Chuyên đề 6 :
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ CHIA HẾT TRONG TẠP
HỢP Z CÁC SỐ NGUYÊN.

I. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản ở lớp 6 và 7 về lí thuyết trong Z.
1. Tính chia hết :
a) Định nghĩa :
Cho a, b

Z ( b

0)

NÕu cã q Z sao cho a = bq
Th× ta nãi:
a lµ béi cña b hoÆc b lµ íc cña a
a chia hÕt cho b hoÆc b chia hÕt a
KÝ hiÖu: a b
a b a = bq


M
M

b) Tính chất cơ bản của quan hệ “ chia hết” trong Z
Với mọi a, b, c, m

Z :
1. a/ 0 (a

0)

0

, có thể lấy số dư là số âm r’ = r- b.
b) Chia a cho b>0 thì số dư r là một trong b số :
+) b chắn
b
r= 0, 1, 2, 3, +
2
   
(hoặc
b
r= 0, 1, 2, 3,
2
    )
+) b lẻ
b-1
r= 0, 1, 2, 3,
2
     .
3. Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số :
Ước chung lớn nhất của hai số dương a và b được kí hiệu là
ƯCLN(a, b) hoặc (a, b).
Thuật toán Euclide giúp ta tìm ƯCLN một cách khác. Thuật toán dựa trên
điịnh lí sau đây :
+) Nếu a là bội của b thì ƯCLN(a, b) = b
a = bq
(a, b) = b


+) Nếu a chia cho b, dư r

b). d/a và d / b

d / (a, b)
*) Định lí 2 :
Một số m là bội chung của a và b khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a,
b)

m a vµ m b m [ a, b]

M M M
*) Định lí 3 :
(a,b). [a, b] = ab
*) Định lí 4 :
Nếu a, b nguyên tố cùng nhau và tích a.c chia hết cho b thì c chia hết
cho b.

ac b vµ (a, b) = 1 c b

M M

*) Định lí 5 :
Nếu c chia hết a và cho b mà a, b nguyên tố cùng nhau thì c cia hết
cho tích a.b.

c a, c b vµ (a, b) = 1 c a.b

M M M
II – Phương pháp giải một số bài toán về chia hết :
*) phương pháp 1 :
Để chưng minh A(n) chia hết cho b, có thể xét mọi trường hợp về số

2 2
2
n 5
b) r = 1 n = 5k 1
n 25 k 10k +1
(n 4) 5

  
  
 
M
M
2 2
2
n = 5k 2
n = 25k 20k 4
( n 1) 5
 
  
  M
A(n) là tích của ba thừa số, trong mọi trường hợp đều có một thừa số chia
hết cho 5. Vậy A(n)
5
M
, với mọi
n Z


b) Tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho bao nhiêu.
Giải :
a) Gọi ba số nguyên liên tiếp là n, n +1, n + 2
Tích của chúng là :
A(n) = n(n + 1)(n + 2)
Ta có 6 = 2.3 ( 2 và 3 là số nguyên tố).
Trong 2 số nguyên liên tiếp n và n + 1, bao giờ cũng có một số chẵn, do đó
A(n)
2
M

Trong 3 số nguyên liên tiếp n, n + 1, n + 2 bao giờ cũng có một số chia hết
cho 3, nên tích của chúng luôn chia hết cho 3 : A(n)
3
M
.
A(n) 2 vµ A(n) 3, mµ (2, 3) = 1 nªn
A(n) 2.3 = 6
M M
M

Chú ý rằng : ba số nguyên liên tiếp có thể là n – 1, n và n + 1.
b) A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Trước hết, ta thấy rằng trong bốn số nguyên liên tiếp : n, n + 1, n + 2,
n+3, bao giờ cũng có một số cia hết cho 2 và một số khác chia hết
cho 4.
Thật vậy :
Nếu n = 2k thì n + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1)
Do đó :
- Khi k chẵn thì n

Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Trong trường hợp 3 số chẵn liên tiếp thì tích chia hết cho bao nhiêu.
*) Phương pháp 3 :
Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng của
nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạnh tử đó chia hết cho m.
Ví dụ 5 :
Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên bất kì (n > 1) trừ đi
13 lần số nguyên đó thì luôn chia hết cho 6.
Giải :
Ta phải chứng mhinh :
A(n) = n
3
– 13n
M
6
Chú ý rằng : 13n = 12n + n, mà 12n
M
6, ta biến đổi A(n) thành
A(n) = (n
3
– n) – 12n.
Ta có : n
3
– n = n(n
2
– 1) = (n – 1)n(n + 1).
Đây là tích của ba số nguyên liên tiếp, tích này luôn chia hết cho 6.
A(n) là hiệu của hai hạng tử : n
3
– n và 12n, mỗi hạng tử đều chia hết

= 3n
3
-3n + 18n + 9n
2
+ 9
= 3n(n – 1)(n + 1) + 18n + 9 + 9n
2

n, n – 1, n + 1 là ba số nguyên liên tiếp, trong đó một số chia hết cho
3, vậy :
B = 3n(n – 1)(n + 1)
M
9
C = 18n + 9n
2
+9
M
9
A = B +C mà B
M
9, C
M
9 nên A
M
9.
Để chứng minh một tổng không chia hết cho m, ta chứng minh một
hạng tử nào đó không chia hết cho m, còn tất cả các hạng tử đều chia hết
cho m.
Ví dụ 7 :
Chứng minh rằng :

2
+ 3n + 5 không chia hết cho 121.
*) Phương pháp 4 :
Để chứng minh rằng A(n) chia hết cho m, ta có thể phân tích A(n)
thành nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m :
A(n) = m . B(n)
Thường phải sử dụng các hằng đẳng thức. Nói riên, từ các hằng đẳng
thức (9), (10) và (11) ta có :
a
n
– b
n
chia hết cho a – b (a

b) với n bất kì
a
n
– b
n
chia hết cho a + b (a

- b) với n chẵn ( n = 2k)
a
n
+ b
n
chia hết cho a + b (a

- b) với n lẻ ( n = 2k + 1).


– 1
n
= (2
4
– 1)[(2
4
)
n – 1
+ + 1] = 15 . M
Vậy : (2
4n
– 1)
M
15
Bài tập :
a)Chứng minh rằng :
A = 7
1
+ 7
2
+ + 7
4k
(trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho
400.
b) Chứng minh biểu thức :
A = 75(4
1975
+ 4
1974
+ + 4