Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ

www.mathvn.com
17

BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC
Các bài tập mẫu minh họa:
•
( )( )
−
∫
1
dx
A =
x 2 x+5
(
)
(
)
( )( )
1 5 2 1 1 1 1 2
ln
7 2 5 7 5 5 7 5
x x x
dx dx c
x x x x x
+ − − −
 
= = − = +

( )( )
(
)
(
)
( )( )
1 1 1 1 2 5 1 4 2
9 5 2 2 4 63 5 2 18 2 4
1 1 1 1 1 1 1 5 1 4
ln ln
63 5 2 18 4 2 63 2 18 2
x x x x
dx dx dx
x x x x x x x x
x x
dx dx c
x x x x x x
+ − − + − +
 
= − = −
 
− + + + − + + +
 
− +
   
= − + − = + +
   
− + + + + +
   
∫ ∫ ∫

 
− −
 
− −
 
= − = − − + = +
 
 
 
−
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
1
3
dx
B =
x 3x

•
( )
(
)
( )
4 4
4 3
3 4 3 4
dx 1 x x 10 1 xdx dx
dx
10 10

 
−
= − = + +
 
 
 
 
+
 
−
 
∫ ∫

2. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải:
1 2 3 4 5
3 9 4 11 5 6 7
dx dx dx dx dx
B ; B ; B ; B ; B
x 5x x 7x x 8x x 9x x 13x
= = = = =
+ − − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

6 7 8
3 2 3 2 4 3 2
dx dx dx
B ;B ;B
x 6x 19x 22 x 3x 14x 12 x 4x 6x 7x 4
= = =
+ + + − + − + + + +

∫ ∫ ∫
1
4
dx
C =
x 1

(
)
( )( )
( )
2 2
2
2 2 2
2 2
1 d x 1 1 1 1 x 1
d x ln c
2 4 4
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
•
−
 
= = − = +
 
− − + +
 
− +
∫ ∫ ∫
2

+ −
−
= + = + +
+
− +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
2
3
4
x dx
C =
x 1

•
(
)
4
4
4
1 d x 1 1
ln x 1 c
4 4
x 1
−
= = − +
− −
∫ ∫
3
4

( )
2
2
2
2
1 d x 1
arctg x c
2 2
x 1
•
= = +
+
∫ ∫
6
4
xdx
C =
x + 1

(
)
4
4
4
1 d x 1 1
ln x 1 c
4 4
x 1
•
+

x
dx ln c
1
1
2 2
1
x 2
x
x 2
x
x
x
•
−
+ + −
−
= = = +
+ +
+
+ −
∫ ∫ ∫
2
8
4
x 1
C = dx
x +1

•
(

− +
∫ ∫ ∫
2
9
4
x + 1
C = dx
x + 1

(
)
(
)
( )
2 2 2 2
4 4 4
2 2
9 8
2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
2 2
x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1
C C arctg ln c
2 2
2 x 2 2 2 x x 2 1
•
 
+ − − + −

2 2
x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1
C C arctg ln c
2 2
2 x 2 2 2 x x 2 1
•
 
+ + − + −
= = +
 
+ + +
 
 
− − +
= + = + +
 
 
+ +
 
∫ ∫ ∫ ∫
2
11
4
x dx
C =
x + 1

Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ


( )
( )
(
)
( ) ( )
( )( )
2
2
2
2
2
2 2
1
1
1 dx
d x
x
x
1 1
1 1
x 5 x 4
x 5 x 6
x
x
x x
du du 1 1 1 1 x 6x 1
du ln c
7 u 6 u 1 7
u 6 u 1
u 5u 6 x x 1

)
(
)
2 2 2 2
4 2 4 2 4 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
2 2
x x 1 x x 1 x x 1
 
+ − − + −
= = −
 
+ + + + + +
 
∫ ∫ ∫ ∫
14
4 2
dx
C =
x + x +1

(
)
(
)
(
)
(
)

   
 
+ + + +
 
− + + −
   
 
 
   
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

2 2
2
1 1
x x 1
1 1 1 x 1 1 x x 1
x x
arctg ln c arctg ln c
1
4 4
x x 1
2 3 3 2 3 x 3
x 1
x
− + −
− − +
= − + = − +
+ +

(
)
( )
( )
2 2
2
2 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
 
+ + − + +
= = = −
 
+ +
 
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫

( )
2 2
1 dt 1 2t 3 dt 3 dt
3 t 2 2
t 3t 3 t 3t 3
 
+
= − −
 

∫ ∫ ∫
2
3
dx
D =
x + 1

( )
(
)
(
)
( )
( )
2 2
2
2 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
 
− + − − −
= = = −
 
− +
 
− + − +
∫ ∫ ∫ ∫

Trần Phương20

2 2
2 2
1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1
ln 3arctg c ln arctg c
3 2 6
t 3t 3 x x 1
3 2 3 3
 
− + + −
+ + = + +
 
− + − +
 

•
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
2
2
2 2

(
)
2 2
2
1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
3 x 1 2 2
x x 1
3
1
x
2 2
 
+
= − +
 
−
+ +
 
 
+ +
 
 
 
 
∫ ∫ ∫2
1 1 2x 1
ln x 1 ln x x 1 3arctg c

D =
x + 1

( )
(
)
2 2 2
2
1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
dx
3 x 1 3 x 1 2 2
x x 1 x x 1
3
1
x
2 2
 
− + − −
 
= − = − −
 
 
+ +
− + − +
 
 
 
− +
 
 

x 1 x 1
 
= = − = −
 
− − +
 
− +
∫ ∫ ∫ ∫
1
6
dx
E =
x 1( )( )
( )( )
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg ln arctg
2 6 6
x x 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1
ln arctg arctg c
12
4 3 3 3

u 1
x 1
= = =
− −
−
∫ ∫ ∫
2
6
xdx
E =
x 12 4 2 2
2 4 2
1 1 u 2u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c ln arctg c
2 6 12
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
 
− + + − + +
= − + = − +
 
+ + + +
 

(
)
3 3 3

− − −
− + +
∫ ∫ ∫ ∫
3
4
6
x dx
E =
x 1

Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ

www.mathvn.com
21( )
2
4 2 2
2 4 2
1 u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c ln arctg c
12 12
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
− + − + +
= + + = + +
+ + + +

(

2 2 2
2 2
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x 1
ln arctg arctg arctg c
12
2 3 3 3 x 3
x 2x 1 x x 1
 
− + − + + − −
= + + − +
 
+ + + +
 

•
(
)
6
6
6
1 d x 1
ln x 1 c
6 6
x 1
= = − +
− −
∫ ∫
5
6
6

2 2
2 2
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1
x ln arctg arctg c
12
4 3 3 3
x 2x 1 x x 1
− + − + + −
 
= + − + +
 
+ + + +
 

•
( )( )
( )( )
( )
2 2 2
2
4 2
2 4 2
2
2
1
1 dx
x 1 x 1 dx x 1 dx
x
1
x x 1

2
2
1
1
d x
x 3
1 1 x x 3 1
x
x
ln c ln c
1
2 3 2 3 x x 3 1
1
x 3
x 3
x
x
+
+ −
− +
= = + = +
+ +
+ +
+ −
∫

•
(
)
( )( )

+ +
∫ ∫

(
)
(
)
( )
( )
4 4
9 8
6
2
3
2
1 x 1 x 1 1
dx E E
2 2
x 1
1 1 1 x x 3 1
arctgx arctg x ln c
2 3
2 3 x x 3 1
•
+ − −
= = − =
+
 
− +
= + − +

6
x + x
E = dx
x + 1
(thay x
2
vào D
2
)

( )
4 2 2
3
4 2
1 1 1 x 2x 1 1 2x 1
arctg x ln arctg c
3 2 6
x x 1
2 3 3
 
+ + −
= + + +
 
− +
 Chương II. Nguyên hàm và tích phân
−
−−


1. Các bài tập mẫu minh họa:
•
( )
− −
∫
4 3
1
50
3x 5x +7x 8
F = dx
x + 2
. Đặt
(
)
4 3
4
P x 3x 5x 7x 8
= − + −

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

66 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx
66 149 48 29 3
c
49 x 2 48 x 2 47 x 2 46 x 2 45 x 2
− − − − −
− + + + − + + +
⇒ =
+
 
= + − + + + − + + +
 
−
= + − + − +
+ + + + +
∫
∫

VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO
1. Các bài tập mẫu minh họa:
•
( )
(
)
( )
99 99 98
99
99 99
1 3 5 3 1 3
5 5
3 5

 
+
 
= − = − + + = +
 
 
 
+ +
 
∫ ∫

( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
50 50 49
2 2
50
50 50
50 50 49 49 49
2 50 2
50
50 50
50

+
 
+
 
+ +
 
 
+
= −

+

∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
2
2
50
dx
G =
x 2x +7
( )
( )
( ) ( )
50
2
50
50
50
50

( )
n n n
k k 1 k
n n n
1 ax b ax 1 dx 1 d ax b
dx
b b nb
x ax b x ax b ax b
−
•
+ − +
= = −
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
3
k
n
dx
G =
x ax + b( )
(
)
( )
(
)
( )
n n

b b
b ax b
b k 1 ax b
1 x 1 1 1
ln c
n
nb ax b
b ax b
b k 1 ax b
−
−
−
−
 
= + + ⋅⋅⋅ + − + +
 
+
− +
 
 
= + + ⋅⋅⋅ + +
 
+
+
− +
 

(
)
( )

2000
4
2000
1 x dx
G =
x 1 + x

( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
10 9 10 10 10
10
2 2 2
10 10 10
10 10
10
10 2
10
10
1 .10 1 1 3 3
3
10 10 10

d x
x x x
d x d x
x c
x
x
x

( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
50 49 50
50
7 7
50 50
50 50
6 7 5 6
50 50 50 50
50 50
6 6
50 50
x .x dx 1 2x 3 3

6
7
50
x dx
G =
2x 3

•
( ) ( )
n n 1
k
n
x x dx
ax b
−
=
+
∫ ∫
2n-1
7
k
n
x dx
G =
ax + b
(
)
( )
( )
n

− − −
 
+ + −
 
= − = + +
 
 
 
+ + − + − +
   
∫ ∫

( ) ( )
(
)
( )( )
( )
( )( )
( )
n n
2 k 1 k 1
n 2 n
1 b k 2 k 1 ax b kax b
c c
na
k 1 k 2 ax b na k 1 k 2 ax b
− −
− − − + − −
= ⋅ + = +
− − + − − +

3x 5 dx
x 2
x 2
− −
 
=
 
+
 
+
∫ ∫
10
1
12
3x 5
H = dx
x + 210 11
1 3x 5 3x 5 1 3x 5
d c
11 x 2 x 2 121 x 2
− − −
     
= = +
     
+ + +
     
∫

9 100 2x 1 900 2x 1
− −
   
= ⋅ + = +
   
+ +
   

•
( ) ( )
(
)
( )
(
)
( ) ( )
5 5 6 2
8
dx 1 1 dx
x 3 x 3
x 5 x 5
x 5
x 5 x 5
= = ⋅ ⋅
+ + + +
+
+ +
∫ ∫ ∫
3
5 3

+
+
∫ ∫6 5 4 3 2
7 5
7 2 3 4 5
2
7 2 3 4
1 u 6u 15u 20u 15u 6u 1
du
2 u
1
15 20 15 6
1
u 6 du
u
2 u u u u
1 u
20 15
2 1
6u 15ln u c
u
2
2 2u u 4u
− + − + − +
=
 
= − + − + − +

2 x 5
2
1
x 5 15 x 5 x 5 x 5
1
20 2 c
x 3 2 x 3 x 3 4 x 3
2
 
+
+ +
= − + +
 
+ +
+
 
 
+ + + +
+ − + − +
 
+ + + +
 

Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải:
•
( ) ( )
−
∫
1
7 3