16=?
Câu 8. Giá trị của biểu thức x
3
-3x
2
+3x-1 tại x=10001
Câu 9. 3.4
n
-4
n+1
= ?
Câu 10.

2
+4y
2
+4xy+
2
> 0 với mọi x; y.
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức . P=x
2
(2x
3
+1)-2xy-(2x
5
-y
2
) tại x=9876 ; y=9866.
Bài 6: Tìm m để đa thức
3 2
x 3x x m- + -
chia hết cho đa thức x+2
Bài 7: Tìm x biết: x(2x+1) - (2x+1) = 0
Bài 8: Cmr 4x-x
2
- 6 < 0 với mọi x.
4. Chuyên đề
: Xác định đa thức
* Định lí Beout (BêZu) và ứng dụng:
1) Định lí BêZu: 7

*Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x)
Gọi thơng và d trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt là M(x) và N(x)
Khi đó ta có:
)()().()( xNxMxQxP
+=
(Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì :

=
x
(

là hằng số). Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hệ số của các hạng tử trong các đa thức
( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d).
Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)
Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có:
)().1(263
232
xQxaxaxxa
+=+
.
Vỡ ng thc ỳng vi mi x nờn cho x = -1 ta dc:



=
=
=++=++
3
2

2
23
chia hết cho đa thức:
1
2
++
xx
. Hãy giải bài toán trên
bằng nhiều cách khác nhau.
Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức:
kxxxxxf
+++=
234
219)(
chia hết cho đa thức:
2)(
2
=
xxxg
.
Bi 5: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn k cho a thc:
152)(
23
++=
kkkf
chia ht cho nh thc:
3)(
+=
kkg
.

2
)(
.
c) Xỏc nh a, b
axxxxP
++=
85)(
23
chia ht cho
bxxxM
++=
2
)(
.
Bi 8: Hóy xỏc nh cỏc s a, b, c cú ng thc:
( hc tt i s 8)
Bi 9: Xỏc nh hng s a sao cho:
a)
axx
+
710
2
chia ht cho
32

x
.
b)
12
2

1
2
+−
xx
.
b)
505
23
−++ xbxax
chia hết cho
103
2
++
xx
.
c)
1
24
++
bxax
chia hết cho
2
)1(
−
x
.
d)
4
4
+

x
thì dư
5
+
x
.
(Một số vấn đề phát triển Đại số 8)
Bài 13: Cho đa thức:
baxxxxxP
++−+=
234
)(
và
2)(
2
−+=
xxxQ
. Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x).
Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức
1)(
34
++=
bxaxxP
chia hết cho đa thức
2
)1()(
−=
xxQ
Bài 15: Cho các đa thức
237)(

n
CCCC 
vào biểu thức P(x) ta lần lượt tính được
các hệ số
n
bbbb ,,,,
210

.
Bµi tËp ¸p dông
Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết:
9)2(,7)1(,25)0(
−===
PPP
.
Giải
Đặt
)1()(
210
−++=
xxbxbbxP
(1)
Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được:
11.2.2.18259
18257
25
22
11
0
=⇔+−=−

xxxbxxbxbbxP
(1)
Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:
)1(),12)(1()1()(
0)1(
++=−−
=−
xxxxPxP
P
a) Xác định P(x).
b) Suy ra giá trị của tổng
)(),12)(1(5.3.23.2.1
*
NnnnnS
∈+++++=

.
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :

36)2(5.3.2)1()2(
6)1(3.2.1)0()1(
0)0(0)1()0(
,0)2(0)2()1(
=⇔=−
=⇔=−
=⇔=−−
=−⇔=−−−
PPP
PPP
PPP

bb
bb
bb
bb
b
Vy, a thc cn tỡm cú dng:

)2()1(
2
1
)2)(1()1(
2
1
)1()1(3)1(3)(
2
++=+++++=
xxxxxxxxxxxxxP
(Tuyn chn bi thi HSG Toỏn THCS)
Bi 5: cho a thc
)0,,(,)(
2
++=
cbacbxaxxP
. Cho bit
0632
=++
cba
1) Tớnh a, b, c theo
)1(,
2

P
5. Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ
Ví dụ 1.
a) Chứng minh rằng phân số
3n 1
5n 2
+
+
là phân số tối giản nN ;
b) Cho phân số
2
n 4
A
n 5
+
=
+
(nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A cha tối giản.
Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Lời giải
a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) 5(3n + 1) d hay 1 d d = 1.
Vậy phân số
3n 1
5n 2
+
+
là phân số tối giản.
b) Ta có
29
A n 5

10
Ta có :
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +

1 1 1 1
0
a b c a b c
+ + - =
+ +

a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +

c(a b c) ab
(a b). 0
abc(a b c)
+ + +
+ =
+ + (a + b)(b + c)(c + a) = 0 đpcm.
Từ đó suy ra :








++








+
+++
babababababa
11
(
1113111
))()(
5224333
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a
2
+ b
2
= (a + b)

3 3 3
3 3 3 3 3
1 1 a b S 3SP
.
a b a b P
+ -
+ = =
Ta có : A =
3 2
3 3 4 2 5
1 S 3SP 3 S 2P 6 S
. . .
S P S P S P
- -
+ +
=
2 2 4 2 2 2 2 4
2 3 4 2 4 4 3 4 3
S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S
S P S P S P S P S P
- - - + - +
+ + = =
Hay A =
3 3 3
1 1
.
P a b
=
Ví dụ 4 . Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)

b+c=0
c+a=0
a=-b
b=- c
c=-a

a b b c c a
B
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - - - -
;

ab bc ca
C
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
Ta có :
b a c b a c
A 0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B

Đặt P(x) = S(x) 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm.
Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x).
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x.
Suy ra S(x) = 1 x đpcm.
Ví dụ 9. Cho
1
x 3
x
+ =
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2
2
1
A x
x
= +
; b)
3
3
1
B x
x
= +
; c)
4
4
1
C x
x

x
x
x
x
x
x
x
Ví dụ 5. Xác định các số a, b, c sao cho :
2 2
2 ax b c
(x 1)(x 1) x 1 x 1
+
= +
+ - + -
.
Lời giải
Ta có :
2 2
2 2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - + -
+ = =
+ - + - + -12
A=
x
2

x
x
x
x
x
C=
x
4
+
472492
2
2
1
)
1
(
2
4
===
+
x
x
x
Đồng nhất phân thức trên với phân thức
2
2
(x 1)(x 1)+ -
, ta đợc :

a c 0 a 1

nu b=0 thỡ phng trỡnh (1) vụ s nghim
TH2:a

0 thỡ phng trỡnh (1) cú nghim duy nht x=
b
a

*Vớ d: a)3x+1=7x-11
b1: 3x+1-7x+11=0 (bin i v chuyn v mt v)
b2: -4x+12=0 (rỳt gn v dng ax+b=0)
b3: x=
12
3
4

=

b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x)

1,2-x+0,8+1,8+2x=0

x+3,8=0

x= -3,8
*Cỏc bi tp tng t:
a)7x+21=0 b)12-6x=0
c)5x-2=0 d)-2x+14=0
e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0
g)
4 5 1

6 4
x x +
=
s)
7 20 1,5
5( 9)
8 6
x x
x
+
=
y)
5( 1) 2 7 1 2(2 1)
5
6 4 7
x x x + +
=
II/Phng trỡnh tớch:
*Cỏch gii: Pt:A.B=0

0
0
A
B
=


=

(A=0 (1) B=0 (2) )

10 5
4 2
=
hoc x=
24
5

b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1)

(x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0

(x-1)(2x+11)=0

1 0 1
11
2 11 0
2
x x
x x
= =




+ = =

*Cỏc bi tp tng t:
a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2)
2( 3) 4 3
0

2
+4x+4 m)(x-1)(x
2
+5x-2)-(x
2
-1)=0
n)x
3
+1=x(x+1) 0)x
2
+(x=2) (11x-7)=4
p)x
3
+x
2
+x+1=0 q)x
2
-3x+2=0
r)4x
2
-12x+5=0 s)-x
2
+5x-6=0
t)2x
2
+5x+3=0 y)
( )
2
2 3( 2) 0x
x

Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD)
a/ C/m rằng nếu hai tia phân giác của hai góc A và D cùng đi qua trung điểm F của cạnh bên BC thì cạnh bên AD
bằng tổng hai đáy.
b/ Chứng minh rằng nếu AD = AB + CD thì hai tia phân giác của hai góc A và D cắt nhau tại trung điểm của cạnh
bên BC.14
Bài 7: Cho hbh ABCD, hai đờng chéo cắt nhau tại O. Trên đờng chéo BD lấy các điểm M và N sao cho BM = MN =
ND. Các tia AM và AN cắt BC và CD ở P và Q. C/m O là trọng tâm của tam giác APQ.
Bài 8: Cho hcn ABCD. Kẻ AH vuông góc với BD. Trung điểm của DH là I, nối AI và kẻ đờng vuông góc với AI tại I
cắt cạnh BC tại K. C/m K là trung điểm của cạnh BC.
Bài 9: Cho hcn ABCD, hai đờng chéo cắt nhau tại O. Trên đờng chéo BD lấy điểm M sao cho BM =
4
1
BO. Đờng
thẳng vuông góc với AM tại M cắt cạnh CD tại N. Biết
AM =
2
1
AN. C/m N là trung đỉêm của cạnh CD.
Bài 10: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các điểm E, F là các trung điểm của hai đáy AB và CD (AB<CD), biết
rằng EF =
2
1
(CD - AB)
a/ C/m hai góc C và D phụ nhau.
b/ Kéo dài hai cạnh bên của hình thang cắt nhau tại M. C/m ba điểm M, E, F thẳng hàng.
Bài 11: Cho tứ giác ABCD có AD = BC và AB < CD. Trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA lần lợt là M, N, P,
Q. Nối AN, BP, CQ, DM chúng cắt nhau tại E, F, G, H.

Vẽ DE // AC, DF // AB. Chứng minh rằng: E, O, F thẳng hàng.
Nhận xét 2: Hơn nữa ta còn có tam giác EBD cân tại E, tam giác FDC câc tại F nên AE + AF = AE + DE = AE
+ BE = AB. Giúp ta có các bài toán sau:
Bài 1.2: Cho tam giác ABC cân tại A. D là điểm trên cạnh BC. Vẽ DE // AC, DF // AB. Chứng minh rằng chu vi tứ
giác AEDF bằng 2AB.
Bài 1.3: Cho tam giác ABC cân tại A. D là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ DE // AC, DF // AB. Chứng minh
rằng chu vi tứ giác AEDF không đổi.
Nhận xét 3: Và nếu gọi G là điểm trên tia đối của tia CA sao cho CG = BE. Ta có, tứ giác DECG là hình bình
hành nên DC đi qua trung điểm của EG. Giúp ta có bài toán sau:
Bài 1.4: Cho tam giác ABC cân tại A 15
A
B
C
E
F
Huyện quế võ bninh
Nm 2007 2008
(120 phỳt)
Bi 1 (4):
1/ Phõn tớch a thc thnh nhõn t: x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4.
2/ a,b,c l 3 cch ca tam giỏc. Chng minh rng:
4a
2

yx
yx
Bi 3 (5):
Gii phng trỡnh:
1,
2001
24
2

x
+
2003
22
2

x
=
2005
20
2

x
+
2007
18
2

x
2, (2x 1)
3

với /x/ = 1
2) Cho x, y thỏa mãn: x
2
+ 2y
2
+ 2xy 4y + 4 = 0
Tính giá trị biểu thức:
B =
2
7 52
( )
x xy
x y
x y
+


Bài 2:
1) Giải phơng trình:
(x 2).(x + 2).(x
2
10) = 72
2) Tìm x để biểu thức:
A = ( x 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
Bài 3:
1) Tìm số tự nhiên x sao cho: x
2
+ 21 là số chính phơng ?
2) Chứng minh rằng: Nếu m, n là hai số chính phơng lẻ liên tiếp thì:
(m 1).(n 1)