2.3.
M
ộ
t s
ố
mô h
ì
nh đơn gi
ả
n
2.3.1. Mô hình Ising
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
c: vector bán kính kẻ từ gốc tọa đến tâm của ô
cơ sở  đặc trưng vị trí của ô;
•
kích thước dài của mạng tinh thể: L(Å)
 thể tích mạng: L
d
;
•
số ô cơ sở: L
d
(kích thước ô cơ sở: 1
Å
);
•
spin toàn phần (sau khi lấy trung bình) của các
hạt trong ô cơ sở có vector bán kính c: σ
c
;

Số cấu hình spin khác nhau của hệ:
•
Mỗi cấu hình spin  một năng lượng xác định (hàm của tất cả các biến spin).
•
Hamiltonian Ising
2 2
d
N L

d
N L



c c c 1 2
c,c c
ˆ
H (c c )
I h S S
   



     
 
(1)
c


c

1c
,σ
2c
,σ
3c
) = {σ
ic
}, i=1,2,3 (2)
•
Hamiltonian Heisenberg:


c c c
c,c c
ˆ
H (c c )I
   



   
 
h
   
(3)
 bất biến đối với mọi phép quay hệ (hay quay tất cả spin) một góc bất kỳ.
Mô hình Heisenberg thích hợp để mô tả các hệ đẳng hướng.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2.3.

M
ộ
t s
ố
mô h
ì
nh đơn gi
ả
n
2.3.4. Số chiều của không gian và số thành phần của spin
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Hai tham số quan trọng trong lý thuyết các hiện tưởng tới hạn (quyết định giá trị các
chỉ số tới hạn):
1) Số chiều không gian d:
•
d = 1: chuỗi spin,
•
d = 2: lớp spin,
•
d = 3: khối spin.
2) Số thành phần của vector spin n:
•
n = 1: Ising,
•
n = 2: XY,
•
n = 3: Heisenberg.
Lưu ý: d và n có thể bằng nhau nhưng thông thường thì khác nhau.
•
Khối sắt từ đẳng hướng  mô hình Heisenberg  d=n=3;


là tổng thống kê được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (tích phân bội lấy theo
tất cả các thành phần của mỗi vector pin và theo tất cả các ô cơ sở của mạng
tinh thể).
•
(4)  xác suất của một cấu hình spin.


ˆ
1 H[ ]/
P e
T
Z


 



(4)
ˆ
H[ ]

ˆ
H[ ]/
c
,c
e
T
i

•
Năng lượng tự do cho một đơn vị thể tích



ˆ
1 [ ]/
c
, ,c
e
H T
ic i
P
i c i
A AP d Z A d

  
 
 
 
 


(6)

P
(7)
d
F F
f

Nếu các đại lượng nhiệt động biến thiên theo T-T
c
, h, k theo các quy luật ở chương I

mô hình và tính toán lý thuyết cho kết quả phù hợp với thực nghiệm.
giải tích >< phân kỳ ?
,
f
S
T

 

2
2
,
S f
C T T
T T
 
  
 
,
T
f
m
h

 
 

m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Hamiltonian ô:
 Không cho phép mô tả tương tác giữa các spin bên trong cùng một ô cơ sở;
 Các tham số của Hamiltonian ô (tích phân trao đổi, …) đã tổng hợp và bao
hàm những hiệu ứng về biến diễn của hệ trên những khoảng cách r nhỏ hơn
kích thước của một ô cơ sở (r ≤ 1 );
 Chỉ cho thông tin về biến diễn spin trên những khoảng cách lớn hơn kích
thước ô cơ sở (r ≤ 1 );
 Hamiltonian ô có độ phân giải 1 .
•
Thực nghiệm cho thấy những miền có kích thước lớn (ở đó hầu hết các spin định
hướng song song) quyết định các tính chất tới hạn của hệ.
 Nhu cầu: từ các ô cơ sở ban đầu lập các cụm lớn hơn (blocks, clusters).
o
A
o
A
o
A

8×8 ô cơ sở ban đầu
16 cụm mới, mỗi cụm chứa 4
ô cơ sở ban đầu (b = 2).
Spin σ
x
: trung bình số học của tất cả spin ô trong cụm
: lấy tổng theo các ô thuộc cụm x.
b = 1: spin cụm ≡ spin ô.
x
x c
c
d
b
 



 
(1)
x

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é

P(q
1
,q
2
)  P(q)
•
Quy tắc của xác suất thống kê:
o
A
o
A
?
?
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( , )
2 2
P
q q q q
P q dq dq q P q q q
 
 
   

   
   
   

(2)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software





(3)
x
q



x
1 2
c
c
2
d
i
q q
b





 
 
 
x
x c
c

 


H[ ]/
e
T



H[ ]


Giả sử có thể đưa kết quả thu được về dạng
 hamiltonian cụm cần tìm trong không gian tọa độ.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

 thay thế các biến spin ô bởi các ảnh Fourier σ
k
của chúng
 KGTĐ:
 KGXL:
Khi đó:
 là hàm của
 : phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên σ
ik
(nL
d
biến).
/ 2 kc
c k
k
e
d i
L
 



 
/ 2 kc
k c
c
e
d i
L
 

Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
KGTĐ và KGXL nghịch đảo nhau
 nếu spin cụm σ
x
mô tả các hiệu ứng trên những khoảng cách r ≥ b thì ảnh
Fourier của nó σ
k
chỉ cho thông tin về biến diễn spin đối với k thỏa k < Λ (Λ = 2π/b).
Khi lập hamiltonian cụm từ hamiltonian ô trong không gian vector sóng, ta chỉ quan
tâm đến các biến σ
k
có vector sóng k < Λ.
o
A
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn

phân bố P [σ
k
] theo σ
ik
với k > Λ
?
1 2 1 2
( ) ( , )
P q dq P q q



(5)
ˆ
H[ ]/T H[ ]/T
k
,k
k>
~
i
i
P e d e
 

 






ế
n đ
ổ
i Kadanoff
2.4.1. Hamiltonian cụm (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Spin cụm:
•
Định nghĩa một spin cụm khác tương đương với σ
x
về mặt định tính
 Mô tả cấu hình spin trên những khoảng cách r ≥ b ~ Λ
-1
(thông tin về các σ
ik
với
k < Λ).
x
-
x c
c
d
b
 


 
-d/2 kx
k

biến đổi Kadanoff.
 Mô tả quá trình này bởi toán tử K
b
:
ˆ
H[ ]/ H[ ]/
b
T T
 
 K
 
(8)
1
1

K
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v
à
ph
é
p bi
ế
n đ
ổ
i Kadanoff



K
 
(9)
x
H [ ]/ H[ ]/ -
x y y
y
,x ,y
e e ( )
T T d
i i j
i j
s d
 
   
 
 

 

 

 

(11)
(10)
H [ ]


T T
i
i
d
 


 
 



 
(12)
Λ
Λ
Λ
Λ /s
Λ /s
Bước 1
Bước 2
Bước 1
Bước 2
b sb
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2.4.
Hamiltonian c
ụ
m v

Giả thuyết của mô hình: hamiltonian cụm có thể viết dưới dạng khai triển theo các lũy
thừa của spin cụm và đạo hàm của nó.
 : hệ số không chứa σ và phụ thuộc vào T, h;
 h σ: tương tác của hệ với từ trường ngoài.
 spin cụm:



2.5.
Hamiltonian Ginzburg
-
Landau
2.5.1. Mô hình Ginzburg - Landau
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
2 4 2
0 2 4
H[ ]/ x[ ( ) ]
d
T d a a a c
    
     

h
    
(1)
(x)



(x)

4 2 2
( )
 

 
2
2
1 1
( )
x
d n
i
i




 
 

 
 

 


(3)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2.5. Hamiltonian Ginzburg

a L d e
c d L e


  
   


 



  
 
  
  


  
  
 
 

 
 

 

 


2 2 k k 2 k -k
k,k ( ) k( )
2
3 4 k k k k
k,k ,k ,k ( )
4 k k k -k-k -k
k,k ,k ( )
2
4 k -k
k( )
;
x ;
(k k +k +k );
( )( );
k ;
d
d i d
k
d d
d
k
S a L
S a L e d a
S a L L
a L
S c
S
   
    
   

/ 2 / 2
5 k k=0
k( )
( ) .

d d d
k
L L L
  


   

h h h
 
2.5. Hamiltonian Ginzburg
-
Landau
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2.4.1. Hamiltonian GL trong biểu diễn xung lượng (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
2
0 k -k 2
k( )
/ 2
4 k k k -k-k -k 0
k,k ,k ( )
[ ]/ ( k )
( )( )






(4)
(5)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.