Tích phân ôn thi đại học
www.MATHVN.com
Võ Hữu Quốc
www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com
1

CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁCH TÍNH
A - TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC: Dạng
( )
( )
P x
Q x

Dạng 1: Bậc của tử lớn hơn (hay bằng) bậc của mẫu:
Cách giải: Ta thực hiện phép chia đa thức cho đa thức
Ví dụ 1:
1 1
2
0 0
2 3 5 19
2 7
2 2
x x
I dx x dx
x x
+ +
 
= = + +
 
− −
 

Ví dụ 2:
1 1
2
0 0
1 1
3 2 ( 1)( 2)
I dx dx
x x x x
= =
+ + + +
∫ ∫
.
Làm ngài nháp:
0 1
1 ( 2) ( 1) ( ) 2
2 1 1
( 1)( 2) 1 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
A B A
A B A x B x A B x A B
A B B
x x x x x x x x
+ = =
 
+ + + + + +
= + = =
⇒
⇔
 
+ = = −
+ + + + + + + +

1 1
1
0
2 2
0 0
1 1 1
|
4 4 ( 2) 2
I dx dx
x x x x
−
= = =
+ + + +
∫ ∫

TH3: Mẫu vô nghiệm. Phân tích
2
2
2
2 4
b
ax bx c a x
a a
 
∆
 
+ + = + −
 
 
 

2 3
0 tan , 1 tan
3 3
x t Arc x t Arc= ⇒ = = ⇒ =

khi đó
arctan3/ 3 arctan3/ 3 arctan3/ 3
2 2 arctan3/ 3
2
arctan2/ 3
2
arctan2/ 3 arctan2/ 3 arctan2/ 3
1 1 1 1
.(1 tan ) .(1 tan ) |
3(tan 1) 3 3
( 3 tan ) 3
I t dt t dt dt t
t
t
= + = + = =
+
+
∫ ∫ ∫

Đặc biệt: +
2
1
I dx
x a
=

. Giải hoàn toàn tương tự Ví dụ 4
b)
1 1
2
0 0
1 1
5
( 5)( 5)
I dx dx
x
x x
= =
−
− +
∫ ∫
. Giải tương tự Ví dụ 2
Dạng 2: Một số phép biến đổi thường dùng (phải nhớ từng dạng và cách biến đổi)
+
2 2
( ) 1
.
( ) ( )
n
n
n
ax b ax b
I dx dx
cx d cx d cx d
+
+ +

 
∫ ∫
. Đặt
2
2 3 10
4 )

1 (4 1
x
dt dx
x x
t
+ −
⇒ =
+ +
=

Tích phân ôn thi đại học
www.MATHVN.com
Võ Hữu Quốc
www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com
2

* Tương tự: 1/
1
5
7
0
( 2)
(3 5)

6 6
1 1
3 3
2 6
0 0
1 1 1 1 1
. .
(2 3) (4 1) (4 1) (4 1)
2 3 2 3
.(4 1)
4 1 4 1
1 1 2.(2 3) (4 1) 1 1 1 2 3 1
. . . .2. 1 .
5 4 1 (4 1) 5 4 1 (4
2 3 2 3
4 1 4 1
I dx dx dx
x x x x
x x
x
x x
x x x
dx
x x x
x x
x x
= = =
+ + + +
+ +
   

1
3 7
0
1
(3 4) (3 2)
I dx
x x
=
+ −
∫
2/
1
3 4
0
1
(2 1) (3 1)
I dx
x x
=
− −
∫Ví dụ 7: Các phép biến đổi hay
a)
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2
3 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 ( 3) 1 3 1 1

=
+
∫
2/
3
6
1
3
dx
I
x x
=
+
∫

Tổng quát:
1 ( )
( ) ( ) ( ) ( )
b b b b
m m m m
n m n m n m n m
a a a a
dx x x k x x k
I dx dx dx
x x k k x x k x x k x x k
− + +
= = = −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫


−
(ở bước đầu chia cho x
2
)
* Tương tự: 1/
3
2
4
1
1
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
2/
3
2
4 3 2
1
1
5 4 5 1
x
I dx
x x x x
−
=

x x
+ +
=
+ −
∫
3/
2
3
1
( 1)
dx
I dx
x x
=
+
∫

4/
1
0
3 1
( 2)( 1)
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
5/

3
3 2
x
I dx
x x
=
− +
∫
8/
2
3
2
1
( 1)
x
I dx
x
=
+
∫
9/
3
3
0
dx
I dx
x x
=
+
∫

5
2
0
1
x
I dx
x
=
+
∫

13/
1
3
0
(1 2 )
x
I dx
x
=
+
∫
14/
1
7
9
0
(3 5)
(1 2 )
x

a
I x c xdx
=
∫

+ Nếu n hoặc m lẻ: Đặt hàm số dưới mũ chẵn bằng t (Tức là sinx = t hoặc cosx = t)
+ Nếu n, m cùng lẻ: Đặt t = sinx hoặc t = cosx đều được
+ Nếu n, m cùng chẵn thì dùng công thức hạ bậc:
2 2
1 cos2 1 cos2
sin ,cos
2 2
x x
x x
− +
= =

Dạng 2: [cos ].sin
I f x xdx
=
∫
- Hàm số ta có thể đưa hết về cosx và chỉ còn lại sinx là phần dư ở sau
(cách nhận dạng là số mũ của sinx lẻ). Đặt t = cosx.
Các phép biến đổi:
A
1
=
3 2 2
sin sin .sin (1 cos )sin
x x x x x


áp dụng: 1/
4
2
0
sin 2
3sin 4sin 1
x
I dx
x x
π
=
− +
∫
2/
4
3
0
1
sin
I dx
x
π
=
∫
3/
2
0
sin 2 sin
cos 3

x x x x x x x x x x x
+
= = −
(nhận dạng: cosx
mũ lẻ)
A
2
=
2 1 2 2 2 1 2 1
1 cos cos cos
cos cos (cos ) (1 sin )
k k k k
x x x
x x x x
+ + + +
= = =
−

A
3
: Hàm số có chứa
sin 2 2sin cos
x x x
=

áp dụng: 1/
4
2 5
0
sin . os

[sin ,cos ].sin 2
I f x x xdx
=
∫
- Hàm số chứa
2 2
sin ,cos
x x
và sin2x tách rời ra
Cách biến đổi: Đặt t =
2 2
[sin ,cos ]
f x x

- Chú ý: +
2 2
(sin )' sin 2 ,(cos )' sin 2
x x x x
= = −

+ Đôi khi người ta không cho sin2x mà cho sinx.cosx ta biến đổi sinx.cosx =
1
sin 2
2
x

Ví dụ 8: a)
/2
2
0

2
sin 2
ln | || 2
sin 2
x dt
I t ln
t x
= = − =
−
∫

Tích phân ôn thi đại học
www.MATHVN.com
Võ Hữu Quốc
www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com
5

b)
/2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
I dx
x x
π
=
+
∫

Dạng 5:
2
1
(tan ).
cos
I f x dx
x
=
∫
- Hàm số chứa mình tanx và
2
1
cos
x
tách rời ra
Cách biến đổi: Đặt t = tanx
Ví dụ 9: a)
/4
2
2
0
(tan 1)
cos
x
I dx
x
π
+
=
∫

I xdt t dt
x
+
= = + =
∫ ∫

Nhưng đề thi không cho một cách đơn giản vậy, có nghĩa là mình phải qua các phép biến đổi mới
nhận dạng được chứ lúc đầu chưa thấy có mình tanx và
2
1
cos
x
(yêu cầu kỹ năng và làm nhiều)
b)
/4
2
4 2
/4
sin
cos (tan - 2tan 5)
x
I dx
x x x
π
π
−
=
+
∫
. Mới nhìn vào ta thấy có tanx nhưng có thêm

x x x x x x x
x
x x x
π π
π π
π π
π π
− −
− −
 
= =
 
+ +
 
 
 
= =
 
 
+ +
 
 

=
+

∫ ∫
∫ ∫
/4
/4

quyết được bằng A
2
dạng 3)
A
2
=
2 2
1
sin sin .cos cos
a x b x x c x d
+ + +
ta sẽ chia cả tử và mẫu cho cos
2
x

2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
1/ cos 1/ cos
sin sin .cos cos
tan tan (1 tan )
cos cos cos cos
x x
x x x x d
a x b x c d x
a b c
x x x x
= =
+ + + +

4
=
2 2 2 2 2
1 1
( sinx os ) sin 2 sin cos cos
a bc x a x ab x x b x
=
+ + +
(phải dạng A
2
chưa?)
A
5
=
2 2 2 2 2 2
1 1 1
osx
(sin os ) ( os sin ) ( 1)sin ( 1)cos
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
a c
a c c a a
= =
+
+ + − − + +
(Chia cả tử và mẫu
cho?)
A
6
=

/4
2
/6
3cot 1
sin
x
I dx
x
π
π
+
=
∫
. nếu theo 1 cách máy móc thì thấy hàm số chứa cotx và
2
1
sin
x
thì ta
đặt t = cotx. Nhưng nếu tinh ý ta đặt nguyên căn bằng t bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều.
Không tin hãy thử?
Cũng giống dạng 6 thì đề rất ít khi cho sẵn dạng, mà phải qua phép biến đổi.
A
1
=
2
4 2 2 2
1 1 1 1
. (1 t ).
sin sin sin sin

=
+ +
∫
- Hàm bậc nhất của sinx, cosx chia hàm bậc nhất của sinx,cosx
Hướng giải quyết: Tử =
cos ( 'sin 'cos ') ( 'cos 'sin )
asinx b x c A a x b x c B a x b x C
+ + = + + + − +

Ví dụ 11:
/2
0
sin 7cos 6
4sin 3cos 5
x x
I dx
x x
π
+ +
=
+ +
∫

Ta phân tích tử số:
sin 7cos 6 (4sin 3cos 5) (4cos 3sin ) (4 3 )sin (3 4 )cos 5
x x A x x B x x C A B x A B x A C
+ + = + + + − + = − + + + +

Khi đó ta có hệ phương trình:
4 3 1

/2 /2 /2
0 0 0
4sin 3cos 5 4cos 3sin 1
4sin 3cos 5 4sin 3cos 5 4sin 3cos 5
x x x x
dx dx dx
x x x x x x
π π π
+ + −
= + +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫

Tích phân ôn thi đại học
www.MATHVN.com
Võ Hữu Quốc
www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com
7

/2 /2
1
0 0
4sin 3cos 5
4sin 3cos 5 2
x x
I dx dx
x x
π π
π
+ +

3
của dạng 5

MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG TRONG TÍNH TÍCH PHÂN
2 2 2 2
1/sin 2 2sin .cos 2/cos2 cos sin 2cos 1 1
2sin
x x x x x x x x
= = − = − = −

2 2 2
1 cos2 1 cos2 1 cos2
3/ sin 4/ cos tan
2 2 1 cos2
x x x
x x x
x
− + −
= = ⇒ =
+

3 3
3sin sin3 3cos cos3
5 / sin 6 / cos
4 2
x x x x
x x
− +
= =


CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM QUAN TRỌNG
2 2
2 2
2 2
1/ (sin )' sin 2 2 / (cos )' sin 2
1 1
3/ (tan )' 1 tan
4 / ( t )' 1 t
cos sin
x x x x
x x co x co x
x x
= = −
= = + = = +BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1/
/2
2
0
sin .cos (1 cos )
I x x x dx
π
= +
∫
2/
/2
3
0

∫
5/
/2
3
0
4sin
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
6/
/12
0
tan 4
I xdx
π
=
∫

7/
/2
3
0
cos
1 sin
x

10/
/2
3
2
0
sin
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
11/
/2
0
cos2
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
12/
/2
cos
0

0
sin 2
4 cos
x
I dx
x
π
=
−
∫

16/
/4
3
4
0
4sin
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
17/
/4
2
0
1 2sin

π
=
∫
20/
/2
0
cos
2 cos2
x
I dx
x
π
=
+
∫
21/
/2
2 3
0
sin 2 (1 sin )
I x x dx
π
= +
∫

22/
/2
2
0
cos

∫

Tích phân ôn thi đại học
www.MATHVN.com
Võ Hữu Quốc
www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com
8

25/
/2
2
0
sin 2
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
26/
/2
2
0
sin 4
1 cos
x
I dx
x

0
sin cos
4cos 9 in
x x
I dx
x s x
π
=
+
∫
30/
/2
0
1
1 tan
I dx
x
π
=
+
∫

31/
/4
4
0
1
cos
I dx
x

π
=
+ −
∫
35/
/4
3
2 2 5
0
sin
(tan 1) os
x
I dx
x c x
π
=
+
∫
36/
/6
4
0
tan
cos2
x
I dx
x
π
=
∫

I dx
x x
π
=
+
∫

40/
4 /3
1
sin
2
I dx
x
π
π
=
∫
41/
/2
0
1 cos
dx
I
x
π
=
+
∫
42/

x
I dx
x
π
π
+
=
∫
45/
/4
2
/6
1
sin cot
I dx
x x
π
π
=
∫

46/
/3
2 2
/3
1
sin 9cos
I dx
x x
π

+ +
∫

49/
/4
0
cos2
sin cos 2
x
I dx
x x
π
=
+ +
∫
50/
/2
/4
sin cos
sin cos
x x
I dx
x x
π
π
−
=
+
∫
51/

sin cos
3 sin 2
x x
I dx
x
π
π
+
=
+
∫
54/
/2
/4
sin cos
1 sin 2
x x
I dx
x
π
π
−
=
+
∫

55/
/2
3
0

sin cos
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
58/
/2
3
3 3
/4
sin
sin cos
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
59/
/2
/4
sin
sin cos
x


Hướng giải quyết: đặt
2
2 2 2 2 2 2
( ) 2
2
t k
x k t x x k t x x k t xt x x
t
+
− = − ⇒ − = − ⇒ − = − + ⇒ =

Ví dụ 1:
1
2
2
0
3
x
I dx
x
=
−
∫
. Nếu đặt t = căn thì việc giải sẽ rất khó khăn
Khi đó ta sẽ định hướng đặt
2
3
x t x
− = −

I dt dt dt
t
t t t t t t
t
t
+ + +
 
+
 
− + − + −
 
= = =
+
− + −
−
∫ ∫ ∫

Đến đây rồi việc giải tiếp dành cho các em!!!

Dạng 2:
( )( )
I x a x b dx
= + +
∫
- Hàm số có chứa
( )( )
x a x b
+ +

Hướng giải quyết:

2 2
( 1)( 1) 1
I t t dx t dx
= − + = −
∫ ∫
Hình như là đã quay về dạng 1. hehe!!!
Dạng 3:
1
,
( )( )
I dx a b
x a x b
= <
− − +
∫

Hướng giải quyết:
2
( )sin ,(0 )
2
x a b a t t
π
= + − < <
2 2 2
2( )sin cos
( )sin , ( )(1 sin ) ( ) os t
dx b a t tdt
x a b a t x b b a t b a c
= −
− = − − + = − − = −

( 1)( 4)
3 4
I dx dx
x x
x x
= =
+ − +
− + +
∫ ∫
. Trình bày lời giải cho thầy.
Nhưng nếu phương trình trong căn vô nghiệm thì chắc chắn cách này sẽ không giải quyết được!!!!
Tích phân ôn thi đại học
www.MATHVN.com
Võ Hữu Quốc
www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com
10

Dạng 4
2
( ; )
I f x a x dx
= −
∫
- Hàm số có chứa
2
a x
−

Hướng giải quyết: Đặt
sin

− + +
∫
đúng là phương trình trong căn vô nghiệm và có hệ số a < 0
Thử biến đổi:
2 2 2
2 4 ( 2 1) 5 5 ( 1)
x x x x x
− + + = − − + + = − +

1
2
0
1
2 4
I dx
x x
=
+ +
∫
=
1
2
0
1
5 ( 1)
I dx
x
=
− +
∫

I dx
x
=
+
∫

cách 1: đặt
2
3 tan 3(1 tan )
x t dx t dt
= ⇒ = +
. đổi cận x = 0, t = 0: x = 1, t =
/ 6
π

khi đó:
1 /6 /6 /6 /6
2 2
2
2 2
2
0 0 0 0 0
1 3(1 tan ) 3(1 tan ) 1
1 tan
cosx
3 3(tan 1)
( 3 tan ) 3
t dt t dt
I dx tdt dx
x t

3
2
0
3 3 3
1 1 3 2 3 1
. . ln | ln 3
3
2 3 2
3
2
t t t
I dx dt dt dt t
t
t t t t
x
t
t
+ +
= = = = = =
−
+
+
−
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 7: Đề thì sẽ không cho sẵn như trên, hoặc đó chỉ là bước tính cuối cùng của 1 bài tích phân
1
2
0
1

cách 2:
2
( 1) 3 ( 1)
x x t
+ + + + =
. Giải tiếp (ta xem x + 1 như là x trong ví dụ 6)
Dạng 6
:
2
1
( ' ')
I dx
a x b ax bx c
=
+ + +
∫

Tích phân ôn thi đại học
www.MATHVN.com
Võ Hữu Quốc
www.MATHVN.com – Facebook: facebook.com/mathvn.com
11

Hướng giải quyết: đặt
1
' '
t
a x b
=
+

- Hướng thứ hai: đặt
t
x
=

- Hướng thứ ba: dựa vào bảng sau
Dấu hiệu Cách chọn
2 2
a x
−

Đặt x = |a| sint; với
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 

hoặc x = |a| cost; với
[
]
0;
t
π
∈

2 2

 

2 2
a x
+

Đặt x = |a|tant; với
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 

hoặc x = |a|cost; với
(
)
0;
t
π
∈

a x
a x
+
−
hoặc
a x


BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
1/
4
2
7
9
dx
I
x x
=
+
∫
2/
7
3
3 2
0
1
x
I dx
x
=
+
∫
3/
1
3 2
0
1

1
(1 )
dx
I
x x
=
+
∫

7/
4
4 2
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
8/
1
3
3
4 ( 4)
dx
I
x x
−
−

2 (2 )
x dx
I
x x
−
=
+ −
∫
11/
2
3
3
2
2
1
.
1 ( 1)
x dx
I
x x
−
 
=
 
+ −
 
∫
12/
16
4

+
∫
15/
2 3
2
5
1
4
I dx
x x
=
+
∫

16/
2
4
5
0
1
x
I dx
x
=
+
∫
17/
3
3
2

dx
I
x x
−
=
+
∫
21/
2
3
1
1
dx
I
x x
=
+
∫

22/
3/2
2
2
1
dx
I
x x
=
−
∫

∫
26/
1
2
0
dx
I=
x +2x+1
∫
27/
1
2
0
1
dx
I
x x
=
+ +
∫

28/
1
2
0
- - 2 3
dx
I
x x
=

1
0
2 4 2 9
dx
I
x x
=
+ − +
∫