Vt lớ Hay v Khú
A. C hc
1. ng hc
Bài 1: Cho cơ hệ nh hình vẽ. B chuyển động sang phải với gia tốc
a

, còn vật nhỏ A đợc nối với
điểm C bằng một sợi dây không dãn đợc nâng lên theo đờng dốc chính của một mặt trụ của vật B.
Mặt này có bán kính R.
Giả sử tại thời điểm ban đầu vật A nằm trên sàn và đang đứng yên,
sợi dây luôn căng.
Hãy tính vận tốc trung bình của vật A trong quá trình A đi từ sàn
lên đến điểm cao nhất của trụ B (điểm D).

Giải:
Khi A đi từ sàn lên đến điểm cao nhất của trụ thì độ dời của nó sẽ là
AI

:


cos 2
22
DIADDIADIAIA +==
(
4


=
)


2
2
1
atEF =
Thời gian để trụ đi từ E đến F cũng chính là thời gian chuyển dời của vật nhỏ khi đi từ I đến A :
Suy ra:

a
R
a
R
a
AD
a
EF
t


====
2
.2
.2.2

Vận tốc trung bình của vật nhỏ A:
t
IA
v =

=v


=
Thời
gian ô tô chạy trên đồng cỏ từ B đến D:
2
22
2
v
lx
t
+
=
.
Tổng thời gian chạy từ A đến D của ô tô :
21
ttt +=
=
1
v
xd
2
22
v
lx +
+
.

+

=
1

nx
+
+
22
1
22
. lxv
lxnx
+
+
=
.
f(x) = 0

x=
1
2
n
l
.
Bảng biến thiên:

Vậy ô tô phải rời đờng cái tại B cách C một đoạn
=x

1
2

n
l

0
.
Tại một thời điểm nào đó dây có chiều dài l, xét một thời gian vô cùng bé dt vật đi đợc cung
AB:
=ld=v
0
dt.
Do

Rdl =


d
=
R
dl
thế vào phơng trình trên ta đợc:

R
dl
l
=
dtv
0
Lấy tích phân hai vế:

L
R
ldl
0

tv
0
=



Rv
L
t
0
2
2
=
.
Vậy thời gian để dây cuốn hết trụ sẽ là:
Rv
L
t
0
2
2
=
.
Bài 4: Có hai vật m
1
và m
2
chuyển động thẳng đều với vận tốc lần lợt là
1
v





cos)(2)()(
21
2
2
2
1
tvtvltvtvld +=
=
2
21
2
2
221
2
1
)cos(2)cos2( ltvvltvvvv ++++

Ta xem biểu thức trong căn là một tam thức bậc hai ẩn số
t
, với

22
2
2
sin4 vl=
, d sẽ đạt giá




=
min
d
2
221
2
1
2
cos2
sin
vvvv
lv
++


Bài 5: Có hai tàu A và B cách nhau một khoảng a đồng thời tàu A và B chuyển động với vận tốc
không đổi lần lợt là v và u
( )
uv >
. Tàu B chuyển động trên một đờng thẳng (đờng thẳng này vuông
góc với đoạn thẳng nối các vị trí ban đầu của hai tàu, còn tàu A luôn hớng về tầu B.
Hỏi sau bao lâu tàu A đuổi kịp tàu B ?
Giải:
Ta gắn hệ trục
xy0
trùng với mặt phẳng nớc và trục 0x cùng
phơng chiều với chuyển động của tàu B , còn tàu A nằm trên

y
x
Lấy vế chia vế hai phơng trình trên và ta rút ra:dt
dy
dt
dy
dt
dx


cot
tan
1
==
(1)
Ta lại có:

cottan yxut
xut
y
=

=
(2)
Đạo hàm 2 vế của (2) ta đợc:

dt

dy
dtv
dt
dy
==
(5)
Thiờn Cng
4
Vt lớ Hay v Khú
Thay dt từ (5) vào (4):


sin
d
dy
y
vu =
hay


sin
d
y
dy
v
u
=
Lấy tích phân 2 vế:



v
u
a
y






=
2
tan

Mặt khác ta lại có:

=
+
=
2
tan1
2
tan2
sin
2



v
u

2
tan
2
tan
2
1

và

sinv
dy
dt =
nên







































+






=




+
+

=
v
u
v
u
v
a
t
1
1
1
1
2
hay

=t

22
uv
av

Vậy sau thời gian
22
uv
av

lại va chạm đàn hồi
với bờ tờng và gặp m
1
lần 2. Va chạm
lần 2 xảy ra cách bờ tờng một khoảng
là bao nhiêu?
Tìm điều kiện để điểm va chạm lần 2 cách điểm va chạm lần 1 một khoảng là d/2 ?
Giải :
Chọn trục toạ độ nh hình vẽ.
Gọi v
1
,v
1
lần lợt là vận tốc của vật 1 trớc và sau khi va chạm.
Gọi v
2
và

v
2
là vận tốc của vật 2 trớc và sau khi va chạm (các vận tốc
v
1
,v
2
,v
1
,v
2
mang giá trị đại số).

'
2
22
v
mm
m
mm
vmvmm
v
+
=
+
+
=
(do v
2
= 0)
Nhận thấy v
1
,v
2
đều dơng, chứng tỏ sau va cham chúng chuyển động cùng chiều ox.
Gọi điểm va chạm lần 2 cách tờng một đoạn x, thời gian giữa 2 lần va cham là :

'
'
2
1
v
xd

mm
21
21
3

+
Để va chạm lần 2 cách lần 1 một đoạn
2
d
thì:
22
dd
dx ==

hay
23
21
21
d
d
mm
mm
=

+



21
3mm

0=x

0= c

Do vậy
2
2
4
2 t
a
xatx ==
Vận tốc của vật
'x
dt
dx
v ==

t
a
v
2
2
=
Gia tốc của vật :
Thiờn Cng
7
Vt lớ Hay v Khú

''
2

ngang một góc

=60
0
, biết
0
30=

. Bỏ qua sức cản của không khí.
a. Tính khoảng cách AB từ điểm ném đến điểm viên đá rơi.
b. Tìm góc

hợp bởi phơng véc tơ vận tốc và phơng ngang ngay sau viên đá chạm mặt
phăng nghiêng và bán kính quỹ đạo của viên đá tại B.
Giải:
a. Chọn hệ trục oxy gắn o vào điểm A và trục ox song song với phơng ngang Trong quá trình
chuyển động lực tác dụng duy nhất là trọng lực
P

.
Theo định luật II Newton:

amP


=
Chiếu lên:
0x:
x
ma=0




Khi viên đá rơi xuống mặt phẳng nghiêng:
Thiờn Cng
8
Vt lớ Hay v Khú




=
=
)4(sin
)3(cos


ly
lx
T hế (3) vào (1) ta rút ra t thế vào (2) và đồng thời thế (4) vào (2) ta rút ra :



2
2
0
cos.
)cos.sincos (sincos2
g
v

cos
0
vv
x
=
2
0
v
=
Khi vật chạm mặt phẳng nghiêng :


cos
3
2
cos
2
0
g
v
lx ==
hay

cos
3
2
.cos
2
0
0

323
2
sin
00
0
vv
vv
y
==




tan
=
3
1
2
32
0
0
=

=
v
v
v
v
x
y

g
v
R =
Thiờn Cng
9
Vt lớ Hay v Khú
Với:
3124
2
0
22
222
v
vv
vvv
yx
=+=+=


=R

g
v
.33
2
2
0
Bài 9: Một ngời đứng ở sân ga nhìn ngang đầu toa thứ nhất của một đoàn tàu bắt đầu chuyển động
nhanh dần đều. Toa thứ nhất vợt qua ngời ấy sau thời gian
1

ns =

a
nS
t
n
2
=
;

1n
toa đầu tiên vợt qua ngời ấy mất thời gian
1n
t
:

( )
2
1
2
1
=
n
at
sn


a
Sn
t

s
m
v 5
0
=
.
Trong các khoảng 3 giây tiếp theo chất điểm chuyển động với vận tốc 2v
o
, 3v
0
, , nv
0
.
Tìm vận tốc trung bình của chất điểm trên quảng đờng AB trong các trờng hợp :
a. s = 315 m ;
b. s = 325 m .
Giải:
Đặt:
)(3
1
st =

Gọi quảng đờng mà chất điểm đi đợc sau
1
nt
giây là s:

n
ssss +++=
21

a. Khi
ms 315=

7,5n(n+1) = 315




=
=
7
6
n
n
(loại giá trị n=-7)
Thời gian chuyển động:

)(231
1
snntt =+=
Vận tốc trung bình:
23
315
==
t
s
v

=v
)/(7,13 sm

2
= 20m/s. Tại thời điểm khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật một giao điểm của
quỹ đạo đoạn S
1
= 500m, hỏi lúc đó vật hai cách giao điểm trên một đoạn S
2
là bao nhiêu?
Giải:
Gọi khoảng cách trên đầu của vật (1) và (2) tới vị trí giao nhau của hai quỹ đạo là d
1
và d
2
. Sau
thời gian t chuyển động khoảng cách giữa chúng là:

2
2211
)()( tvdtvdd +=
=
2
2
2
12211
22
2
2
1
)(2)( ddtdvdvtvv ++++

min

vdS
+

=
+
+
=
Lúc đó:
tvdS
222
==
22
dS
2
2
2
1
12211
2
2
2
1
2211
2
)(
vv
dvdvv

m750
.
Thiờn Cng
11
Vt lớ Hay v Khú
Bài 12: Một chiếc côngtenơ đặt sao cho mặt trên nằm ngang đợc cần cẩu cẩu lên thẳng đứng lên
cao với gia tốc a = 0,5m/s
2
. Bốn giây sau khi rời mặt đất ngời ngồi trên mặt côngtenơ ném một hòn
đá với vận tốc v
0
= 5,4m/s theo phơng làm với mặt phẳng ngang côngtenơ góc
0
30=

.
a. Tính thời gian từ lúc ném đá đến lúc nó rơi xuống mặt đất. Biết côngtenơ
cao h = 6(m)
b. Tính khoảng cách từ nơi đá chạm đất đến vị trí ban đầu của tấm bê tông
(coi nh một điểm) lấy g = 10m/s
2
.
Giải:
a. Sau 4s độ cao của ngời đứng trên mật côngtenơ là:

)(10
2
45
6
2

smvv
x
==

0y:
)/(7,4
2
4,5
2sin
01
smvvv
y
=+=+=


1=
x
y
v
v
tg

vậy
0
45=


Chọn trục oxy nh hình vẽ gắn vào mặt đất. Phơng trìn chuyển động của viên đá theo phơng
oy:
2

x

m4,9
.
Bài 13: Ngời ta đặt một súng cối dới một căn hầm có độ sâu h. Hỏi phải đặt súng cách vách
hầm một khoảng l bao nhiêu so với phơng ngang để tầm xa S của đạn trên mặt đất là lớn nhất?
Tính tầm xa này biết vận tốc đầu của đạn khi rời súng là
0
v
.
Thiờn Cng
12
Vt lớ Hay v Khú
Giải:
Phơng trình vận tốc của vật theo phơng ox :


cos
0
vv
x
=
Phơng trình vận tốc của vật theo phơng oy:

gtvv
y
=

sin
0

sin
0
Để tầm xa x là lớn nhất thì tại A vận tốc của vật phải hợp với mặt ngang một góc 45
0
có
nghĩa là tại A:

0
cossin
v
g
tvv
yx


==

(1)
Hơn nữa ta phải có sau thời gian này:






=
=





=
g
v
l
(4)
Thay t từ (1) vào (3) ta đợc:

2
1
sin
2
0
2
+=
v
gh

;
2
0
2
2
1
cos
v
gh
=

Thế vào (4):

g
v
+
Từ (1) :








++=
+
=
2
0
2
0
2
0
00
2
0
2
0
2
1
2
1

2
1
()
2
1
()
2
1
(
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
+=+= v
v
gh
v
gh
v
gh
vv
A
Thiờn Cng
13



=
Vậy phải đặt súng cách vách hầm một khoảng:
)
2
1
4
1
(
2
0
4
0
22
2
0
v
gh
v
hg
g
v
l +=
thì tầm xa của đạn trên mặt đất là lớn nhất và
tầm xa này bằng
( )
g
v
v

a. Về dấu ta có:

Catv
adt
dt
dv
va
dt
dv
vaw
+=
===
2
Lúc
0
=
t
,
0
=
v
00
222 vatvvC +==

2
2
00
4
. t
a

tvavvdtS


=
S

2
3
0
3
2
v
a
S
=
b. Từ (*) ta có thời gian đi quảng đờng ấy:
=t
0
2
v
a
.
Bài 15: ở mép của một chiếc bàn chiều cao h, có một quả
cầu đồng chất bán kính R = 1(cm)
)( hR
. Đẩy cho tâm 0
của quả cầu lệch khỏi đờng thẳng đứng đi qua A, quả cầu
Thiờn Cng
14
Vt lớ Hay v Khú

3
5
sin
3
2
cos ==

Thay
3
2
cos =

vào phơng trình (1) ta đợc vận tốc của vật lúc đó:

gRv
3
2
=
Giai đoạn tiếp theo vật nh một vật bị ném xiên với góc

và với vận tốc ban đầu:

gRv
3
2
=
Theo đề bài
hR
<<
do vậy ban đầu ta xem

, nên:

hgttv =+
2
2
1
.sin

Thay







=
=
3
5
sin
3
2

gRv
vào phơng trình trên ta tìm đợc:





ghgRgR
.33
541010
++
thì vật sẽ rơi xuống đất.
Tầm bay xa của vật:

.
3
2
.
3
2
.cos gRtvxS ===

g
ghgRgR
.33
541010 ++

=S
( )
ghgRgR
g
R
541010
2
27
2
++

Ly tớch phõn 2 v ta cú:

R
t
vvR
dt
v
dv
tv
v
==

0
0
2
11
0


=v
t
R
v
v
0
0
1
+
t (1)
R

S
v

.
0
.
b. Gia tc ton phn:

22
22
ntnt
aaaaa ==+=
Gia tc ton phn theo vn tc:
Thiờn Cng
16
Vật lí Hay và Khó

=a

2
2
R
v
Gia tốc toàn phần theo quãng đường đi được:

=a

2
.
2








−=−===
=−=−=
2
2
0
1
2
1cos1sin
22
0
R
d
RRRACy
d
tv
RADDx
αα
Ta có:

0
' vd −=
Ta suy ra:


−
=
−==
⇒
22
0
22
0
42
.
42.2
'2
2
'
2
1
dR
vd
dR
dd
v
v
dv
Cy
Cx

( )
2
22
0

lần lượt là
smvsmv /5;/5
21
==
, trong khoảng 2 vật trên đoạn thẳng mà chúng chuyển động có
một vật nhỏ luôn chuyển động thẳng đều với vận tốc v = 30 m/s cùng chuyển động trên đường
thẳng mà 2 vật (1) và (2) chuyển động. Mỗi khi vật trên đến gặp vật (1) hoặc vật (2) thì vận tốc
của nó sẽ đổi hướng ngược trở lại và coi như vẫn giũ nguyên độ lớn vận tốc của nó. Hỏi khi vật
Thiên Cường
17
Vt lớ Hay v Khú
(1) v võt (2) gp nhau thỡ quóng ng vt nh i c cú tng chiu di l bao nhiờu?
Gii:
Vn tc ca vt (1) i vi mc vt (2) l:

2112
vvv


=

10
2112
=+= vvv
(m/s).
Thi gian t ban u n lỳc vt (1) v vt (2)
gp nhau l:
10
10
100


=
=
Rt
22

.
Gia tốc tiếp tuyến:

R
dt
dtR
dt
dv
a
t


===
Gia tốc toàn phần:

22
tn
aaa +=
=
22424
RtR

+
Lực làm đồng tiền chuyển động tròn chính là lực ma sát nghỉ.


)1.(
1
22
22
2
4


à

R
g
t
(1)
Lúc vật bắt đầu văng ra thì :
mstmsn
FF =
hay:

)1.(
1
22
22
2
4
=

g

à

à
>> 01
22
22
Vậy sau
1.
1
22
22


à

R
g
( với
g
R

à
>
) vật sẽ văng ra khỏi đĩa.
Bài 20: Một ngời đi xe đạp lợn tròn trên một sân nằm ngang có bán kính R. Hệ số ma sát chỉ phụ
thuộc vào khoảng cách r từ tâm của sân theo quy luật



tâm và từ đó ta có:

ht
maN =
à
hay
r
v
mmg
R
r
2
0
.1 =







à
Suy ra
2
0
0
2
r
R
g

0
0
.2
à
à

2
R
=
Lúc đó:
422
0
2
0
0
22
max
gR
R
R
g
R
gvv
àà
à
=





và chịu lực cản
kvF
=
(với
k =1 kg/s ).
a. Chứng minh rằng vận tốc của vật giảm dần theo hàm số bậc nhất của đờng đi.
b. Tính quảng đờng mà vật đi đợc cho tới lúc dừng.
Giải:
a. Vật chịu tác dụng của lực cản
kvF
=
. Theo định luật II Newton ta có:

makv =


dt
dv
mkv =

hay
dt
m
k
v
dv
=
Nguyên hàm hai vế:

+= cdt

m
k


t
m
k
evv

= .
0
Quảng đờng vật đi đợc trong khoảng thời gian từ 0

t
:==
t
vdtdsS
0

S
= v
0
.
dte
t
t
m

k
v .
0

(*)
b. Quảng đờng vật đi đợc cho tới lúc dừng:


= dsS
Từ (*) vi phân hai vế ta có:

dv
k
m
dS =
nên
dv
k
m
S
v

=
0
0

Thiờn Cng
20
Vt lớ Hay v Khú


,
trong đó:

0
a
là gia tốc của M đối với bàn
a là gia tốc của bàn đối với đất.
Phơng trình chuyển động của vật m:






=+
===
)3(cossin
)2(
02
2
2
maTmgF
g
a
mg
ma
P
F
tg
qt

sin
22
2
22
ga
a
g
a
g
a
tg
tg
+
=
+
=
+
=




)7(
1
1
1
1
cos
22
2

Gia tốc của M đối với đất:

aaa
M

+=
0

a
Mm
gamMgMa
aaa
M

+
++
==
22
0
à

=
M
a

Mm
mgMggam
+
+
à

211
11

=



+=
=

Phơng trình chuyển động của M:
M
FF
a
gMmPPNNN
MaFF
msms
msms
21
2
2121
221
'
)(

M
gMmmg
m
mgF )(
211
+
>

ààà

g
M
m
MmF ))((
21
+>
àà
Với điều kiện:
.0
11
mgFa
à
>>
Thiờn Cng
22
Vt lớ Hay v Khú
Vậy đáp số của bài toán này:

( )( )


11

g
m
N
m
F
a
ms
1
11
1
1
à
à
===
Phơng trình chuyển động của vật M:




+=+=+=
=
gMmPPNNN
MaFFF
msms
)(
2121
221


msms
1
21
'
à
>


g
M
gMmmgF
1
21
)(
à
àà
>
+

Cuối cùng:
)1())((
21
gMmF ++>
àà
Điều kiện
0
2
>a

hay

amNPT


=++

11111
: amPTm


=+

2222:2
amPTm


=+
Chiếu các phơng trình đó lên chiều dơng ta đợc:

)3(
)2(
)1(
2
22
22222
1
11
11111
0
000
m

2
so với ròng rọc B.
Ta có:
021021
02
01
22
'
'
aaaSSS
SSS
SSS
=+=+



+=
=
(*)
Thế (1), (2) và (3) vào (*) và chú ý T = 2T
1
= 2T
2
Rút ra:

g
mmm
T .
2
1

114
(
2
210
1
1
mmm
m
g
ga
++
=

=
1
a

g
mmm
m
.
)
114
(
2
1
210
1



rơi tự do, m
1
đi lên
ga =
1
.
- Nếu m
2
= 0 thì a
1
= g, vật m
1
rơi tự do.
Bài 25: Một kiện hàng hình hộp đồng chất (có khối tâm ở tâm hình
hộp) đợc thả trợt trên mặt phẳng nghiêng nhờ hai gối nhỏ A và
Thiờn Cng
24
Vt lớ Hay v Khú
B. Chiều cao của hình hộp gấp n lần chiều dài( h= nl). Mặt phẳng
nghiêng một góc

, hệ số ma sát giữa gối A và B là
à
.
a. Hãy tính lực ma sát tại mỗi gối.
b. Với giá trị nào của n để kiện hàng vẩn trợt mà không bị lật.
Giải:
a. Xét các lực tác dụng vào kiện hàng:
msBmsABA
FFNNP

++=

).(.
BA
msBmsA
AB
NN
l
h
h
l
FF
NN +=
+
=
à
Cuối cùng:

)2(cos
cos
à
à
nmg
l
mgh
NN
AB
==

Giải hệ phơng trình (1) và (2) ta đợc:

1
)1(cos
2
1
nmgNF
nmgNF
BmsB
AmsA
ààà
ààà
b. Kiện hàng vẫn trợt mà không bị lật khi :
0
A
N

Hay:

01 n
à


à
1

n
.
Bài 26: Một vật nhỏ đang nằm yên trên mặt phẳng nằm ngang nhẳn, lúc
0
=
t