Động học chất lưu
1
ĐỘNG HỌC CHẤT LƯU
Biên soạn: Lê Quang Nguyên

1. HẠT CHẤT LƯU
Trong cơ học chất lưu khái niệm chất điểm vẫn được dùng,
dưới tên gọi khác đi là hạt chất lưu. Cũng như chất điểm hay
điện tích điểm, hạt chất lưu phải có kích thước rất nhỏ so với
các khoảng cách đặc trưng của bài toán đang xét, nhưng không
nhỏ đến mức độ nguyên tử, phân tử. Mỗi hạt chất lưu phải
chứa một số lớn các nguyên tử, phân tử vật chất, để cho chất
lưu vẫn có thể coi như một môi trường liên tục.

Chẳng hạn, khi xét dòng nước chảy trong một ống nước thì
kích thước của hạt chất lưu phải nhỏ hơn nhiều so với đường
kính của ống nước, nhưng lại lớn hơn nhiều so với khoảng
cách trung bình giữa các phân tử nước. Nếu đường kính ống
nước là cỡ 10
-1
m, và biết rằng khoảng cách trung bình giữa
các phân tử nước là 10
-10
m, người ta có thể chọn hạt chất lưu
có kích thước khoảng 10
-6
m. Một hạt nước như thế vẫn còn
chứa đến 10
10
phân tử nước!


trở ngại trong các tính toán thực tế. Trong các ứng dụng người
ta hầu như chỉ dùng cách mô tả dòng chảy bằng trường vận tốc
do Euler đề ra.

3. PHƯƠNG PHÁP EULER
Chúng ta hẳn đã rất quen thuộc với cách mô tả tính chất điện
và từ của một môi trường bằng các khái niệm điện trường và từ
trường. Theo đó các vectơ điện trường và từ trường được xác
định tại mọi điểm của không gian cần khảo sát. Đối với điện
trường và từ trường tĩnh thì
E

và
B

chỉ là các hàm của vị trí,
còn khi điện từ trường biến thiên thì chúng là hàm của cả vị trí
lẫn thời gian.

3.1 TRƯỜNG VẬN TỐC
Theo phương pháp Euler người ta cũng làm tương tự như vậy
đối với dòng chảy. Vận tốc tức thời của dòng chảy tại các điểm

Hình 2.1
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Động học chất lưu
2
khác nhau trong dòng chảy, tức là biểu thức
( , )


3.3 GIA TỐC CỦA HẠT CHẤT LƯU
Theo cách mô tả Euler, mặc dù không dùng biểu thức tường
minh của vận tốc hạt, người ta vẫn có thể xác định được gia tốc
hạt chất lưu.

Thật vậy, xét một hạt chất lưu ở vị trí
r

vào thời điểm t, tới lúc
t+dt thì hạt di chuyển tới vị trí
r dr

 
. Vậy vận tốc của hạt lúc
t và t+dt là
( , )
v r t
 
và
( , )
v r dr t dt
 
  
. Độ biến thiên vận tốc
của hạt sẽ là:

( , ) ( , ) ( . )
v
dv v r dr t dt v r t dt dr v


( . )
D
v
Dt t

  



(3.3.3)

Như vậy theo cách mô tả của Euler thì gia tốc của hạt chất lưu
ở một vị trí nào đó là đạo hàm theo hạt của trường vận tốc tại
vị trí đó: Hình 3.1.1. Trường vận tốc tại tâm lốc xoáy.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Động học chất lưu
3
Dv
a
Dt



(3.3.4)


nằm trong hình hộp có đáy là hình phẳng và chiều cao bằng
vận tốc dòng chảy. Khối lượng đó bằng khối lượng riêng nhân
với thể tích của hình hộp:

1
v v
 
  
(4.1.2)

Vậy
j

có độ lớn bằng khối lượng nước đi qua một đơn vị diện
tích vuông góc với dòng chảy trong một đơn vị thời gian, và
lưu lượng nước đi qua một diện tích phẳng S vuông góc với
dòng chảy là
jS


. Nếu S không vuông góc với dòng chảy
(hình 4.1.2) thì ta lập luận như sau:

Lưu lượng qua S = lưu lượng qua S
’
= jS
’
= jScos






SS
dSnjd


(4.1.5)

dS
S

j

Hình 4.1.3

Hình 4.1.1
v

S
’
S

n

j



Hình 4.1.2


Có dấu trừ trong hệ thức trên vì dm < 0, còn lưu lượng ra khỏi
mặt S lại là một số dương. Hệ thức trên cũng đúng trong
trường hợp khối lượng trong S tăng lên, tức là dm > 0, khi đó
lưu lượng qua S sẽ âm, tương ứng với dòng chảy đi vào trong
mặt S.

Gọi V là thể tích giới hạn bởi mặt S, ta có:

V V
dm d
dV dV
dt dt t



 

 
(4.2.2)

Mặt khác, theo định lý Ostrogradsky-Gauss, lưu lượng qua mặt
kín S có thể biến đổi thành tích phân theo thể tích V của
jdiv

:

 

S V

t


   



(4.2.5)

Tương tự như phương trình (4.2.1), phương trình (4.2.5) cũng
mô tả sự bảo toàn của khối lượng. Chỉ có điểm khác biệt là nó
diễn tả sự bảo toàn khối lượng trong một thể ích nhỏ dV bao
quanh một vị trí xác định, bởi vì
j



chính là lưu lượng qua
bề mặt bao quanh dV chia cho dV (lưu lượng hạt trên một đơn
vị thể tích). Phương trình bảo toàn khối lượng định xứ (4.2.5)
còn được gọi là phương trình liên tục.

Nếu dùng hệ thức:

. ( ) ( . ) .
j v v v
  
      
   


  
), phương trình
liên tục trở thành:

. 0
j
 


(4.2.8)

Nghĩa là: lưu lượng khối lượng của một dòng chảy dừng qua
một mặt kín luôn luôn bằng không  khối lượng vào bằng khối
lượng ra trong cùng một khoảng thời gian.

Khi dòng chảy là không nén được (thể tích của hạt chất lưu khi
nó chuyển động là không đổi,
0
D Dt


), phương trình liên
tục dưới dạng (4.2.7) biến đổi thành:

. 0
v
 


(4.2.9)





. . .
a b b a a b b a a b
           
    
    
    
(5.2)

Với
a CM



và
b v



ta có:









Và vectơ biến dạng
D

:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Động học chất lưu
6



.
D CM v
 

 

(5.6)

Biểu thức (5.4) cho thấy chuyển động của hạt chất lưu bao
gồm:

 Chuyển động tịnh tiến của khối tâm;
 Chuyển động quay quanh khối tâm;
 Chuyển động biến dạng đặc trưng bởi vectơ
D

.


Ngoài ra nếu dòng chảy là không nén được thì
div 0
v


, do
đó:

( ) 0
div grad
   
(6.2)

Vậy thế của một dòng chảy không xoáy, không nén được là
một hàm điều hoà (tức là thoả phương trình Laplace (6.2)).

HÀM DÒNG
Xét một dòng chảy không xoáy phẳng (trường vận tốc chỉ phụ
thuộc vào hai biến không gian, chẳng hạn x và y).

Phương trình của một đường dòng được cho bởi:

x y
dx dy
v v

(6.3)

Do tính chất thế của dòng chảy nên các thành phần của vận tốc
có thể biểu diễn qua hàm thế , ta suy ra:

 
(6.6)

Điều đó có nghĩa là trên mỗi đường dòng thì hàm dòng có một
giá trị không đổi, giá trị đó được gọi là chỉ số của đường dòng
tương ứng.

7. DÒNG CHẢY XOÁY
Dòng chảy được gọi là xoáy khi trường vận tốc có
0
rotv


.
Khi đó, như đã giới thiệu trong phần 5, người ta định nghĩa
vectơ xoáy :

1
2
rotv
 


(7.1)

Để mô tả một dòng chảy xoáy chúng ta có thể dùng các đường
xoáy, là các đường tiếp tuyến tại mọi điểm với vectơ xoáy.
Hình 7.1 cho thấy các đường xoáy của một vòng khói tròn mà
ta thường thấy xuất hiện trên miệng núi lửa.


http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.