Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Chương 3
Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa
Renormalization group method
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.1.
Đ
ặ
t v
ấ
n đ
ề
3.1.1. Khó khăn của bài toán về các hiện tượng tới hạn
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
1 cm
3
sắt từ 10
23
nguyên tử  10
23
bậc tự do;
 Tìm hàm sóng của hệ bằng phương pháp giải phương trình Schrodinger: vô vọng!
Vật lý hiện đại (lý thuyết trường lượng tử tương đối tính, hiệu ứng Kondo, …) và bài
toán về các hiện tượng tới hạn gặp cùng một khó khăn: số bậc tự do quá lớn.
 Giải quyết?  Giảm số bậc tự do.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.1.
Đ
ặ


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.1.
Đ
ặ
t
v
ấ
n
đ
ề
3.1.3. Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (RG)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Ý tưởng RG: tương tự lý thuyết thủy động lực:
 Phương pháp thủy động lực:

Thay vì xét các bậc tư do vi mô, đưa ra bậc tự do mới là trị trung bình của
các bậc tự do ban đầu (VD: mật độ ρ(x),…);

viết phương trình cho bậc tự do mới;

bỏ qua tất cả thăng giáng vi mô và cho rằng hàm ρ(x) chỉ chứa thăng giáng
vĩ mô
 Bậc tự do mới ở các điểm vĩ mô cách nhau đủ xa;
 Số bậc tự do mới (bậc tự do thủy động lực học) giảm đáng kể so với
số bậc tự do vi mô ban đầu.
 Phương pháp RG: thay thế các bậc tự do ban đầu bởi một số lượng nhỏ hơn
các bậc tự do hiệu dụng. Việc giảm số bậc tự do tiến hành tuần tự, từng bước.

3.1.
Đ
ặ
t
v
ấ
n
đ
ề
3.1.3. Phương pháp nhóm tái chuẩn hóa (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
 Bước 2: co cụm kích thước 2b về kích thước b
 không làm thay đổi số bậc tự do nhờ bước 1
 khoảng cách giữa hai bậc tự do hiệu dụng là 2b (H.3)
Hai bước dãn và co
 giảm số bậc tự do 4 lần; tăng khoảng cách giữa các bậc tự do 2 lần
• Thực hiện tuần tự các bước dãn và co đến khi khoảng cách giữa các bậc tự do
hiệu dụng có giá trị khoảng ξ;
•
Ở mỗi giai đoạn, lập tương tác hiệu dụng giữa các bậc tự do mới ≡ lập phương
trình chuyển động cho mật độ ρ(x) trong thủy động lực học.
H.3
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.1.
Đ
ặ
t
v
ấ

ngh
ĩ
a
nh
ó
m
t
á
i
chu
ẩ
n
h
ó
a
3.2.3. Trong không gian tọa độ
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
•
Để dễ hình dung RG, xét hệ sắt từ đựợc mô tả bằng Hamiltonian Ginzburg –
Landau (tuy rằng không bắt buộc):
 kích thước dài: L  thể tích hệ: L
d
 kích thước cụm: b  thể tích cụm: b
d
 spin cụm: σ
x
•
Hamiltonian GL của hệ (khi không có từ trường ngoài: h=0)
2
'

x
( )
2
d
b
b u u c
   


 
   
 
 
 
H
(2)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.2.
Đ
ị
nh ngh
ĩ
a nh
ó
m t
á
i chu
ẩ
n h


Mô tả hàm phân bố (3) bằng một điểm của không gian tham số.

Phép biến đổi
được xem là phép chuyển thành trong cùng không gian tham số


~ ~
P e P e

 


 
H H





Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.2.
Đ
ị
nh
ngh
ĩ
a
nh

(6)
Phép bến đổi Kadanoff: chia hệ thành các cụm mới có kích thước dài gấp s
lần kích thước ban đầu.
Spin cụm mới:
K [ ] [ ]
s
 


H H
x
-
x y
y
d
s
 


(7)
 Số bậc tự do giảm s
d
lần
( )
d d
d d
L L
b sb
 


(9)
 Số bậc tự do hiệu dụng không thay đổi so với bước 1
( )
d
d
L
sb
 
 
 
x x
s
  


1
; ( 2)
2
a
s
s a d
 
 
    
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.2.
Đ

 

H H
•
Hàm phân bố mới:
P e




H
•
Viết gộp trong phép biến đổi R
s
:
x
[ ] [ ] -
x y y
y
x y
~ e e ( )
d
s
P s d
 
    
 
 

  

 
   
H
(12)
Các thông số (u’
2
, u’
4
,c ) xác định vector trong không gian tham số.
Tập hợp các phép biến đổi R
s
(s ≥ 1) (mỗi phép biến đổi gồn hai bước trên) tạo
thành nhóm tái chuẩn hóa.
Đây chỉ là nửa nhóm vì phép biến đổi ngược R
s
-1
không tồn tại.



Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.2.
Đ
ị
nh ngh
ĩ
a nh
ó
m t

λ
s
= s
a
(a không phụ thuộc s )
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.2.
Đ
ị
nh ngh
ĩ
a nh
ó
m t
á
i chu
ẩ
n h
ó
a
3.2.3. Trong không gian tọa độ (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Sau phép biến đổi R
s
, liệu H’ sẽ có dạng GL như H?

Không có gì bảo đảm chắc chắn vì nhóm tái chuẩn hóa chỉ là nửa nhóm.
•
Nói chung, sau phép biến đổi Kadanoff, H” sẽ chứa các lũy thừa bậc cao hơn của

b u u u u
b
c v v
b
w w w
   
   
    





     

     

      




H
(16)
•
Khi đó:
1 2 3 4 1 2
( , , , , ; , , , )
u u u u c v v


bởi λ
s
s
d/2
σ
sk
•
Phép biến đổi R
s
trong không gian xung lượng:
(18)
/ 2
k k
q
q
~
d
s s
s q
s
P e e d
  


 
  

 
 


s s
s
  

?
•
Phép biến thang
1
x x x
s


 

x x
, ,
s
L sL b sb
  

 
  
• Spin cụm trong biểu diễn xung lượng:
/ 2 kx
k x
x
d d i
L b e
 
 

 









Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
3.2.
Đ
ị
nh ngh
ĩ
a nh
ó
m t
á
i chu
ẩ
n h
ó
a
3.2.3. Trong không gian xung lượng (tt)
Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Lưu ý:
•


(21)
CMR:
2
2 2
k
(k, ) ( k, )
d d
s s s
P
G s s G s
    


 
 
(22)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.