Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Bộ môn Toán Ứng Dụng. Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 10
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tính det( A)
100
, với I là ma trận đơn vò cấp 3 và A =



2 1 −1
3 0 4
−2 5 2



.
Câu 2 : Trong không gian IR
3
với tích vô hướng chính tắc cho hai không gian con
F = {( x
1
, x
2
, x
3
) |x
1
+ 2 x
2




x + y + z + t = 0
2 x + 3 y + 4 z − t = 0
3 x + 5 y + 7 z − 3 t = 0
4 x + 7 y + 1 0 z − 5 t = 0
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
2
−→ IR
2
, biết
f( 1 , 1 ) = ( 5 , 1 ) ;
f( 1 , −1 ) = ( 9 , −1 ) .
Tìm cơ sở của IR
2
sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D. Tìm D.
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
thoả
∀( x
1
, x
2
, x
3
) ∈ IR
3


.
Tìm ma trận B sao cho B
2010
= A.
Câu 8 : Chứng minh rằng A là ma trận vuông cấp n khả nghòch khi và chỉ khi λ = 0 không là trò riêng
của A. Giả sử λ
0
là trò riêng của ma trận A, chứng tỏ
1
λ
0
là trò riêng của A
−1
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Bộ môn Toán Ứng Dụng. Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 1
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tìm tất cả các nghiệm của phương trình z
4
+ i = 0 .
Câu 2 : Trong không gian IR
3
cho hai không gian con F = {( x
1
, x
2
, x


. Tìm f( 4 , 7 , 3 )
Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
2
, biết f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , 2 ) ; f( 1 , 0 , 1 ) = ( 0 , 1 ) ;
f( 0 , 1 , 1 ) = ( 1 , −1 ) . Tìm một cơ sở E và chiều của Ker f .
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
2
−→ IR
2
, biết f ( 1 , 1 ) = ( −5 , −1 1 ) ; f( 0 , 1 ) = ( 3 , 7 ) . Tìm tất cả các
trò riêng của f.
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
2
−→ IR
2
thoả ∀( x
1
, x
2
) ∈ IR
2
: f( x
1
, x
2
) = ( 2 x
1

1
+ 3 x
2
− x
3
+ 3 x
4
= 0 }. Tìm hình chiếu
vuông góc pr
H
x từ x xuống không gian con H.
Câu 8 : Tìm một ma trận đối xứng thực A cấp 3 (không là ma trận chéo), sao cho A có ba trò riêng là
2 , 4 , 5 .
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Bộ môn Toán Ứng Dụng. Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 2
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tìm argument của số phức z =
i
2007
( −
√
3 + i)
22
( 1 + i)
18
.
Câu 2 : Tìm ma trận X thoả X ·

Câu 5 : Trực chuẩn hoá cơ sở E = {( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 3 , 0 , 1 ) } của IR
3
.
Câu 6 : Cho hai không gian con F = {( x
1
, x
2
, x
3
) |x
1
− x
2
− 2 x
3
= 0 & 3 x
1
+ 3 x
2
+ 2 x
3
= 0 } và
G =< ( 1 , 2 , 2 ) ; ( 2 , 1 , 0 ) ; ( 0 , 4 , m) >. Tìm m để F trực giao với G.
Câu 7 : Tìm m để λ = 1 là giá trò riêng của ma trận A =



7 4 1 6
2 5 8
−2 m −5

3
+ z
2
− 1 6 z − 2 0 = 0 , biết z = 2 + i là một nghiệm.
Câu 2 : Tính đònh thức của ma trận A
100
, biết A =

3 1
2 4

.
Câu 3 : Tìm m để r( A) = 4 , biết A =





2 1 3 4
3 2 5 7
−3 0 2 1
5 −1 m −1





Câu 4 : Trong P
2
[x], cho không gian con F = {p( x) | p( 1 ) = 0 } và tích vô hướng ( p, q) =

2
−x
3
−3 x
4
= 0 }
và một véctơ x = ( 1 , 0 , 0 , 1 ) . Tìm hình chiếu vuông góc của x xuống F .
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, biết ma trận của f trong cơ sở
E = {( 1 , 0 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =



1 2 −1
2 1 0
3 0 −1



.
Tìm ma trận B của f trong cơ sở chính tắc.
Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, biết f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , −2 , 1 ) , f ( 0 , 1 , 1 ) = ( 3 , −2 , 1 ) ,
f( 0 , 0 , 1 ) = ( 3 , 0 , 1 ) . Tìm m để x = ( m, −1 , 0 ) là véctơ riêng của f.

3 − i)
17
.
Câu 2 : Trong IR
3
, với tích vô hướng ( x, y) = ( ( x
1
, x
2
, x
3
) , ( y
1
, y
2
, y
3
) ) = 5 x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ 2 x
3
y
3
, cho

2
[x], cho hai không gian con F =< x + 1 , x
2
− 1 > và G =< x
2
+ 1 , 2 x + 1 >.
Tìm chiều và một cơ sở F ∩ G.
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, biết f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , −2 , 1 ) , f ( 0 , 1 , 1 ) = ( 3 , −2 , 1 ) ,
f( 0 , 0 , 1 ) = ( 3 , 0 , 1 ) . Tìm ma trận B của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) }
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, biết ma trận của f trong cơ sở
E = ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 ) là A =



1 1 −1
2 3 0
3 5 1



. Tìm cơ sở và chiều của Kerf.
Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR

3 1 1
2 4 0
1 0 −1



.
Câu 3 : Trong không gian IR
3
cho hai không gian con F = {( x
1
, x
2
, x
3
) |x
1
+ x
2
− x
3
= 0 } và
G =< ( 1 , 0 , 1 ) , ( 3 , −2 , 1 ) >.
Tìm chiều và một cơ sở của ( F ∩ G)
⊥
.
Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3

: f( x
1
, x
2
, x
3
) = ( 3 x
1
+ x
2
+ x
3
, 2 x
1
+ x
2
+ 2 x
3
, x
1
− x
2
− 2 x
3
) .
Tìm ma trận A của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) }.
Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f( x
1
, x
2





2 1 3 5
3 2 5 7
−3 0 2 1
5 −1 m 2





Câu 2 : Trong không gian IR
4
với tích vô hướng chính tắc cho không gian con
F = {( x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) |x
1
+x
2
+x
3


1 2 −1
2 1 0
3 0 −1



.
Tìm cơ sở và số chiều của Imf.
Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, biết f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , −2 , 5 ) , f ( 1 , 1 , 0 ) = ( 1 , −2 , 7 ) ,
f( 1 , 0 , 1 ) = ( 1 , 0 , 1 ) . Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc.
Câu 5 : Đưa dạng toàn phương f ( x, x) = f( x
1
, x
2
, x
3
) = 3 x
2
1
+ 3 x
2
3
− 8 x
1
x

1
, x
2
) = ( 3 x
1
+ x
2
, 3 x
1
+ 5 x
2
) . Tìm một
cơ sở của IR
2
sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D. Tìm D.
Câu 8 : Chứng tỏ rằng nếu λ là trò riêng của ma trận A cấp n, thì λ
k
là trò riêng của A
k
, với ∀k ∈ N.
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Bộ môn Toán Ứng Dụng. Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 7
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tính z =
5

1 − i

3
= 0 } và G =< ( 1 , 1 , −2 ) >. Tìm cơ sở và chiều của F + G.
Câu 4 : Trong P
2
[x] với tích vô hướng ( p, q) =

1
0
p( x) q( x) dx, cho không gian con
F = {p( x) |p( 0 ) = 0 & p( 1 ) = 0 }. Tìm cơ sở và chiều của F
⊥
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
2
, biết
f( x) = f( x
1
, x
2
, x
3
) = ( 2 x
1
− x
2
+ x
3
, x
1

Câu 8 : Tìm ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
biết f có ba trò riêng −2 , 3 , 5 và ba véc tơ riêng
( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , −1 ) , ( 0 , 0 , 1 ) .
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Bộ môn Toán Ứng Dụng. Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 8
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tính: I =
( −1 + i)
25
( 2 − i
√
1 2 )
15
Câu 2 : Trong không gian IR
3
cho hai không gian con F = {( x
1
, x
2
, x
3
) |x
1
+ x

Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
2
, biết
f( 1 , 1 , 1 ) = ( 2 , 1 ) ;
f( 1 , 1 , 2 ) = ( 1 , −1 ) ;
f( 1 , 2 , 1 ) = ( 0 , 1 ) .
Tìm một cơ sở và chiều của Ker f.
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
2
−→ IR
2
, biết
f( 1 , 1 ) = ( 5 , −1 ) ;
f( 1 , −1 ) = ( 5 , −3 ) .
Tìm tất cả các trò riêng của f.
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
thoả ∀( x
1
, x
2
, x
3
) ∈ IR
3
: f ( x



3 3 2
1 1 −2
−3 −1 0



và véctơ x =



3
3
m + 5



.
Với giá trò nào của m thì x là véctơ riêng của A.
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Bộ môn Toán Ứng Dụng. Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 9
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tìm m để ma trận sau đây khả nghòch. A =




2
−x
3
= 0 } và G = {( x
1
, x
2
, x
3
) |x
1
+2 x
2
−2 x
3
= 0 }.
Tìm chiều và một cơ sở của ( F + G)
⊥
.
Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } là A =



2 1 −1
3 2 0

, −4 x
1
+ 5 x
2
+ 2 x
3
; −2 x
1
+ 2 x
2
+ 2 x
3
)
Tìm tất cả các véctơ riêng của f ứng với trò riêng λ
1
= 1 .
Câu 6 : Giải hệ phương trình









x
1
+ x
2

4
= −2
.
Câu 7 : Tìm ánh xạ tuyến tính f : IR
2
−→ IR
2
, biết x
1
= ( 1 , 1 ) ; x
2
= ( 1 , 2 ) là các véctơ riêng tương ứng
với các trò riêng λ
1
= 2 ; λ
2
= 3 .
Câu 8 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
2
−→ IR
2
, biết f( x) = ( 7 x
1
+ 4 x
2
, −3 x
1
− x
2
) . Tìm cơ sở của IR