SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m
sáng kiến kinh nghiệm
Phơng pháp tính nhanh đạo hàm của hàm sốphân thức hữu tỉ
I . ý nghĩa của đề tài
1. ý nghĩa thực tiễn
Trong thời gian qua, để hoàn thành nhiệm vụ mà Đảng và nhà nớc giao, các trờng PT
đã có nhiều cố gắng để nâng cao chất lợng đào tạo, qua việc dạy học tốt các bộ môn văn hóa
cơ bản trong đó có bộ môn toỏn hc
Tuy nhiên, thực tiễn dạy học môn toán học ở trờng PT hiện nay còn nhiều hạn chế.
Yêu câu đặt ra để năng cao chất lợng dạy học bộ môn trên cơ sở phù hợp với đối tợng
học sinh.
Cung cấp thêm
Chính vì thế, tôi chọn đề tài Phơng pháp tính nhanh đạo hàm của hàm số phân thức
hữu tỉ
2. ý nghĩa về mặt xã hội
- Làm thay đổi quan niệm và cách nhìn của xã hội về môn toán, góp phần nâng cao nhận thức
của học sinh về bộ môn. Qua đó thực hiện tốt mục tiêu giáo dục của nhà nớc là đào tạo nhân
lực, bồi dỡng nhân tài, xây dựng đất nớc giàu đep.
II. Thực trạng dạy và học bộ môn trớc khi đa Phơng
pháp tính nhânh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ
1. Đối với giáo viên
Tuy không gặp khó khăn trong truyền thụ kiến thức cơ bản của bộ môn, song đối
với học sinh của trờng THPT Lang Chánh việc truyền thụ kiến thức cho học sinh yếu
kém và học sinh khá giỏi gặp đôi chút khó khăn
2. Đối với học sinh
Đa số học sinh cha chăm học nên việc tiếp thu gặp nhiều khó khăn.Cha có cái nhìn tổng
quan về môn toán.
III. Những điều kiện cụ thể khi thực hiện đề tài
1. Nhiệm vụ đặt ra
Để nâng cao chất lợng dạy học bộ môn và gây đợc hứng thú đối với học sinh trong các giờ
học toán nhiệm vụ đặt ra là giáo viên phải tìm ra những phơng pháp truyền thụ và giảng

bax
y
+
+
=
với
0

bcad
Dựa trên qui tắc đạo hàm của hàm thơng ta tính đợc
áp dụng: Nếu hàm số là dạng trên thì ta làm theo các bớc sau:
Bớc 1: Sắp xếp tử thức và mẫu thức theo đúng thứ tự dạng toán
VD:
x
x
y
+
+
=
2
1
đợc sắp lại thành
2
1
+
+
=
x
x
y

+
+
=
x
x
y
Bớc 2: Xác định a, b, c, d
Bớc 3: Tính giá trị: ad-bc theo qui tắc chéo chính trừ chéo phụ
Bớc 4: Ghi kết quả
2
)(
'
dx
cbad
y
+

=
2. Các ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a,
x
x
y
+
+
=
2
1
; b,
x

=
x
x
y
; f,
2
3
+
=
x
x
y
;
g,
x
x
y

+
=
43
; h,
x
y
+
=
2
1
BG:
a/ Ta có

= 2
2
a b
c d
2
)(
'
dcx
cbad
y
+

=
SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m
b/ Ta có
x
x
y

+
=
2
1
=
2
1
+
+
x
x

x
x
do đó
22
)2(
1
)2(
1).1(2.1
'
+

=
+

=
xx
y
ở đây a = -1, b = 1,
c = -1,
d = 2.
d/ a = -3, b = 1, c = 1, d = 2
e/ a = -3, b = 1, c = 2, d = 5
f/ a = 3, b = 0, c = 1, d = 2
g/ a = -3, b = 4, c = -1, d = 0
h/ a = 0, b = 1, c = 1, d = 2

Nhận xét nếu a=0 thì hàm số trở thành
dcx
b
y

1
+

x
(ở đây b = 1, c = 1, d = 2)
VD: Đạo hàm của hàm số
23
3
+
=
x
y
bằng
2
)23(
9
+

x
(ở đây b = 3, c = 3, d = 2)
VD: Đạo hàm của hàm số
13
2


=
x
y
bằng
2

b/
x
x
y
32
52
+

=
c/
54
52
+

=
x
x
y
d/
x
x
y
31
2
+
=
e/
x
x
y

i/
x
x
y
1

=
j/
x
y
2
1

=
k/
23
1
+
=
x
y
l/
2
1
+
=
x
y
4. ứmg dụng.
- Xét tính đơn điệu của hàm số

a
Bg: Đặt
b
a
c
=
3
SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m
Ta có
( )
( )
2
11111
'
cx
a
a
b
x
abax
y
+

=








==
Bằng qui nạp ta chứng minh đợc
( )
( )
( )
1
!.1
.
1
+
+

=
n
n
n
cx
n
a
y
2. Công thức tính
Chú ý:
3. Các ví dụ:
VD1: Tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, 5, 6, 7, 2009 của hàm số
2
1
+
=
x

.
1
1
+

=
+

=

xx
y
,
( )
( )
( ) ( )
55
4
4
2
24
2
!4.1
.
1
1
+
=
+


( )
20102010
2009
2009
2
!2009.1
2
!2009.1
.
1
1
+

=
+

=
xx
y
VD2: Tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, 2009 của hàm số
32
1
+
=
x
y
Bg: Ta có a = 2, b = 3 , c = 3/2 nên
( )
( ) ( )
33

=
+

=

xx
y
,
( )
( )
( ) ( )
55
4
4
2/3
12
2/3
!4.1
.
2
1
+
=
+

=
xx
y
,
4

a
b
x
n
a
y
Nếu
bax
k
y
+
=
với
0.

ka
thì
( )
( )
( )
1
!.1
.
+
+

=
n
n
n

=
và
( )
( )
( )
1
1
!.1
.
+
+
+

=
n
n
n
ex
n
a
bcad
y
với
c
d
e
=
SÁNG KIẾN KINH NGIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Nguyễn Tất Đảm
...vµ
( )

x
y
Bg: Ta cã a = -3, b = 1 , c = -1/3 nªn
( )
( ) ( )
33
2
3/1
2
.
3
1
3/1
!2.1
.
3
1
−
−
=
−
−
−
=
′′
xx
y
T¬ng tù :
( )
( ) ( )

24
.
3
1
3/1
!4.1
.
3
1
−
−
=
−
−
−
=
xx
y
,
...vµ
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n

y
Bg: Ta cã a = 2, b = 3 , c = 1, d = -1 nªn
( )
( )
33
3
)1(
!2)1(
).5(
1
!2.1
.
1
1.3)1.(2
−
−
−=
−
−−−
=
′′
x
x
y
T¬ng tù :
4
)1(
!3
).5(
−

−=
n
n
n
x
n
y
VD5: TÝnh ®¹o hµm cÊp 2, 3, n cña hµm sè
23
1
2
+−
=
xx
y
Bg: Ta cã
( ) ( )
2
1
1
1
2.1
1
23
1
2
−
−
−
=

( ) ( )






−
−
−
−
−
=
′′′
44
2
1
1
1
!3
xx
y
,

( )
( )
( )
( )
( )


+
=
xx
x
y
Bg: Ta cã
( ) ( )
212.1
32
23
32
2
−
+
−
=
−−
+
=
+−
+
=
x
B
x
A
xx
x
xx
x