Tích phân xác định:
1/ Bài toán diện tích hình thang cong: ................................................................................... 2
2/ Định nghĩa tích phân xác định: ............................................................................................ 3
3/ Điều kiện khả tích (intergrability condiction): ................................................................... 3
4/ Các tính chất của tích phân xác định: .................................................................................. 6
5/ Công thức Newton – Leibnitz: .......................................................................................... 9
6/ Tính gần đúng tích phân xác định: .................................................................................... 10
a/ Đa thức nội suy: .......................................................................................................... 10
Công thức hình thang: ...................................................................................................... 12
Công thức Simpson: .......................................................................................................... 13
7/ Ứng dụng hình học của tích phân xác định: ..................................................................... 15
7.1/ Tính diện tích hình phẳng: ....................................................................................... 15
........................................................................................................................................... 16
.......................................................................................................................................... 17
7.2/ Trường hợp biên của hình phẳng cho trong tọa độ cực .......................................... 18
7.3/ Tính độ dài đường cong phẳng ................................................................................ 19
7.4/ Tính thể tích vật thể ................................................................................................. 21
7.5/ Tính thể tích vật thể tròn xoay ................................................................................. 22
7.6/ Tính diện tích mặt tròn xoay .................................................................................... 23
8/ Sơ đồ ứng dụng tích phân .................................................................................................. 24
9/ Tích phân suy rộng ........................................................................................................... 25
9.1/ Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn: ................................................................. 25
9.2/ Trường hợp hàm số lấy tích phân ko bị chặn .......................................................... 26
9.3/ Tiêu chuẩn so sánh: ................................................................................................... 26
9.4/ Hội tụ tuyệt đối ......................................................................................................... 28
Cách đưa tích phân suy rộng loại 2 về tích phân suy rộng loại 1 ................................... 28
Bài tập ..................................................................................................................................... 29
.......................................................................................................................................... 29
1/ Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng: .................................................................... 30
.......................................................................................................................................... 31
........................................................................................................................................ 32

=
f(x), xác định, liên tục trên khoảng đóng [a, b]. Xét hình thang cong
AabB là hình giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) trên [a, b], các đường thẳng x
=
a, x
=
b và
trục hoành Ox. Ta định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB.
Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:
o 1 2 i 1 i n
x a x x ...x x ...x b
−
≡ < < < < < =
ta gọi cách chia đó là 1 phân điểm P
( )
( )
( )
( )
[ ]
i i
i 1 i 1 i i
i i i 1
Bay gio, tu cac diem chia x i 0,n ta dung cac duong thang x x ,
nhu the ta da chia hình thang cong AabB
thành n hình thang cong nho P x x P i 1,n
moi hình thang cong nho dó có day x x x i 1,n .
Theo gia thiet, hàm so f x lien tuc tren a,b ,
n
− −
−

=
⇒ ≤ ≤ ⇒ ∆ ≤ ∆ ≤ ∆
Về mặt hình học: tích số
i i
m . x∆
chính là diện tích của hình chữ nhật trong có chiều rộng
là
i
x∆
và chiều dài là
i
m
. Tích số
i i
M . x∆
chính là diện tích của hình chữ nhật ngoài có
chiều rộng là
i
x∆
và chiều dài là
i
M
, hình thang cong nhỏ thứ i
i 1 i 1 i i
P x x P
− −
luôn bị các
hình chữ nhật trong và ngoài kẹp
Gọi
*

= = =
≤ = ∆ = ∆
∆ ≤ ∆ ≤ ∆ ⇒ ∆ ≤ ∆ ≤ ∆
⇒ ∆ = ∆ = ∆ =
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
2/ Định nghĩa tích phân xác định:
Define
Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trong khoảng đóng [a, b], chia [a, b] thành những
khoảng nhỏ bởi 1 phân điểm P, trong mỗi khoảng nhỏ
x ,x
i 1 i
 
 − 
lấy 1 điểm
( )
i i 1 i i
c tùy ý sao cho : x c x i 1,2,..n
−
≤ ≤ =
( )
( )
[ ]
( )
n
i i i i i 1
i 1
i
x 0

− =

3
( ) ( )
( ) ( )
n
i i
i 1
n
i i
i 1
b
n
i i
x 0
i
i 1
a
n
i i i i i i i i
i 1 i
trong do s m . x là tong tich phan duoi,
S M . x là tong tich phan tren
Prove that: gia su ton tai tich phan I f x .dx lim A A f c . x
I A I
from m . x f x . x M . x m . x f x . x
=
=
∆ →
=

i i i i
lim m . x lim f x . x lim M . x I
lim s lim A lim S I lim S s 0
∆ → ∆ → ∆ →
= = =
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
⇒ ∆ = ∆ = ∆ =
⇒ = = = ⇔ − =
∑ ∑ ∑
( ) ( ) ( )
( )
[ ]
[ ]
( ) ( )
( )
x 0
i
i i i i i 1 i
n n
i i i i i
i 1 i 1
gia su assume có has lim S s 0 mà s I S, s A S A I
f kha tich intergrable trên a,b
let M m dc goi là dao dong cua f trong x , x
suy ra derive : S s M m x . x
and can be write dieu kien condition kha tich inte
∆ →
−
= =
− = ≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ − < ε

x 0
i
i 1 i 1 i 1
x x with x , x a,b always have f x f x
. x x b a lim . x 0
− − −
∆ →
= = =
− < ε ∈ − < ε ⇒ ω < ε
⇒ ω ∆ < ε ∆ < ε − ⇒ ω ∆ =
∑ ∑ ∑
Do đó (therefore) f(x) khả tích in [a, b]
* Theorem 3 third: If f(x) bị chặn (bounded) and đơn điệu (monotone) in [a, b] derive f(x)
khả tích (intergrable) in [a, b]:
4
Cm: giả sử f(x) đơn điệu tăng in [a, b],
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
[ ]
1
n n
i 1 i i 1 i i 1 1
i 1 i 1
n
i i
x 0
i

2 2
i i
x 0
i
i 1
0
i i 1 i i i
i
2
* Calculate I x .dx because f x continuous lien tuc in 0,1
f x intergrable kha tich in 0,1 x .dx lim c . x
i 1 0 1
choose c x ,x , c x
n n n
chia 0,1 thành n khoang nho bang nhau
khi do x 0 n , therefore :
x .dx
∆ →
=
−
=
⇒ = ∆
−
∈ = ⇒ ∆ = =
∆ → ⇔ → ∞
∫
∑
∫
( ) ( )
1

b
i
a
* Calculate I sin x.dx because f x sin x continuous lien tuc in 0,1
f x intergrable kha tich in 0,1
therefore do dó can be choose phan diem sao cho :
b a
x a,...x a ih with h , i 1,n khi do max x x h
n
choose c a i 1 h sin x.dx li
= =
⇒
−
= = + = = ∆ = ∆ =
= + − ⇒ =
∫
∫
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
i
h 0
i 1
n
n n
i 1

h h
cos a cos a n h
cos a cos b h
2 2 2
2 2
h h
2sin 2sin
2 2
because a nh b
h
h
2
I sin x.dx lim cos a
h
2
sin
2
=
→
 
   
+ − − − + − +
   
 
   
 
=
 
 
     

1/ Trong định nghĩa ta giả thiết a < b, if a < b thì ta hiểu là hướng lấy tích phân thay đổi.
Khi ấy ta có phân hoạch:
( ) ( )
a b
o 1 n i i 1 i
b a
a x x ... x b x x x 0 f x dx f x dx
+
= > > > = ⇒ ∆ = − < ⇒ = −
∫ ∫
2/ Tích phân xác định ko phụ thuộc biến:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f y dy= =
∫ ∫ ∫
3/
( )
a
a
f x dx 0=
∫
( ) ( ) ( )
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
b c b

∆
⇒ = +
∑
∫ ∫ ∫
6
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
b b
a a
i 1 i i i 1 i i 1
*
i i 1 i
* *
i i i i i 1 i i i 1
*
i i i i
5/ f x dx f x dx ta cm tinh kha tich cua f x
if in x ,x i hvae f x f x f x f x
therfore do dó , if ki hieu là dao dong cua hàm so f x in x ,x ,
thi , f x f x , f x f x
0 . x . x because f x kha tich i
− − −
−
− −
≤

b b b
a a a
b
a
6 / If m f x M, x a,b m dx f x dx M dx
m b a f x dx M b a
≤ ≤ ∈ ⇒ ≤ ≤
⇔ − ≤ ≤ −
∫ ∫ ∫
∫
7/ Định lí trung bình 1: cho f(x) khả tích trên [a, b], and m ≤ f(x) ≤ M with x ∈ [a, b], khi
đó tồn tại c sao cho:
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
b
a
b
a
f x dx c b a , m c M if f x lien tuc in a,b
ton tai d sao cho : f x dx f d b a
= − ≤ ≤
⇒ = −
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ]
[ ]
( )

a a a
khi dó : f x .g x dx f c g x dx a c b
Cm : gia su g x 0 m.g x f x .g x M.g x
m. g x dx f x .g x dx M. g x dx
because g x 0 g x dx 0, if g x dx 0 f x .g x dx 0
if g x dx 0 f x .g x dx/ g x dx d m d M
because f x lien tuc in a,b ton ta
= ≤ ≤
≥ ⇒ ≤ ≤
⇒ ≤ ≤
≥ ⇒ ≥ = ⇒ =
> ⇒ = ≤ ≤
⇒
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
[ ]
( )
i c a,b sao cho f c d∈ =
9/ Cho
( ) ( )
[ ]
x
a
G x f t dt, x a,b= ∈
∫
If f(t) khả tích trên đoạn [a, b] thì G(x) liên tục đối với x ∈ [a, b]
Cm: cho x 1 số gia ∆x = h sao cho x + h ∈ [a, b], khi đó ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⇒ + − = = 
 
⇒ + = ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
∫
If f(t) liên tục tại t = x thì G(x) có đạo hàm tại x và
( ) ( )
'
G x f x=
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
'
h 0 h 0
G x h G x
I have : d, because f t continuous at t x
h
f x f t f x , t x, x h ,
because m inf f t , M supf t , t x, x h
f x m M f x , because m d M
f x d f x d f x
G x h G x

x
Cách 2 : Cho G x f t dt
G x h G x
1
G x lim lim f t dt f t dt
h h
1 1
lim f t dt, f x f x dt
h h
1
G x f x lim f t f x dt
h
+
→ →
+ +
→
+
→
=
 
+ −
 
⇒ = = −
 
 
= =
⇒ − = −
 
 
∫

∫
If f(x) continuous in [a, b], and if F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) thì:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x F b F a F x= − =
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
x a
a a
b
a
o 1 2 n
1 0 2 1 n n 1
i i 1
Cm : Cách 1: f t dt F x C f t dt F a C 0 C F a
f t dt F b C F b F a
Cách 2 : Lay phan hoach bat kì cua doan a,b : a x x x ... x b,
G b G a G x G x G x G x ... G x G x
Dùng cong thuc Larrange cho tung doan x ,x
−
+

9
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
'
a
' ' '
' '
x b
a a
Cách 3: Dat G x f t .dt G x f x , Dat u x F x F a G x
u x F x G x f x f x 0 x a,b
u a 0, u x u a u c x a 0 c x,a because u x 0 x a,b
u x u a 0 G x f t .dt F x F a f t .dt F b F a
= ⇒ = = − −
⇒ = − = − = ∀ ∈
= − = − = ∈ = ∀ ∈
⇒ = = ⇒ = = − ⇒ = −
∫
∫ ∫
2 2 2 2 2 2
n
2 2 2

= + + +
 
     
 
+ + +
     
 
     
 
( )
[ ] [ ]
2
i o 1 i
1
1
n
0
2
n
0
1
Xét hàm f x continuous in 0,1 , do dó kha tich tren 0,1
1 x
1 0 1 1 i
dùng phan diem deu x và các diem chia : x 0, x ,...,x
n n n n
dx
lim I I arctan x
4
1 x

n
P x
được gọi là đa thức nội suy của hàm f(x).
Định lí: nếu tồn tại đa thức nội suy
( )
n
P x
của hàm f(x) thì đa thức đó là duy nhất.
10
Cm: Giả sử có 2 đa thức
( ) ( )
n n
P x , Q x
cùng là đa thức nội suy của f(x).Lúc đó theo định
nghĩa, ta có:
( ) ( )
n i i n i i
P x y , Q x y= =
⇒ hiệu
( ) ( )
n n
P x Q x−
là 1 đa thức có bậc ≤ n và triệt tiêu tại
n + 1 giá trị khác nhau
( ) ( )
( )
i n i n i i i
x , i 1,n 1 vì P x Q x y y 0= + − = − =
. Do vậy đa thức
hiệu

n i i n i i
i 0
n
x x x x ... x x x x ... x x
Put p x
x x x x ... x x x x ... x x
1 khi i j
p x là da thuc bac n và : p x
0 khi i j
x x x x x x ... x x
p x 0
x x x x ... x x
Put L x y .p x L x y
L x dc goi là da
− +
− +
=
− − − − −
=
− − − − −
=

⇒ =

≠

− − − −
= =
− − −
= ⇒ =

=
− − − − −
=

⇒ =

≠

= ⇒ =
∑
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 2 1
1 1 1 2 2
1 2 2 1

= =
− − − −
Tính gần đúng tích phân xác định:
11
Công thức hình thang:
( ) ( )
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b
a
1 2 i 1 n i i 1 i
x
x x
b
3
2 n
a x x x
1 2 n 1
Tính I f x dx f x xác dinh và lien tuc trên a,b
Dùng he phân diem deu, chia a,b
thành n doan con bang nhau boi các diem chia :
b a
x a, x a h,..., x a i.h,...,x b, h x x x
n
I f x dx f x dx f x dx ... f x dx
D
+ +
−
=

x x x x
p x , p x ,
x x x x
doi bien : x x h.t, khi x x t 0, khi x x x h t 1
x h.t x x h.t x h
dx h.dt, p x t 1 ,
h h
x x x h.t x
p x t L x y .p x y .p x y 1 t y .t
x x h
− −
= =
− −
= + = ⇒ = = = + ⇒ =
+ − + − −
= = = = − −
− −
− + −
= = = ⇒ = + = − +
−
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x x
1
2 2
1 1 2
x x 0
1 1
1 1

= − + =
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
3
n
2 3
n 1 n
x x
2 n 1
b
n 1
1 n 1 n
2 3 n 1 i
i 2
a

b
2
a
sin x .dx
∫
theo công thức hình thang:
a = input('nhap vao can duoi a: ');
b = input('nhap vao can tren b: ');
x = a:10^(-3):b;
y = sin(x.^2);
y1 = 0;
for i = 2 : 1 : length(x) - 1
y1 = y1+y(i);
end
I = ((b - a)/length(x))*( y1 + y(1)/2 + y(length(x))/2)
Công thức Simpson:
Khi xây dựng công thức hàm thang chúng ta đã xấp xỉ f(x) bằng các đa thức nội suy bậc
nhất, bây giờ ta sẽ xấp xỉ f(x) bằng các đa thức nội suy bậc 2, do đó trong mỗi khoảng chia
cần 3 nút, vì thế phải chia đoạn [a, b] thành 2n khoảng bằng nhau bởi các điểm chia:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 i 2n 1 i 1 i
x x
x
b
3 7
2n 1
a x x x
1 5 2n 1

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3 1 3
1 2
1 2 1 3 2 1 2 3
x x
3 3
1 2
3 2
3 1 3 2
x x
1 1
1 1
3 1 1 2 3
x x x x x x x x
p x , p x ,
x x x x x x x x
x x x x
p x , f x .dx L x .dx
x x x x
make the change of variable x x h.t dx h.dt, when x x t 0,
when x x x 2h t 2, and x x h.t x h h.t x 2h
− − − −
= =
− − − −
− −
= ≈
− −

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x x
2
3 3
1 3
2 2
x x 0
1 1
2 2
2
1 3
2
2
0
2 2 2
3 2 3 3 2
1 2 3
2
3
1
2
0 0 0
y t 1 t 2 y .t t 1
f x .dx L x .dx h y .t t 2 dt

( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
x
5
3 4 5
x
3
x
2n 1
2n 1 2n 2n 1
x
2n 1
b
1 2n 1 2 4 2n 3 5 2n 1
a
h y 4y y
Similiarly: f x .dx ,...,
3
h y 4y y
f x .dx
3
h y y 4 y y ... y 2 y y ... y
I f x .dx
3
+

( )
b
2
a
sin x .dx
∫
theo công thức Simson
a = input('nhap vao can duoi a: ');
b = input('nhap vao can tren b: ');
x = a:10^(-3):b;
y = sin(x.^2);
y1 = 0; y2 = 0;
for i = 2 : 2 : length(x) - 2
y1 = y1+y(i);
end
for j = 3 : 2 : length(x) - 1
y2 = y2+y(j);
end
I = (b - a)/(3*length(x))*(4*y1 + 2*y2 + y(1) + y(length(x)))
14
7/ Ứng dụng hình học của tích phân xác định:
7.1/ Tính diện tích hình phẳng:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
b
a
b
1 2 1 2
a
Dien tích hình thang cong gioi han boi các duong thang :

y a n t , y b n t S n t .m t dt
= = = = =
= = = = ⇒ =
= = =
= = = = ⇒ =
∫
∫
(
)
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2
2 2 2 2
2 2
1 2
y
a a a
2 2 2 2 2 2
2
a y a a
1
x y
Ex : Calculate dien tích hình elip : 1
a b
b a x
b a x
y y

b a x 4b
because y x là hàm chan theo x S a x dx
a a
4b a x x a x
arcsin 2ab.arcsin1 ab
a 2 a 2
−
= ⇒ = −
 
−
 
= + = = π
 
 
∫
15
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
Tinh calculate a x dx a x a
x
Dat x a sin t dx a cos tdt t arcsin
a
Vay so : a x dx a 1 sin t.a cos tdt a cos tdt
1 cos2t t sin2t
a dt a C

csin C arcsin C
a 2 2 a 2
−
−
+ + = + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a
a 0
* I f x .dx 2 f x .dx with f x là hàm chan : f x f x
−
= = = −
∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a
a
0 a 0
a 0 a
0 a a a
1
a 0 0 0
, x a
* I f x .dx with f x là hàm chan : f x f x
I f x .dx f x .dx trong f x .dx dat x t dx dt t a
I f t .dt f t .dt f x .dx I 2 f x .dx f x f t f t
−
− −
= −

a a
0 0
, x a
* I f x .dx with f x là hàm le : f x f x
I f x .dx f x .dx
trong f x .dx dat x t dx dt t a
I f t .dt f t .dt f x .dx
I f x .dx f x .dx 0 f x f t f t
−
−
−
= −
= = − −
= +
= − ⇒ = − ⇒ =
⇒ = − − = − = −
⇒ = − + = = − = −
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( )
2 2 2
2
0 0 0
2 2
0 0 0
Cách 2 : Calculate S theo cách bieu dien pt tham so cua elip :
x a.cos t

π
π + π =
 
 
−
 
= = π
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
T a a T T
0 0 a a T
T
3
a T
0 a a a
3
a 0 0 0
T a T
0 a
Ta có : f x dx f x dx f x dx f x dx 1 f a f a T
x a T t a
Xet I f x dx Dat t x T dt dx
x T t 0
I f t T dt f t T dt f t dt f x dx 2
The (2) vào (1) ta dc f x dx f x dx
+

= = =
= −
= = =
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
2 2
2
1 2 1 2
y
2p 2p
2
2
0 y 0
1
2p
1
3
3 2 2
1
2
0
Calculate area bounded by 2 curves : y 2px, x 2py
x 0
x
y 2p.x, y , y y
x 2p
2p
x
S dx dy 2p.x dx

2 2 2
0 0 0
2
2
2 2 2
0
0
Calculate area figure limited by cycloide line :
x a t sin t
0 t 2 và truc hoành Ox
y a 1 cos t
S y.dx a 1 cos t .dt a cos t 1 2cos t .dt
cos2t 1 3t sin2t
a 1 2cos t .dt a 2sin t 3 a
2 2 4
π π π
π
π
= −


≤ ≤ π

= −


= = − = + −
+
   
= + − = − + = π

ϕ ∆ϕ
∆ ≈
⇒ diện tích hình quạt cong AOB
( ) ( )
2 2b
n
i i
n
i 1
a
r r d
lim
2 2
→+∞
=
ϕ ∆ϕ ϕ ϕ
= =
∑
∫
18
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
0
2 2
2 2 2
2 2 2
0 0
2

π
π
ϕ + ϕ + ϕ
ϕ ϕ π
 
ϕ = + ϕ + =
 
 
∫
7.3/ Tính độ dài đường cong phẳng
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b],
»
AB
là đồ thị của
f(x).
Lấy trên cung
»
AB
những điểm
( )
( )
( )
( )
( )
( )
o o o 1 1 1 n n n o n
M x ,f x , M x ,f x ,..., M x ,f x with x a, x b= =
.
Ta gọi độ dài s của cung
»

s lim 1 f c . x 1 f x .dx
+ +
→
=
+ + +
+
+ + +
→
=
= ⇒ =
= − − = ∆ ∆
⇒ = ∆ + ∆
∆ = − = ∆ ≤ ≤ ⇒ = + ∆
⇒ = + ∆ = +
∑
∑
uuuuuuuur
∫
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
b
'
' ' '2 '2
'
a
Truong hop duong cong cho duoi dang tham so : x x t , y y t , t a,b

'2 2 2
0 0 0
x
2 2 2 2 2
0
2 2 2 2 2
2 2 2
x
Ex : Calculate do dài cung parabol : y , p 0
2p
lay tu goc toa do den diem M có hoành do x :
x 1
s 1 y x .dx 1 .dx x p .dx
p p
1
x. x p p .ln x x p
2p
1
x. x p p .ln x x p ln p
2p
1
x. x p p .ln
2p
= >
 
= + = + = +
 
 
 
= + + + +

2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
dx
* set x a t x x a t x
x a
t a
t 2t.x x x ,
2t
t a .2t 2t t a
4t 2t 2a t a
dx dt dt dt
4t 2t
2t
t a
dt
dx dt
2t
ln t C ln x x a C
t
t a
x a
t
2t
+ = − ⇒ + = −

x .dx x a a
I x. x a x. x a dx
x a x a
a .dx
I x. x a x a dx x. x a I a .ln x x a
x a
2I x. x a a .ln x x a
1
I x. x a a .ln x x a
2


= +
= + ⇒ = =

=

+

+ −
⇒ = + − = + −
+ +
= + − + + = + − + + +
+
⇒ = + + + +

⇒ = + + + +


∫

π π
π π
π
= − = − ≤ ≤ π
= + = − +
 
−
 
 
= − =
= = = − =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
7.4/ Tính thể tích vật thể
Cho 1 vật thể A giới hạn bởi 1 mặt cong và 2 mặt phẳng x = a, x = b, a < b
Giả sử ta biết diện tích S thiết diện của vật thể trên mặt phẳng vuông góc với trục Ox là S
= S(x), trong đó x là hoành độ giao điểm mặt phẳng cắt trục Ox, S(x) liên tục trong đoạn
[a, b], a ≤ x ≤ b . Ta sẽ định nghĩa thể tích vật thể trên. Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ
bởi các điểm chia:
o 1 n
a x x ... x b= < < < =
Qua mỗi điểm chia
i
x
ta dựng 1 mặt phẳng vuông góc trục Ox, các mặt phẳng đó chia vật
thể A thành n vật thể nhỏ. Trên mỗi đoạn
[ ]
i i 1 i
x ,x lay 1 diem c

2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
x y z
Ex : Tính the tích cua elipxoit : 1
a b c
Cat elipxoit boi 1 mat phang vuong góc voi truc Ox
tai diem có hoành do x a,a
y z x
se dc thiet dien là 1 elip có pt : 1
b c a
+ + =
∈ −
+ = −
( )
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
a
a a
2 3
2 2 2
2 2 2
a 0

b
2 2 2
a
S x .y .f x V f x .dx= π = π ⇒ = π
∫
Tương tự, nếu hình thang cong CcdD giới hạn bởi đường x = g(y), y ∈ [c, d], trục Oy, thì
thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình thang cong khi cho nó quay quanh trục Oy được tính
theo công thức:
( )
d
2
c
V g y .dy= π
∫
22
( )
( ) ( )
2 2
2 2
a
2
2 2 2 2
2
a
a a
2 2
2 2 2 2
2 2
a 0
a

∫
∫ ∫
7.6/ Tính diện tích mặt tròn xoay
Xét cung
»
AB
, đồ thị của hàm số y = f(x), x ∈ [a, b], với f(x),
( )
'
f x
liên tục trong [a, b],
cho cung
»
AB
quay quanh trục Ox và tính diện tích mặt tròn xoay này.
Lấy trên cung
»
AB
những điểm
( )
( )
( )
( )
( )
( )
o o o 1 1 1 n n n o 1 2 n
M x ,f x , M x ,f x ,..., M x ,f x , a x x x ... x b= < < < < =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )

b
n
'2 '2
i i i
n
i 1
a
i i i 1
Do dó diên tích cua mat tròn xoay là :
S lim 1 f c . f x f x . x
lim 2 . f c 1 f c . x 2 f x 1 f x .dx
2 f c f x f x
+
→+∞
=
→+∞
=
+
= π + + ∆
= π + ∆ = π +
≈ +
∑
∑
∫
23
Trường hợp đường cong có pt x = g(y), g(y) liên tục trong [c, d] thì điện tích mặt tròn xoay
sinh ra bởi cung của đồ thị x = g(y) quay quanh trục Oy là:
( ) ( )
d
'2

1 1 1
2 2
a a
a a a
2
2 2
2 2
2 2
a a a
x
Trong ca 2 truong hop ta có : y
a x
x
S 2 y x . 1 y x 2 b a x . 1 .dx
a x
a dx
2 b a x . .dx 2 ab 2 a dx
a x
a x
− −
− − −
=
−
 
 
⇒ = π + = π + − +
 
 
 
−

a x
dx
2 ab 2 a dx
a x
dx dx
S S S 4 ab 8 ab
a x a x
1 x
because f x là hàm chan S 8 ab. arcsin 4 ab
a
a x
− −
− −
−
 
 
= π + = π − − +
 
 
 
−
= π − π
−
⇒ = + = π = π
− −
 
 
 
= ⇒ = π = π
 

A f c x x f x .dx
+ +
=
+
=
= ≈ − ∈ −
⇒ ≈ − =
∑
∑
∫
b/ Sơ đồ vi phân:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
i
b
a
Neu có A f c . x A f x . x o x
dA f x .dx dA là vi phân cua A A f x .dx
∆ ≈ ∆ ⇒ ∆ = ∆ + ∆
⇒ = ⇒ =
∫
Ex: Lực đẩy giữa 2 điện tích cùng dấu
1 2
e and e
đặt cách nha 1 khoảng r dc cho bởi công
thức:
1 2
2
e .e
F

= = ⇒ = =
Vậy công của lực đẩy F sinh ra khi
2
e
di chuyển từ điểm
1
M
đến
2
M
là:
b b
b
1 2
1 2 1 2
2
a
a a
e .e
1 1 1
A dA .dx e .e . e .e
x a b
x
   
= = = − = −
   
   
∫ ∫
9/ Tích phân suy rộng
9.1/ Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn: