ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09 -20 10
Môn học : Đại số tuyến tính .
Th ời gian làm bài: 90 ph út. Đề thi go àm 7 câu.
Sinh viên k hông được sử dụn g tài liệu.
HÌNH THỨC T HI: TỰ L UẬN
CA 3
Câu 1 : T rong kh ông gian IR
4
vớ i tích v ô hướn g chính tắc, c ho kh ông g ian con
F = {( x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) |x
1
+x
2
−x
3
−2 x
4
= 0 & 2 x
1
+x
2
−3 x
3

3
−→ IR
3
, b iết ma trận của f tr ong cơ s ở
E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =



1 1 2
2 3 0
3 5 −4



.
Tìm cơ sở v à số chie àu của Imf .
Câu 4 : C ho A v à B là hai m a tr ận đồng dạn g. C hứn g tỏ rằng A chéo ho á được khi và chỉ khi B ch éo
hoá đươ ïc.
Câu 5 : T ìm m để ma tr ận A =



1 4 −1
4 m 2
−1 2 4



có ít nha át một trò r iêng âm .
Câu 6 : C ho án h x ạ tuyến tính f : IR

Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 điểm; câu 4: 1.0 điểm.
Câu 1(1. 5đ) . T ìm một cơ s ở tùy ý củ a F: E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) }
Dùn g quá trìn h Gram- Schm idt đưa về cơ s ở trực g iao: E
1
= {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) }
Ch uẩn ho ùa, có cơ sở tr ực chuẩn: E
2
= {
1
√
6
( 2 , −1 , 1 , 0 ) ,
1
√
67
( 4 , 1 , −7 , 1 ) }
Câu 2(1. 5đ) . C héo ho ùa ma trận (1 .0 đ) A = P · D · P
−1
, P =



2 1 1
3 1 3
3 1 4



. D =


Q)
−1
· D · ( P
−1
Q) ⇔ B = G
−1
· D · G →đpcm.
Câu 5 ( 1.5 đ). Ma trận đối xứ ng thực. Dạng toàn phươn g tươ ng ứng f( x, x) = x
2
1
+ mx
2
2
+ 4 x
2
3
+
8 x
1
x
2
− 2 x
1
x
3
+ 4 x
2
x
3
. Đưa về chính tắc bằn g biế n đổi Lag rang e

2
= −1 . Vì f là axtt của k hông g ian 2 chie àu n ên k hôn g
còn VT R kh ác. Kluận : Cơ s ở của E
λ
1
: ( 3 , 2 ) của E
λ
2
: ( 2 , −3 ) .
2