CHUYÊN ĐỀ 3: Đa thức và những vấn đề liên quan.

Bài 1:Cho
1
2
2
&
2
3
5
23
2









x
x
b
x
a
Q
x
x
x
P . Với những giá trị nào của a,b thì

x
x
x
x















2
1
52
02
1
b
a
ba
ba
a


Nhận xét:Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1.
Vì vậy từ giả thiết x
2
+ y
2
chia hết cho 3 .3, yx

Bài 4:Tìm giá trị của p,q để đa thức (x
4
+ 1) chia hết cho đa thức x
2
+ px + q.
Giải:
Giả sử (x
4
+ 1) = (x
2
+ px + q).( x
2
+ mx + n)
Khai triển và đồng nhất hệ số ta được hệ:














q
qp
q
1
0

Bài 5:Cho đa thức: 1201547114)(
234
 xxxxxA
Zx

.
a)Phân tích A(x) thành nhân tử.
b)Chứng minh đa thức A(x) chia hết 24.
Giải:
a).Ta có: 1201547114)(
234
 xxxxxA
3 2 2
( 2).( 12 47 60) ( 2).( 3).( 9 20)
x x x x x x x x         
b).Ta có:A(x)=
  
  
24
2

Giải:
Ta có: x
2
+ 7 = (x-2).(x + 2) +11 chia hết cho x-2 khi và chỉ khi 11 chia hết cho x-
2.

x-2=-1,-11,1,11.
Từ đó ta dễ dàng tìm ra các giá trị x thỏa mãn bài ra.
Bài 7: Một đa thức chia cho x-2 thì dư 5, chia cho x-3 thì dư 7.Tính phần dư của
phép chia đa thức đó cho (x-2).(x-3).
Giải:
Gọi đa thức đã cho là F(x).Theo bài ra ta giả sử đa thức dư cần tìm là ax+b.
Ta có:
F(x) = (x-2).(x-3).A(x) + ax + b. (trong đó A(x) là đa thức thương trong phép chia)
Theo giả thiết và theo định lý Bơdu ta có:
F(2)=2a +b=5 và F(3)=3a+b=7.
Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được a = 2, b = 1.
Vậy đa thức dư là 2x+1.
Bài 8: Cho biết tổng các số nguyên a
1
, a
2
, a
3
, a
n
chia hết cho 3.Chứng minh rằng:
A(x) =
33
2


n
aaa
Ta có đpcm.

Bài 9:Chứng minh rằng (7.5
n2
+12.6
n
) luôn chia hết cho 19, với mọi số n tự nhiên.
Giải:
Ta có:
A = 7.5
2n
+ 12.6
n
= 7.25
n
+ 12.6
n
.
Ta có: )19(mod625)19(mod625
nn
 .Suy ra:
)19(mod0)19(mod6.196.126.7 
nnn
A .
Ta có đpcm.

Bài 10: Phân tích thành nhân tử x