CHƯƠNG 6 : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG –TÍCH PHÂN MẶT

6.1. Tích phân đường loại 1
6.1.1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x, y) xác định trên 1 cung phẳng AB
 Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A = A
0
, A
1
, , A
n
= B.
Gọi độ dài cung A
i-1
A
i
là s
i

 Trên cung nhỏ A
i-1
A
i
lấy 1 điểm tuỳ ý M
i
(x
i
, y
i
)
 Lập tổng tích phân I

Ghi chú :
 Nếu hàm số f (x, y) có tích phân đường loại I theo cung
AB ta nói hàm số
f(x, y) khả tích
trên cung AB .
 Cung
AB cho bởi phương trình : y = y(x) với a  x  b được gọi là cung
trơn nếu hàm số y = y(x) có đạo hàm liên tục trên [a,b]
 Cung
AB cho bởi phương trình tham số





)(
)(
tyy
txx
( t
1
 t  t
2
) được gọi là
cung trơn
nếu hai hàm số x = x(t) và y = y (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [
t
1
, t
2

xt
y
yt






( t
1
 x  t
2
) và hàm f(x, y) liên tục trên AB thì :

(, )
AB
f
xyds

=
2
1
22
( ( ), ( )). ( '( )) ( '( ))
t
t
f
xt yt x t y t dt







4. Tích phân đường loại một trong không gian
Cho hàm số f(x, y, z) liên tục trên cung trơn AB có phương trình tham số
x = x(t), y = y(t), z = z(t),
12
ttt

 . Khi đó
(, ,)

AB
f
xyzds =
2
1
222
( ( ), ( ), ( )). ( '( )) ( '( )) ( ( ))



t
t
f
xt yt zt x t y t z t dt
Ví dụ 1 Tính
C

1
2
AB 0
ds 1 (y (x)) dx 2dx (x y)ds 2 dx 2

     

.
Vậy
C
(x y)ds 1 2

.
Ví dụ 2 Tính
22 22
C
xyds,C:xyax.


Giải
Đưa C về toạ độ cực ta được r = acos

,
22
,r r a.
22



  

 
  



Ví dụ 4 Tính
222
C
xds,C:x y 4

.
Giải
Ngoài cách tính trực tiếp với C có phương trình
2
y4x

 (hoặc đưa về
toạ độ cực), ta có thể sử dụng tính đối xứng. Vì đường tròn C đối xứng cả x
và y nên rõ ràng ta có:
222 22
CCCC
11
xds xds yds (x y)ds
22







 Gọi hình chiếu của vectơ
1ii
AA



trên 2 trục Ox và Oy là x
i
và y
i

 Trên cung A
i-1
A
i
lấy 1 điểm M
i
( ,
ii


) tùy ý
 Lập tổng tích phân:
I
n
=


n
i 1

: I =

AB
P(x, y) dx + Q(x, y) dy
 Định lý
: Nếu P(x, y) và Q(x, y) liên tục trên cung trơn AB thì tích phân
đường loại 2 tồn tại.
 Chiều của đường lấy tích phân :

AB
Pdx + Qdy = -


BA
QdyPdx
6.2.2. Cách tính tích phân đường lọai 2
Giả sử AB là cung trơn và các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục trên cung AB.
1. Nếu cung AB được cho bởi phương trình : y = y(x), a là hoành độ
của A, b là hoành độ của B thì :

AB
P(x, y) dx + Q(x, y) dy =

b
a
[P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) . y’(x)] dx

Ví dụ 1 Tính
2
(2)

{
)(
)(
txx
tyy


với
các đầu mút A, B theo thứ tự ứng với các giá trị t
A
, t
B
của các tham số thì

AB
P(x, y) dx + Q(x, y) dy =

( (), ()) '() ( (), ()) '()
B
A
t
t
Pxt yt x t Qxt yt y t dt


Ví dụ 2 Tính
(2)
L
I
ydx x y dy

Trên CB:
10
:1 0
ydy
y
 




. Do đó
0
1
1
BC
dx



.
Vậy I = 1.
b. Tham số hóa:
cos sin
;0
sin cos
2
x t dx tdt





.
Ví dụ 3 Tính
22
C
Iydxxdy


C – vòng tròn tâm (0, 0) bán kính 1.
C có phương trình
xcost,ysint,0x2
Vậy
2
22
0
Isint(sint)cost(cost)dt0


 



Ghi chú
:
 Tích phân đường loại 1
: chiều của đường lấy tích phân không quan trọng
 Tích phân đường loại 2

Hệ quả
: Nếu L là đường biên kín của miền D thì diện tích S của miền D
cho bởi công thức :
S=
1
2
L


xdy-ydx
Ví dụ 1 Tính
22 22
C
I xy dy x ydx,C: x y 1 


Ta có
22
Pxy,Qxy 
22
QP
xy
xy




Vận dụng công thức Green ta được
22
21


AN
y
xe6 dx + (3x
2
+ y + 1) e
y
dy không
phụ thuộc vào đường lấy tích phân.
VD 2
: Chứng minh tích phân


AB
dyyxdxyxI )()( phụ thuộc vào
đường lấy tích phân
VD 3
: Tính


AB
dyxydxyxI )3()3( với A (1,1), B(2,3).
VD 4
: Tính I =
(3,4)
(0,1)
y
dx xdy



m


, y
G
=
1
(, )
AB
y
xyds
m

 Nếu cung đồng nhất

x
G
=
1
AB
x
ds
s

, y
G
=

=
1
()
n
ii
i
f
MS




 Nếu
n
I
n
lim

tồn tại mà không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn
điểm M
i
thì nó được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm số f (x,y,z) trên mặt S.

Ký hiệu : I =

S
dSzyxf ),,(
Định lý
: Nếu mặt S trơn (nghĩa là mặt S liên tục và có pháp tuyến biến
thiên liên tục) và hàm số f(x,y,z) liên tục trên S thì tích phân mặt loại 1 tồn tại.



,
y
z
q



Ví dụ 1 Tính
22
()
S
I
xyds

, S là nữa mặt cầu:
222 2
, 0xyzRz

 .
Giải
Chiếu S xuống Oxy ta được đường tròn:
22
1xy

 , trên miền này mặt S
có phương trình:
222
zRxy. Do đó:

3
R
r
I
Rd rdr R
Rr






.
Ví dụ 2 Tính
()
S
I
xyzds

, trong đó S là phần mặt phẳng :
22 2xyz
,
trong góc
0, 0, 0xyz
.
Giải
Chiếu S xuống Oxy ta được đường tròn:
22
1xy


22
00
4
.
3
R
r
I
Rd rdr R
Rr






.

6.3.3. Ứng dụng tích phân mặt loại 1
1. Diện tích mặt:

S =

S
dS
2. Khối lượng của mặt: m =
(, ,)





1
()
G
S
zzMdS
m




Nếu mặt S đồng phẳng thì:

1
G
S
x
xdS
S


,
1
G
S
yydS
S
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy


Ghi chú
:
 Nếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu.
 Tích phân mặt loại 2 có các tính chất giống tích phân kép.
6.4.2. Cách tính tích phân mặt loại 2
Việc tính tích phân mặt loại 2 đưa về việc tính tích phân kép.
Giả sử mặt S có phương trình z = z (x,y) liên tục, xác định trên D
1
là hình
chiếu của S trên mặt phẳng Oxy ta có:




SD
dxdyyxzyxRRdxdy
1
)),(,,(
Các tích phân
S
Pdydz

,
S

trong đó S là phần mặt cầu tâm O,
bán kính 1, nằm trong góc phần tám thứ nhất và có pháp vectơ hướng ra ngoài.
VD 2 Tính


S
xzdxdyyzdzdxxydydzI trong đó S là các mặt của hình
chóp OABC với A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1) .
6.4.3. Định lý Stokes
Giả sử các hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục và có đạo hàm riêng
liên tục trên một mặt định hướng S , biên của S là một đuờng cong kín L.
Ta có công thức Stokes :



















Q
dxdz
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
RVD
: Tính

L
y
2
dx+z
2
dy+x
2
dz trong đó L là chu tuyến tam giác ABC với

A a,0,0 , B 0,a,0 , C 0,0,a lấy theo chiều dương .

6.4.4. Định lý Gauss – Ostrogratski
Giả sử V là 1 miền đóng và bị chặn trong R
3

Ptrong đó vectơ pháp tuyến của S hướng ra ngoài .

VD
: Tính I =

S
zdxdy +(y+y
2
)dxdz trong đó S là mặt phía ngoài của vật
thể giới hạn bởi z = x
2
+y
2
, z = 0 , z = 1 bằng công thức Gauss – Ostrogratski. BÀI TẬP CƯƠNG 6

6.1 Tính các tích phân đường loại 1
1. I=


AB
dsyx )( với AB l đọan thẳng nối A(1,2) với B(2,4).
2.
I=



L
dsy
2
với L là cung đầu tiên của đường Cyclôit





)cos1(
)sin(
tay
ttax
( 0 t 2


, a>0 )
7.
I=


OA
yx
ds
4
22
với OA là đọan thẳng nối O và A(1,2).

6.2 Tính các tích phân đường loại 2


)cos1(
)sin(
tay
ttax
, t thay đổi từ 0 đến 2

.
11. I=



L
yx
dydx
với L là chu tuyến dương của hình vuông ABCD với các đỉnh
A(1,0) , B(0,1) , C(-1,0) , D(0,-1) .
12. I=


L
dyxydxyx
22
)( với L là đường tròn x
2
+y
2
= 4 lấy theo chiều dương .
13. I=


+y
2
=1 theo chiều
dương .
16. I=


L
dyyxdxyx )3()2(
với L là đường nối từ điểm A(1,2) đến điểm
B(2,4).
17. I=


)1,1(
)0,0(
)()( dyyxdxyx
18. I=


L
xyxy
dyxyxyyxxedxyxyxye )sin()cos2(
222
với L nửa trên
đường tròn x
2
+y
2
=2x ( y 0 ) đi từ điểm A(2,0) đến O .

với L là cung parapol
2
y
x

, từ A(1; -1) đến B(1;1)
22.
2
(1)
L
I
xy dx x ydy

với L là cung nối từ A(1; 0) , B(0; 2)
a. Theo đường thẳng AB b. Theo cung parapol
2
4(1 )
y
x
23.
2(2)
L
I
xdx x y dy

với L là chu tuyến của tam giác ABC theo chiều
ngược kim đồng hồ với A(-1; 0), B(0; 2), C(2; 0)
24.
22
(2 3 ) ( 4 2)

( ysin( )) (3 sin( ))
4
C
xy
I
yxyxy xydx x xyx xydy 

với C là nửa
elip
2
2
1, 0
4
y
xy
, ngược chiều kim đồng hồ