Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
1Cơ học lý thuyết
Chơng I
: Cơ học chất điểm

Bài 1: Những khái niệm mở đầu:
A. Mở Đầu:
1. Cơ học lí thuyết:
Theo quan điểm hiện nay, CHLT là khoa học nghiên cứu về sự cân bằng và
chuyển động của các vật và sự tơng tác giữa chúng. Chuyển động và sự tơng
tác cơ học là một trong những hiện tợng phổ biến nhất của tự nhiên, là đối
tợng nghiên cứu của nhiều KH khác nhau có cùng một tên chung là cơ học nh
cơ học máy nghiên cứu chuyển động và tơng tác chi tiết trong cơ cấu máy, cơ
học thiên thể nghiên cứu chuyển động và sự tơng tác giữa các hành tinh, cơ
học chất lỏng nghiên cứu về chuyển động của các chất lỏng và sự tơng tác
với các vật ở trong chất lỏng v.v Cơ học lí thuyết khác các bộ môn cơ học cụ
thể vừa kể trên ở chỗ chuyên nghiên cứu những quy luật về chuyển động và
tơng tác tổng quát, chung cho mọi vật thể bằng mô hình các vật đã đợc trừu
tợng hoá đến mức lí tởng, nhng vẫn là hình ảnh của các vật thật khảo sát
trong những khoa học cơ học cụ thể khác nhau. Do đó áp dụng các định lí cơ
học lí thuyết, ta có thể tính toán một cách khá chính xác tham số chuyển động
và sự tơng tác cơ học của cả các vật thể rắn, vật thể lỏng. Cho nên CHLT là nội
dung cơ bản của nhiều lĩnh vực khoa học về chuyển động, là cơ sở của nhiều
ngành kỹ thuật công nghiệp, nông nghiệp, xây dựng, giao thông vận tải v.v
Dựa theo các quy luật chuyển động cơ học ngời ta có thể giải thích đợc nhiều
hiện tợng xảy ra trong vật lí, hoá học, sinh học Điều đó giải thích vì sao cơ

1.Chất điểm

- Chuyển động cơ học: Chuyển động cơ học của vật thể là sự dịch chuyển
của vật thể này đối với vật thể khác trong không gian và theo thời gian.
- Chất điểm
: Vật thể có kích thớc bỏ qua so với kích thớc đặc trng cho
chuyển động của nó gọi là chất điểm hay là hạt.
Một vật thể đợc coi là chất điểm không phải do kích thớc tuyệt đối của
nó xác định, mà do tỉ số giữa kích thớc của nó và độ dài đặc trng cho chuyển
động của nó xác định.
- Chất điểm cô lập
: Chất điểm mỗi vật thể đợc coi nh chất điểm thì tập hợp
đó gọi là hệ chất điểm hay hệ cơ ở xa các vật thể khác sao cho tơng tác giữa
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
3

nó với vật thể bên ngoài có thể bỏ qua gọi là chất điểm chuyển động tự do hay
còn gọi là chất điểm cô lập.
2. Hệ chất điểm và vật rắn
:
- Hệ chất điểm: Một tập hợp các vật thể mà mi vt th l mt cht im
c gi l h cht im.
- Hệ kín: Hệ chất điểm mà tơng tác giữa hệ với các vật thể bên ngoài hệ có
thể bỏ qua gọi là hệ cô lập hay hệ kín.
- Khái niệm về vật rắn: Vật rắn là một hệ chất điểm mà khoảng cách giữa hai
chất điểm bất kỳ của hệ không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động của

Cơ học cổ điển nghiên cứu chuyển động của các vật trong không gian và
theo thời gian với vận tốc rất bé so với vận tốc ánh sáng trong chân không.
Không gian và thời gian là những khái niệm cơ bản không những trong cơ học
cổ điển mà cả trong vật lý nói chung. Ta hãy xét không gian và thời gian trong
cơ học cổ điển.
4.1: Tính chất của thời gian trong cơ học cổ điển
:
Ta xét một quá trình vật lý bất kỳ xảy ra trong tự nhiên.
+ Đối với hệ quy chiếu K khoảng thời gian trôi qua của quá trình là (t
2
t
1
)
+ Đối với hệ quy chiếu K

chuyển động bất kỳ tơng đối đối với hệ quy chiếu
K thì khoảng thời gian trôi qua của quá trình vật lý nói trên là (t

2
t

1
). CHCĐ
thừa nhận:: khoảng thời gian trôi qua của một quá trình vật lý bất kỳ trong mọi
hệ quy chiếu chuyển động tơng đối đối với nhau một cách tuỳ ý là nh nhau.
Nghĩa là:
1212
tttt




kẻ
từ gốc O đến điểm M.
kzjyixr





, trong đó x, y, z là hình chiếu
x
r


y
y
/

z
/

z
i



o
/

o



i


k


y
/

z
/

i


o
/

x
/

k


j


2


trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz).
- Vị trí của chất điểm M nói trên ở thời điểm t

= t đối với hệ quy chiếu K


chuyển động bất kỳ đối với hệ quy chiếu K đợc xác định bằng bán kính véc tơ
r


, kẻ từ gốc O

đến M.
kzjyixr












.
- Xét chuyển động của hai chất điểm M
1

kzzjyyixxrrr























).().().(
1212121212
.
CHCĐ thừa nhận: khoảng cách giữa hai vị trí của hai chất điểm bất kỳ ở cùng
một thời điểm cho là nh nhau trong tất cả mọi hệ quy chiếu. Nghĩa là
1212


z
2
)
1/2
.
Đó là tiên đề về tính chất không gian trong cơ học cổ điển. Tiên đề
này chỉ đúng khi chuyển động của vật có vận tốc rất bé so với vận tốc ánh sáng.
Khi M
1
rất gần M
2
thì khoảng cách
dr giữa hai điểm đợc xác định:


1/ 2
2 2 2
dr dx dy dz
(1.5)
Không gian với đặc tính của
nó đợc xác định bằng (1.5) gọi là
không gian ơclít (Euclid) ba chiều.
Không gian trong cơ học cổ điển là
không gian ba chiều.
Từ hệ thức
2 1 2 1
r r r r



i


r



k



k


j



M
o
r



Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
6

r r r r r r r




, thì ta có :
o
r r r



Bài 2
: Các phơng trình chuyển động
các vec tơ vận tốc và gia tốc

I. Phơng pháp véc tơ:

1.1: Quĩ đạo- phơng trình quỹ đạo của chất điểm
1.1.1: Quỹ đạo của chất điểm
: Xét chuyển động
của chất điểm M đối với hệ quy chiếu K đợc quy
ớc là đứng yên. Giả sử chất điểm M chuyển động
theo một đờng cong AB. Đờng cong do chất điểm
chuyển động vạch ra trong không gian gọi là quỹ
đạo của nó.
1.1.2: Phơng trình quỹ đạo của chất điểm
.



( )
r t r




( )
r t


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
7

1.2: Véc tơ vận tốc của chuyển động của chất điểm.
Để đặc trng cho thay đổi bán kính véctơ
r

theo thời gian ta đa vào khái
niệm véc tơ vận tốc. Giả sử ở thời điểm t chất điểm ở vị trí
r

(t), ở thời điểm (t +
t) chất điểm ở vị trí (
r

r


Khi chất điểm chuyển động, véc tơ vận tốc có thể thay đổi có thể thay đổi cả
về hớng và độ lớn.
1.3: Véc tơ gia tốc của chuyển động của chất điểm
Để đặc trng cho sự thay đổi của véc tơ vận tốc theo thời gian, ta đa vào
khái niệm gia tốc. Giả sử ở thời điểm t véc tơ vận tốc của chất điểm là
( )
v t

và ở
thời điểm


t t

véc tơ vận tốc của chất điểm là


( )
v t v



. Đại lợng:
0
2
2
lim

O

O
1
M
s


dr
ds





( )
r r s
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
8

)(;)( tsssrr






(6)
Với
ds
rd




là véctơ đơn vị, tiếp tuyến với quỹ
đạo và hớng theo chiều chuyển động của chất
điểm. Vì
1




2
( . ) ( ) 2. . 0
d d d





d



Theo hình vẽ ta thấy d =1.d & ds = Rd


Rds
d 1


.
Véctơ gia tốc toàn phần của chất điểm có thể viết:
n
R
s
sw





2
)(


(7)
+





sw

( )
t



d


d


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
9

Để nghiên cứu chuyển động của chất điểm khi quỹ đạo của nó đã biết, thuận
tiện hơn cả ta dùng hệ toạ độ vuông góc tạo thành bởi các véc tơ đơn vị


, &
n b n

. Hệ toạ độ này gọi là hệ toạ độ tự nhiên hay tam diện tự nhiên.
Hình chiếu của

2
2
v v s



(10) 2
2
2 2
2
n
s
w w w s
R




(11)

2
cos( , ) ,cos( , )
.
s
s
w w n
w R w

và
k

không thay đổi theo thời
gian.
Khi chất điểm M chuyển động thì các toạ độ x, y, z đều biến đổi theo thời
gian t, nghĩa là :

( )
( )
( )
x x t
y y t
x z t








(14)
(14) gọi là các PTCĐ của chất điểm cho dới dạng toạ
độ Đềcác. Đó cũng chính là phơng trình quỹ đạo của chất
r


x
y


(15)
Giao tuyến của hai mặt này xác định quỹ đạo của chất điểm trong không
gian.
Véctơ vận tốc và gia tốc của chất điểm
:

kzjyix
dt
vd
w
kzjyix
dt
rd
v



















(19)

cos( , )
x
v i
v




;
cos( , )
y
v j
v




;
cos( , )
z
v k
v




;
cos( , )
z
w k
w





(22)
3.2: Phơng pháp toạ độ trụ
Trong hệ toạ độ trụ, vị trí của
( , , )
M M z


khi đó véc tơ
)(tr

xác định vị trí
chất điểm M đợc viết dới dạng:

( ). ( )
r t n z t k







k








Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
11
Những toạ độ trụ
; ;
z

liên hệ với các toạ độ Đềcác của nó bằng các hệ thức
sau:

cos
sin
x
y
z z
thay đổi chiều nên:
( sin cos )
dn
n i j n
dt











(26)
( cos sin )
dn
n i j n
dt






























(29) * Phơng trình gia tốc:

2 2
2 2 2
1/ 2
2
2 2 2 2


















(30)
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn





(32)

*
1/ 2
2
2 2 2 2 2
1
( ) ( )
w n w n
w
d
w w w
dt











z = OO
1
= const, trong trờng hợp này ta có:
0, 0, 0, 0
z z

dr
v n k n r
dt










(34)

2
2
d r dv dr







, là véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc trong chuyển động
quay xung quanh trục Oz.
3.3: Toạ độ cầu
O

M



y

x

r
r
n


n






(36)
(0 ; 0 2;
0 r

)
.
-
, &
r
n n n


liên hệ với
, &
i j k


:

1
( ) sin cos sin sin cos
sin cos
cos cos cos sin sin
r
r
r
n xi yj zk i j k


(37)



sin .
sin cos
cos .
r
r
r
n n n
n n n
n n n

































(40)
*
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
( sin )
1
( ) sin cos
1
( sin )




















(41)
- Khi
2



thì hệ toạ độ cầu chuyển thành hệ toạ độ cực.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn


diện tích. Vị trí của chất điểm M ở thời điểm t là
r

, ở thời điểm (t + dt) là


r dr


. Trong khoảng thời gian dt bán kính
r

quét đợc một diện tích bằng độ
lớn của véc tơ

1 1
( )
2 2
dS r r dr r dr




Đại lợng: 1
2
dS
r v

Định lý cộng vận tốc và gia tốc.
I). Véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của chất điểm trong nhứng hệ quy chiếu
khác nhau.
O
r





r dr
( )
r t


M
v


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
15
Xét chất điểm M đối với HQC K đứng
yên và HQC K' chuyển động bất kỳ đối


(1)
Với:
o o o o
r xi yj zk
r x i y j z k
r x i y j z k





















(2)
Ký hiệu:

/
và
của gốc O
/
đối với hệ quy chiếu K (khi
, &
i j k



không thay đỏi hớng theo thời
gian)là:
x
r


y
y
/

z
/

z
i



o
/



Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
16
0
o o oo o
o
o o o o
dr
v xi yj zk
dt
dv
w xi yj zk
dt
d r
v x i y j z k
dt
d v
w x i y j z k
dt
dr
v x i y j z k
dt
dv
w x i y j z k
dt






































+ K
/
CĐ bất kỳ
i const
j const
k const





















2 . 0
2 . 0
2 . 0
di
i
dt
dj
j
dt
dk
k
dt
































Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
17
Do đó hình chiếu của:
, &
di dj dk















(*)

Các hệ số
mn
a
không độc lập mà phụ thuộc vào nhau. Thật vậy từ:
. 0
. 0
. 0
i j
j k
k i

























Ta đợc:
; ;
di dj dk
i j k
dt dt dt













(4)
ở đây


là vận tốc góc góc của hệ quy chiếu K
/
quay xung quanh một trục
nào đó đi qua O

Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
18




d r d
x i y j z k v r
dt dt









(5)






dv d
x i y j z k w v
dt dt










(7)
Lấy đạo hàm theo thời gian của (1) và kết hợp với (3) và (5) ta đợc ĐL cộng
vận tốc (hay công thức cộng vận tốc)



o kt
v v r v v v






(8)





( M đứng yên với K
/
tại vị trí r
/
)
Vậy: Vận tốc kéo theo là vận tốc của chất điểm gắn chặt với hệ quy chiếu K
/
và
tại thời điểm đang xét điểm này trùng với chất điểm M
2.2.2. Định lý cộng gia tốc
Lấy đạo hàm bậc hai theo thời gian PT (1) và chú ý tới (3) & (7) ta đợc công
thức xác định gia tốc của chất điểm khi chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy
chiếu khác.

2
o kt c
w w r r v w w w w









(10)
+ Khi M đứng yên n đối với K
/
tại vị trí r
/
thì:
0
0
v
w












kt
w w
+
2.3: Một vài trờng hợp đơn giản

Khi M đứng yên đối với K
/
.





0
0
( )
kt
kt
v v v r
w w w r r












(11)
Mọi chất điểm M bất kỳ đứng yên đối với K
/
đều có vận tốc và gia tốc nh nhau.
2.3.2: Khi K chuyển động quanh điểm cố định O
/
.
Khi đó:
0
0
0
0
v
w











.
Khi đó
0
0
0 0 ( 0)
v V const
t


















0
r r r Vt r
t t
















(14)
Vận tốc và gia tốc của chất điểm M trong hệ quy chiếu K và K
/
liên hệ với
nhau bằng hệ thức:

v V v
w w










/
.
Vậy: Mọi hệ quy chiếu K
/
chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán
tính K đều là những hệ quy chiếu quán tính.
Từ (13) và (15) ta thấy mặc dù toạ độ và vận tốc của chất điểm trong các hệ
quy chiếu quán tính khác nhau là khác nhau, nhng vị trí tơng đối, vận tốc
tơng đối của hai chất điểm M
1
và M
2
, gia tốc của chất điểm và khoảng không
gian là những đại lợng nh nhau trong mọi hệ quy chiếuquán tính.Đó là những
đại lợng bất biến trong CHCĐ.
12 2 1 2 1 12
12 2 1 2 1 12
;
r r r r r r
v v v v v v
w w t t










2. Định luật I Newton (haytiên đề thứ nhất)
Trong hệ quy chiếu quán tính
chất điểm cô lập giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
3. Tính chất của không gian và thời gian trong hệ quy chiếu quán tính

- Không gian là đồng nhất và đẳng hớng, nghĩa là mọi điểm và mọi hớng
của không gian đều tơng đơng nhau về mặt vật lý.
- Thời gian trong hệ quy chiếu quán tính là đồng nhất, nghĩa là mọi thời
điểm đều ttơng đơng với nhau về mặt vật lý. Các hệ quy chiếu K và K'
chuyển động thẳng đều tơng đối với nhau đều là những hệ quy chiếu quán tính.
Mối liên hệ giữa các toạ độ và thời gian trong các hệ quy chiếu quán tính K và
K' đợc xác định bởi các công thức gọi là các phép biến đổi Galilê.
4. Nguyên lý tơng đối - Nguyên lý tơng đối Galilê:
4.1: Nguyên lý tơng đối: Mặc dù toạ độ và vận tốc của chất điểm cô lập
trong những HQCQT là khác nhau nhng gia tốc của nó trong hệ K và K' là
bằng không:
2 2
2 2
0
d r d r
w w
dt dt


(1)
Nên ngời ta cho rằng mọi hệ quy chiếu quán tính là tơng đơng với nhau đối
với định luật chuyển động thẳng đều của chất điểm cô lập.

: Xét một hệ cô lập gồm hai chất điểm tơng tác với nhau,
thực nghiệm chứng tỏ rằng khi vận tốc của chúng
v c


thì gia tốc mà chúng
thu đợc sau tơng tác liên hệ với nhau:
12 21
w w
. (2)
Trong đó:
-
0
const


không đơn vị.
-
( 1, 2)
ik
ik
dv
w i
dt





:
12 21
w w mức QT của M
1
= mức QT của M
2
.
Nếu ta đa vào các đại lợng m
1
và m
2
xác định số đo mức quán tính của M
1
và
M
2
thì trị liên hệ với mức quán tính của hai chất đó bằng hệ thức:
1
2
m
m



điểm. TrongHQCQTxung lợng của chất điểm tự do là một đại lợng bảo toàn.
4.3.2: Lực: Khi chất điểm tơng tác với các vật thể khác thì xung lợng
của nó không ngừng biến đổi theo thơì gian.
Độ biến thiên xung lợng của chất điểm trong một đơn vị thời gian là đại
lợng véctơ đặc trng cho tác dụng của vật ngoài lên chất điểm gọi là lực.

dp dv
F m mw
dt dt




.
Lực tác dụng lên chất điểm bằng tích giữa khối lợng m và gia tốc
w

của nó.
Khối lợng ngoài việc đặc trng cho mức quán tính của chất điểm còn đặc
trng với mức hấp dẫn của chất điểm. Thật vậy: Lực do trái đất tác dụng lên
hai chất điểm M
1
và M
2
ở cùng một vị trí trên trái đất:

1 1 1
2 2 2
1 2
P m w

Khối lợng quán tính bằng khối lợng hấp dẫn của nó.
4.3.3: Định nghĩa khối lợng
Khối lợng của chất điểm là đại lợng vật lý
đặc trng cho mức hấp dẫn và mức quán tính của nó.
4.4: Định luật II Newton Vì m và
w

của chất điểm là các đại lợng bất biến
đối với các phép biến đổi Galilê. Do đó lực (
F mw



) tác dụng lên chất điểm xét
trong HQCQT cũng là đại lợng bất biến đối các phép biến đối Galilê. Từ đó
suy ra lực là hàm của các đại lợng vật lí khác mà những đại lợng này bất biến
đối phép biến đổi Galilê. Các đại lợng vật lí này có thể là: vị trí tơng đối giữa
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Bài giảng cơ học lý thuyêt I. Wesbisite http:truongthanh85.violet.vn

GV: Trng Vn Thanh Bộ môn: Vật lý
24
các chất điểm, vận tốc tơng đối giữa các chất điểm ,thời gian, điện tích, khối
lợng của chất điểm, Nếu kí hiệu một tập hợp các đại lợng bất biến đối với
phép biến đổi Galilê vừa kể trên bằng chữ x, lực tác dụng lên chất điểm bằng
chữ
F

, thì: lực là hàm của x, nghĩa là:


gây nên là không phụ thuộc lẫn
nhau và gia tốc toàn phần
w

của nó bằng tổng hình học của các gia tốc thành
phần
i
w

. Nghĩa là:
1
1
n
i
n
i
i
i
F
F
w w
m m














Định luật : Nh vậy, lực do chất điểm M
k
tác dụng lên chất điểm M
i
và lực
do chất điểm M
i
tác dụng lên chất điểm M
k
bao giờ cũng bằng nhau về độ lớn,
ngợc nhau về chiều và có cùng giá là đờng thẳng nối hai chất điểm M
i
và M
k
.
Đó là nội dung định luật III Niutơn về sự bằng nhau của tác dụng và phản tác
dụng. Lực và gia tốc trong CHCĐ là những đại lợng bất biến đối với phép biến
đổi Galilê cho nên khi chuyển từ K sang K' thì các ĐL Newton đều BB đối
với phép biến đổi này. Bài 5: hai bài toán cơ bản
của động lực học chất điểm
I. Bài toán thuận

i
i





1
2
2

(1)
1
1
1
n
x ix
i
n
y iy
i
n
z iz
i
F F mx
F F my
F F mz