MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 3
TỔNG QUAN VỀ ROBOT VÀ ĐIỀU KHIỂN ROBOT 6
1.1. Robot và robot công nghiệp 6
1.1.1. Vài nét lịch sử phát triển của robot và robot công nghiệp 6
1.1.2. Robot và công nghệ cao 7
1.1.3. Định nghĩa về robot công nghiệp 8
1.2. Các phương pháp điều khiển robot 10
1.2.2. Phương pháp điều khiển phản hồi phân ly phi tuyến 12
1.2.3. Phương pháp điều khiển thích nghi theo sai lệch 13
1.2.4. Phương pháp điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu 14
1.2.5. Phương pháp điều khiển động lực học ngược thích nghi 15
1.2.6. Phương pháp điều khiển trượt 16
MÔ TẢ ĐỐI TƯỢNG - ROBOT SCARA SERPENT 17
2.1. Một số loại robot Scara của các hãng sản xuất 17
2.2. Các thông số và vùng làm việc của robot Scara Serpent 19
2.2.1. Cấu tạo tay máy robot Scara Serpent 19
2.2.1.1. Cấu hình của robot Scara Serpent 19
2.2.1.2. Các thông số kỹ thuật của robot Scara Serpent 20
2.2.2. Giới hạn không gian làm việc của robot Scara Serpent 21
2.3. Động học robot Scara Serpent 23
2.3.1. Động học thuận 23
2.3.2. Động học ngược 26
Động học ngược: xác định các biến khớp khi biết vị trí tay 26
2.4. Động lực học robot Scara Serpent 28
2.4.1. Hàm Euler - Lagrange và các vấn đề động lực học 29
2.4.2. Động lực học robot Scara Serpent 30
2.4.2.1. Tính toán động năng và thế năng cho từng khớp 30
2.4.2.2. Phương trình động lực học 33
2.5. Mô tả đối tượng bằng hệ phương trình trạng thái 37
3.2. Xây dựng quỹ đạo chuyển động chuẩn 40

động như tay người và điều khiển được bằng máy tính hoặc có thể điều khiển
bằng chương trình được nạp sẵn trong chip trên bo mạch điều khiển robot.
Để hệ điều khiển robot có độ tin cậy, độ chính xác cao, giá thành hạ và tiết
kiệm năng lượng thì nhiệm vụ cơ bản là hệ điều khiển robot phải đảm bảo giá trị yêu
cầu của các đại lượng điều chỉnh và điều khiển. Ngoài ra, hệ điều khiển robot phải
đảm bảo ổn định động và tĩnh, chống được nhiễu trong và ngoài, đồng thời không gây
tác hại cho môi trường như: tiếng ồn quá mức quy định, sóng hài của điện áp và dòng
điện quá lớn cho lưới điện v.v
Khi thiết kế hệ điều khiển robot mà trong đó sử dụng các hệ điều chỉnh tự động
truyền động, cần phải đảm bảo hệ thực hiện được tất cả các yêu cầu về công nghệ, các
chỉ tiêu chất lượng và các yêu cầu kinh tế. Chất lượng của hệ thống được thể hiện
trong trạng thái tĩnh và trạng thái động. Trạng thái tĩnh yêu cầu quan trọng là độ chính
xác điều chỉnh. Trạng thái động thì có yêu cầu về độ ổn định và các chỉ tiêu về chất
lượng động là độ quá điều chỉnh, tốc độ điều chỉnh, thời gian điều chỉnh và số lần dao
động. Đối với hệ điều khiển robot, việc lựa chọn sử dụng các bộ biến đổi, các loại
động cơ điện, các thiết bị đo lường, cảm biến, các bộ điều khiển và đặc biệt là phương
3
pháp điều khiển có ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng điều khiển bám chính xác quỹ
đạo của hệ.
Các công trình nghiên cứu về hệ thống điều khiển robot tập trung chủ yếu theo
hai hướng là sử dụng các mô hình có đặc tính phi tuyến có thể ước lượng được để đơn
giản việc phân tích và thiết kế hoặc đề ra các thuật toán điều khiển mới nhằm nâng cao
chất lượng đáp ứng của robot.
Đặc điểm cơ bản của hệ thống điều khiển robot là thực hiện được điều khiển
bám theo một quỹ đạo phức tạp đặt trước trong không gian, tuy nhiên khi dịch chuyển
thì trọng tâm của các chuyển động thành phần và mômen quán tính của hệ sẽ thay đổi,
điều đó dẫn đến thông số động học của hệ cũng thay đổi theo quỹ đạo chuyển động và
đồng thời xuất hiện những lực tác động qua lại, xuyên chéo giữa các chuyển động
thành phần trong hệ với nhau. Các yếu tố trên tác động sẽ làm cho hệ điều khiển robot
mang tính phi tuyến mạnh, gây cản trở rất lớn cho việc mô tả và nhận dạng chính xác

robot trong họ Scara và đi sâu vào phân tích mô hình Robot Scara Serpent để phục vụ
việc nghiên cứu và kiểm chứng cơ sở lý thuyết và các phương pháp điều khiển được
lựa chọn.
Chương III – Xây dựng mô hình hệ thống điều khiển: Thiết kế bộ điều khiển
để nâng cao chất lượng hệ thống điều khiển quỹ đạo cho robot. Xây dựng mô hình hệ
thống điều khiển cho robot Scara Serpent, xây dựng mô hình mô phỏng sử dụng phần
mềm Matlab-Sumulink.
Chương IV – Mô phỏng với mô hình robot Scara Serpent: Định hình và
kiểm chứng về mặt lý thuyết cơ sở thực tiễn của đề tài cũng như tính khả thi của
phương pháp điều khiển được lựa chọn khi áp dụng cho hoạt động bền vững của điều
khiển quỹ đạo robot Scara Serpent 3 bậc tự do.
5
CHƯƠNG I
TỔNG QUAN VỀ ROBOT VÀ ĐIỀU KHIỂN ROBOT
1.1. Robot và robot công nghiệp
1.1.1. Vài nét lịch sử phát triển của robot và robot công nghiệp
Nhìn ngược dòng thời gian chúng ta có thể nhận thấy rằng từ “Robot” đã xuất
hiện từ khá lâu. Năm 1921 nhà viết kịch Karelcapek người Séc đã viết một vở kịch với
tựa đề R.U.R (Rossums Universal Robot) mô tả về một cuộc nổi loạn của những cỗ
máy phục dịch. Từ “Robot” ở đây có nghĩa là những máy móc biết làm việc như con
người. Có lẽ đó cũng là một gợi ý cho những nhà sáng chế kỹ thuật thực hiện các mơ
ước về những cỗ máy bắt chước được các thao tác lao động cơ bắp của con người.
Thời gian sau đó các cơ cấu điều khiển từ xa (Teleoperator) ra đời và ngày một
phát triển hoàn thiện. Teleoperator là những cơ cấu phỏng sinh học, nó bao gồm các
khâu, các khớp cùng với các dây chằng gắn liền với hệ điều hành là cánh tay của
người điều khiển thông qua các cơ cấu khuếch đại cơ khí. Teleoperator có thể cầm
nắm, nâng hạ, dịch chuyển, xoay lật các đối tượng trong một không gian hoạt động
nhất định. Tuy rằng các thao tác khá tinh vi, khéo léo nhưng tốc độ hoạt động chậm,
lực tác dụng hạn chế và hệ điều khiển chỉ thuần tuý là cơ khí.
Từ thập kỷ 50, sự phát triển đầy hứa hẹn của kỹ thuật điều khiển theo chương

hợp những việc phụ và chính của một quá trình sản xuất thành một dây chuyền tự
động. So với các phương tiện tự động hoá khác, các dây chuyền tự động dùng robot có
nhiều ưu điểm hơn như dễ dàng thay đổi chương trình làm việc, có khả năng tạo ra dây
chuyền tự động từ các máy vạn năng, và có thể tự động hoá toàn phần.
Khi sử dụng robot vào các dây chuyền tự động, khâu chuẩn bị kỹ thuật được rút
ngắn đi. Trong khi đó với thời gian từ lúc quyết định phương án đến lúc thiết kế xong
một dây chuyền các máy tự động, một mặt hàng hoặc quy trình công nghệ đó đã có thể
trở thành lạc hậu rồi. Theo số liệu của các chuyên gia Mỹ nghiên cứu về vấn đề này
khi khảo sát trên 70 đề án thiết kế thì với quá nửa số đó là phương án dùng các máy tự
động chuyên dụng phải tốn hơn một năm. Vì thế, phương án dùng robot Unimate với
các máy tự động vạn năng được đưa vào sử dụng và phát huy hiệu quả to lớn.
7
Kỹ thuật robot có ưu điểm quan trọng nhất là tạo nên khả năng linh hoạt hoá
sản xuất. Việc sử dụng máy tính điện tử, robot và máy điều khiển theo chương trình đã
cho phép tìm được những phương thức mới mẻ để tạo nên các dây chuyền tự động cho
sản xuất hàng loạt với nhiều mẫu, loại sản phẩm. Dây chuyền tự động “cứng” gồm
nhiều thiết bị tự động chuyên dùng đòi hỏi vốn đầu tư lớn, tốn nhiều thời gian để thiết
kế và chế tạo, trong lúc quy trình công nghệ luôn luôn cải tiến, nhu cầu đối với chất
lượng và quy cách của sản phẩm luôn luôn thay đổi. Bởi vậy, nhu cầu “mềm” hoá hay
linh hoạt hóa dây chuyền sản xuất ngày càng tăng. Kỹ thuật robot công nghiệp và máy
tính đã đóng vai trò quan trọng trong công việc tạo ra các dây chuyền tự động linh
hoạt.
Xuất phát từ nhu cầu và khả năng linh hoạt hoá sản xuất, trong những năm gần
đây không những chỉ các nhà khoa học mà các nhà sản xuất đã tập trung sự chú ý vào
việc hình thành và áp dụng các hệ sản xuất tự động linh hoạt, gọi tắt là hệ sản xuất linh
hoạt. Hệ sản xuất linh hoạt FMS (Flexible Manufacturing System) ngày nay thường
bao gồm các thiết bị gia công được điều khiển bằng chương trình số, các phương tiện
vận chuyển và kho chứa trong phân xưởng đã được tự động hoá và nhóm robot công
nghiệp ở các vị trí trực tiếp với các thiết bị gia công hoặc thực hiện các nguyên công
phụ. Việc điều khiển và kiểm tra hoạt động của toàn bộ hệ sản xuất linh hoạt được

động có thể chương trình hoá và nối ghép các chuyển động của chúng trong các
khoảng cách tuyến tính hay phi tuyến của động trình. Chúng được điều khiển bởi các
bộ hợp nhất ghép nối với nhau, có khả năng học và nhớ các chương trình, chúng được
trang bị dụng cụ hoặc các phương tiện công nghệ khác nhau để thực hiện các nhiệm vụ
sản xuất trực tiếp và gián tiếp.
- Định nghĩa theo IOTC - 1980:
Robot công nghiệp là một máy tự động liên kết giữa một tay máy và một cụm
điều khiển chương trình hoá, thực hiện một chu trình công nghệ một cách chủ động
với sự điều khiển có thể thay thế những chức năng tương tự của con người.
Bản chất của các định nghĩa trên cho ta thấy một ý nghĩa quan trọng: robot công
nghiệp phải được liên hệ chặt chẽ với máy móc, công cụ và các thiết bị công nghệ tự
động khác trong một hệ thống tự động tổng hợp. Trong quá trình phân tích và thiết kế
không thể quan niệm robot như một đơn vị cấu trúc biệt lập, trái lại đó phải là những
9
thiết kế tổng thể của “hệ thống tự động linh hoạt robot hoá” cho phép thích ứng
nhanh và đơn giản khi nhiệm vụ sản xuất thay đổi. Theo đó, các mẫu hình robot phải
đảm bảo có:
- Thủ pháp cầm nắm, chuyển đổi tối ưu.
- Trình độ hành nghề khôn khéo, linh hoạt.
- Kết cấu phải tuân theo nguyên tắc môdun hoá.
1.2. Các phương pháp điều khiển robot
Cho đến nay trong thực tế, nhiều phương pháp và hệ thống điều khiển robot đã
được thiết kế và sử dụng, trong đó các phương pháp điều khiển chủ yếu là:
- Điều khiển động lực học ngược.
- Điều khiển phản hồi phân ly phi tuyến.
- Các phương pháp điều khiển thích nghi.
∗ Điều khiển thích nghi theo sai lệch.
∗ Điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu (MRAC).
∗ Điều khiển động lực học ngược thích nghi.
∗ Điều khiển trượt.

&&
Với robot n khớp nối tương đương với n hệ con độc lập.
Chọn U là tín hiệu điều khiển phụ có cấu trúc PID. Lúc đó:

t
d
D d P d I d
0
U q K (q q) K (q q) K (q q)dt
= + − + − + −
∫
& &
(1.3)
trong đó:
d
q
,
q
là biến khớp đặt và biến khớp thực của khớp.

d
q
&
,
q
&
là tốc độ đặt và tốc độ thực của khớp.
Hình 1.1: Sơ đồ cấu trúc hệ điều khiển động lực học ngược.
Và phương trình sai số tương ứng sẽ là:
.

e

-
-
Nhược điểm của nó là phải biết được đầy đủ chính xác các thông số cũng như
đặc tính động lực học robot, đồng thời cũng phát sinh tính toán phụ. Thuật toán tính
toán điều khiển U sẽ liên quan các phép tính lượng giác nên phải thực hiện một số
phép nhân ma trận vectơ và ma trận phụ. Thời gian tính toán lớn là một yếu tố ảnh
hưởng đến sự hạn chế của phương pháp này.
1.2.2. Phương pháp điều khiển phản hồi phân ly phi tuyến
Phương pháp này được xây dựng trên cơ sở lý thuyết của điều khiển phân ly
cho hệ thống phi tuyến bằng phản hồi tuyến tính hoá tín hiệu ra.
Từ phương trình động lực học:
(t) H(q).q(t) h(q,q) g(q)
τ = + +
&& &
(1.5)

Y Y(q)
=
Ma trận H không đơn nhất nên ta có thể viết lại như sau:
1 1
q(t) [H(q)] (t) [H(q)] .([h(q,q)] [g(q)])
− −
= τ − +
&& &
(1.6)
Phương trình này gồm các phương trình vi phân cấp hai cho mỗi biến, vì lẽ đó
qua hai lần vi phân phương trình đầu ra thì hệ số của tín hiệu U sẽ khác 0. Lúc này tín
hiệu U sẽ xuất hiện trong phương trình đầu ra:

 
=
 
 
 
&
Tín hiệu
(t)
τ
của bộ điều khiển được chọn sao cho đảm bảo hệ thống phân ly
là:
12

( )
( )
( )
* * *
-1 *
*
(t) H (X).[g (X) (X) E(t)]
-H(q) -H (q). h(q,q) g(q) (X) E(t)
h(q,q) g(q) -H (X) E(t)
−
τ =− +α −Λ
= + +α −Λ
= + α −Λ
&
&
(1.8)
Trong đó:

i i1 i 0i i i i
q (t) q (t) q (t) e (t)
+α +α =λ
&& &
(1.10)
Phương trình (1.10) biểu thị vào ra phân ly của hệ thống. Các hệ số
1i 0i i
, ,
α α λ
được chọn theo tiêu chuẩn ổn định.
1.2.3. Phương pháp điều khiển thích nghi theo sai lệch
Dựa trên cơ sở lý thuyết sai lệch, Lee và Chung đã đề xuất thuật toán điều
khiển đảm bảo robot luôn bám quỹ đạo chuyển động đặt trước với phạm vi chuyển
động rộng và tải thay đổi rộng. Phương pháp điều khiển thích nghi theo sai lệch
được xây dựng trên cơ sở phương trình sai lệch tuyến tính hoá lân cận quỹ đạo
chuyển động chuẩn. Hệ thống điều khiển gồm hai khối: Khối tiền định (truyền
thẳng - feedforward) và khối phản hồi (feedback) như Hình 1.2.
13
Hình 1.2: Hệ thống điều khiển thích nghi theo sai lệch.
Đối tượng
điều khiển
Quỹ đạo chuyển
động chuẩn
Phương trình
Neuton-Euler
x
m
(t)
+-
Bộ điều khiển

là nhỏ nhất. Sơ đồ khối chung của hệ thống điều khiển thích nghi theo mô hình chuẩn
được trình bày trên Hình 1.3.
14
Cơ cấu điều
chỉnh
Đối tượng
điều khiển
Mô hình
chuẩn
Tín hiệu
đặt
Bộ điều
chỉnh
e
+
-
Đầu ra y
y
m
Hình 1.3: Hệ thống điều khiển thích nghi theo mô hình chuẩn.
Phương pháp điều khiển thích nghi theo mô hình chuẩn có một số ưu điểm quan
trọng là nó không bao gồm mô hình toán học phức tạp và không phụ thuộc vào tham
số môi trường Tuy nhiên, phương pháp này chỉ thực hiện được cho mô hình đơn
giản tuyến tính với giả thiết bỏ qua sự liên hệ động lực học giữa các khớp của robot.
Hơn nữa sự ổn định của hệ thống kín cũng là một vấn đề khó giải quyết với tính phi
tuyến cao của mô hình động lực học robot.
1.2.5. Phương pháp điều khiển động lực học ngược thích nghi
Là phương pháp tổng hợp các kỹ thuật nhằm tự động chỉnh định các bộ
điều chỉnh trong mạch điều khiển nhằm thực hiện hay duy trì ở một mức độ nhất
định chất lượng của hệ khi thông số của quá trình được điều khiển không biết

thích nghi cho robot.
1.2.6. Phương pháp điều khiển trượt
Điều khiển chuyển động bất biến với nhiễu loạn và sự thay đổi thông số có thể
sử dụng điều khiển ở chế độ trượt. Điều khiển kiểu trượt thuộc về lớp các hệ thống có
cấu trúc thay đổi (Variable Structure System - VSS) với mạch vòng hồi tiếp không liên
tục. Phương pháp điều khiển kiểu trượt có đặc điểm là tính bền vững rất cao do vậy
việc thiết kế bộ điều khiển có thể được thực hiện mà không cần biết chính xác tất cả
các thông số. Chỉ một số các thông số cơ bản hoặc miền giới hạn của chúng là đủ cho
việc thiết kế một bộ điều khiển trượt (Variable Structure Controller - VSC).
16
CHƯƠNG II
MÔ TẢ ĐỐI TƯỢNG - ROBOT SCARA SERPENT
2.1. Một số loại robot Scara của các hãng sản xuất
Robot Scara là một trong những robot phổ biến nhất trong công nghiệp. Chuyển
động của robot này rất đơn giản nhưng lại phù hợp với các dây chuyền và ứng dụng
hữu hiệu trong nhiệm vụ nhặt và đặt sản phẩm. Robot Scara (Selectively Compliant
Articulated Robot Arm) có nghĩa là tay máy lắp ráp chọn lọc.
Cấu trúc động học loại tay máy này thuộc hệ phỏng sinh, có các trục quay, các
khớp đều là thẳng đứng. Nó có cấu tạo hai khớp ở cánh tay, một khớp ở cổ tay và một
khớp tịnh tiến. Các khớp quay hoạt động nhờ động cơ điện có phản hồi vị trí. Khớp
tịnh tiến hoạt động nhờ xi-lanh khí nén, trục vít hoặc thanh răng.
Một số loại robot Scara của các hãng sản xuất:
Hình 2.1a: Turbo Scara SR60 của hãng
Bosch.
Hình 2.1b: Assembly Scara Robot của
Hirata.
Hình 2.1c: Scara Robot của EPSON. Hình 2.1d: Scara Robot của DENSO.
17
Hình 2.1e: Scara Robot of ADEPT. Hình 2.1f: Scara Robot of RANOME.
Hình 2.1g: Scara Robot of KUKA. Hình 2.1h: Scara Robot of STAUBLI.

1
.
- Khớp 2 quay quanh trục z
1
góc θ
2
.
- Khớp 3 chuyển động tịnh tiến theo trục z
2
đoạn d
3
.
- Khớp 4 quay quanh trục z
3
góc θ
4
.
2.2.1.2. Các thông số kỹ thuật của robot Scara Serpent
Thông số của động cơ 1, 2, 3 tương ứng với các khớp 1, 2, 4 của tay máy robot
Scara Serpent (xem bảng 2.1).
- Động cơ 1 truyền động cho khớp 1 (main).
- Động cơ 2 truyền động cho khớp 2 (fore).
- Động cơ 3 truyền động cho khớp 4 - khớp cổ tay (wrist).
Bảng 2.1: Thông số các động cơ của robot.
TT Loại U(V) I(A) M(Nm) N(v/p) P(W) J(Kg.m
2
)
R(Ω) L(µH
)
m(Kg)

5 a
1
= 0.25 m Chiều dài thanh nối giữa 2 khớp main và fore .
6 a
2
= 0.15 m Chiều dài thanh nối giữa 2 khớp fore và cổ tay .
7 d
3
Chiều dài thanh nối d
3
phụ thuộc vào chế độ làm việc của tay máy.
2.2.2. Giới hạn không gian làm việc của robot Scara Serpent
Các biến khớp có các giới hạn góc quay như sau :
θ
1
= -96
0
÷ 96
0
( so với trục Ox ).
θ
2
= -115
0
÷ 115
0
(so với trục thanh 1).
Chuyển động quay của khớp thứ nhất có hình chiếu bằng trong hệ trục toạ độ
OX
0

trong Matlab để tìm vị trí, quỹ đạo nào mà tay máy có thể vươn tới (được xét đến ở
chương III trong bản luận văn này).
2.3. Động học robot Scara Serpent
Robot Scara Serpent có cấu trúc động học được biểu diễn như trên Hình 2.4.
Robot có 3 trục quay và 1 bàn kẹp, tuy nhiên ba khớp động đầu tiên được gọi là bộ
phận cơ bản vì trước hết, nhờ chúng tay máy có thể thực hiện bước chủ yếu trong thao
tác định vị, tức là đưa bàn kẹp đến lân cận điểm làm việc, sau đó nhờ khớp động còn
lại bàn kẹp được định hướng và vi chỉnh đến vị trí gia công chính xác.
2.3.1. Động học thuận
Việc xây dựng các phương trình động học thuận của robot được tiến hành tuần
tự theo các bước sau:
Bước 1: Xác định các hệ toạ độ
Ta sử dụng quy ước Denavit-Hartenberg để mô tả đầy đủ vị trí của của toàn
thân robot công nghiệp. Hình 2.4 mô tả các hệ trục toạ độ gắn với các khúc tay của
robot Scara Serpent.
Bước 2: Xây dựng bảng thông số DH
Bảng 2.3: Tham số Denavit – Hartenberg của robot Scara Serpent.
Thanh nối
α
i
(
0
)
a
i
θ
i
(rad)
d
i

4
0
θ
4
Quay

Khảo sát với 3 trục khớp quay đầu tiên tương ứng với quỹ đạo của khớp quay 4
trong mặt phẳng OX
0
Y
0
. Ma trận T
4
là ma trận biểu diễn tay máy robot trong hệ trục
tọa độ gốc: T
4
= A
1
.A
2
.A
3
.A
4
23
A
n
=
n n n n n n n
n n n n n n n

=
 
 
 
2 2 2 2
2 2 2 2
2
cos sin 0 a .cos
sin cos 0 a sin
A
0 0 1 0
0 0 0 1
θ θ θ
 
 
θ − θ θ
 
=
 
−
 
 
3
3
1 0 0 0
0 1 0 0
A
0 0 1 d
0 0 0 1
 

1

S
2
⇔ Sinθ
2
; C
2
⇔ Cosθ
2
S
4
⇔ Sinθ
4
; C
4
⇔ Cosθ
4
S
12
⇔ Sin(θ
1
+θ
2
); C
12
⇔ Cos(θ
1
+θ
2

=

4 4 4 4
4 4 4 4
2
4
3 3
1 0 0 0 C S 0 0 C S 0 0
0 1 0 0 S C 0 0 S C 0 0
T
0 0 1 d 0 0 1 0 0 0 1 d
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
− −
    
    
    
= =
    
    
    
Bước 3:
1 2
4 2 4
T A . T
=

2 2 2 2 4 4
2 2 2 2 4 4
1
4

 
=
 
− −
 
 
Bước 4:
4
1
14
0
4
T.ATT ==

1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2
1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2
0
4
3
C -S 0 a .C C C S S S C C S 0 a .C
S C 0 a .S S C C S (C C S S ) 0 a .S
T
0 0 1 0 0 0 1 d
0 0 0 1 0 0 0 1
+ −
   
   
− − +
   
= =