95
.
Chơng 9. dẫn nhiệt ổn định

9.1. định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt

9.1.1 Định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt

Dựa vào thuyết động học phân tử, Fourier đã chứng minh định luật cơ bản
của dẫn nhiệt nh sau:
Vec tơ dòng nhiệt tỷ lệ thuận với vectơ gradient nhiệt độ.
Biểu thức của định luật có dạng vectơ là:
,dtagrq =
dạng vô hớng là:

.
tn
dt
gradtq ==

Theo định luật này, nhiệt lơng Q đợc dẫn qua diện tích F của mặt đẳng
nhiệt trong 1 giây đợc tính theo công thức:




=
F
dF.
n

9.2.1. Nội dung của phơng trình vi phân dẫn nhiệt

Phơng trình vi phân dẫn nhiệt là phơng trình cân bằng nhiệt cho một
phân tố bất kỳ nằm hoàn toàn bên trong vật dẫn nhiệt.

9.2.2. Thiết lập phơng trình

Xét cân bằng nhiệt cho phân tố dV bên trong vật dẫn, có khối lợng riêng
, nhiệt dung riêng C
v
, hệ số dẫn nhiệt , dòng nhiệt phân tố là
q
, công suất phát
nhiệt q
v
.

96
Theo định luật bảo toàn năng lợng, ta có:
[Độ biến thiên nội năng của dV] = [Hiệu số nhiệt lợng (vào-ra) dV] +
[lợng nhiệt sinh ra trong dV], tức là:

+=


d.dV.qd.dV.divq
t
C.dV.
vv
,

zy
t
yx
t
x
2
=










+













+




+


+


=
z) , r, trụ dộ toạ (trong ,
z) y, x,với góc vuông dộ toạ (trong ,
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
z
tt
r

=


v
2
v
v
2
v
q
ta
C.
q
t
C.
t

với a =
v
C.


, m
2
/s., đợc gọi là hệ số khuyếch tán nhiệt, đặc trng cho mức độ
tiêu tán nhiệt trong vật.

9.2.3. Các dạng đặc biệt của phơng trình vi phân dẫn nhiệt với q
v
= 0

dx
td
2
2
=+
.

9.3. Các điều kiện đơn trị

97

Phơng trình vi phân dẫn nhiệt nói chung là phơng trình đạo hàm riêng
cấp 2, chứa ẩn là hàm phân bố nhiệt độ t(x, y, z, ). Nghiệm tổng quat của nó chứa
nhiều hằng số tuỳ ý chọn.
để xác định duy nhất nghiệm riêng của phơng trình vi phân dẫn nhiệt, cần
phải cho trớc một số điều kiện, gọi là các điều kiện đơn trị.

9.3.1. Phân loại các điều kiện đơn trị

Tuỳ theo nội dung, các điều kiện đơn trị bao gồm 4 loại sau:
- Điều kiện hình học cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định kích
thớc, hình dạng, vị trí của hệ vật V.
- Điều kiện vật lý cho biết luật phân bố các thông số vật lý theo nhiệt độ tại
mọi điểm M V, tức cho biết (, C
v
, , a . . . ) = f(t, M V).
- Điều kiện ban đầu cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm = 0 tại
mọi điểm M V, tức cho biết t(M V, = 0) = t(x, y, z).
- Điều kiện biên cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc cân bằng nhiệt tại mọi
điểm M trên biên W của hệ V tại mọi thời điểm . Nếu ký hiệu dòng nhiệt q

bài toán. Riêng điều kiện ban đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định.

9.3.2. Các loại điều kiện biên

Tại mỗi mặt biên W
i
W = W
i
của vật V, tuỳ theo cách phân bố nhiệt độ
hoặc cách trao đổi nhiệt với môi trờng khác nhau, điều kiện biên có thể đợc cho
theo các loại sau đây:
- ĐKB loại 1: cho biết luật phân bố nhiệt độ tại mọi điểm M
1
W
1
ở dạng:
t
w1
=
t(M
1
,

).
- ĐKB loại 2: cho biết dòng nhiệt qua điểm M
2
W
2
là:
q(M

3
W
3
có dạng:
q

= q

hay -.t
n
.(M
3
,

) = [t(M
3
,

) t
f
].
- ĐKB loại 4: cho biết biên W
4
tiếp xúc với môi trờng rắn có phân bố
nhiệt độ t
4
và luật cân bằng nhiệt tại W
4
W
4

bằng nhiệt tại điểm M
5
trên biên W
5
di động sẽ có dạng:
q

= q


+ q
r
hay -t
n
(M
5
,

) = -t
n
(M
5
,

) + r


d
dx
.

,

) =
0
T
4
(M
6
,

).
- ĐKB loại 7: cho biết biên W
7
tiếp xúc với chất khí có nhiệt độ T
k
, ở đó có
sự trao đổi nhiệt bằng cả đối lu và bức xạ. Phơng trình cân bằng nhiệt tại W
7

W
7
có dạng:
q

= q

+ q
r
hay -t
n

)TT/()TT(
kw
4
k
4
w0
+=
, đợc gọi là hệ
số toả nhiệ phức hợp. ĐKB loại 6 và loại 7 là những ĐKB không tuyến tính.

9.3.3. Mô hình bài toán dẫn nhiệt

Bài toán dẫn nhiệt có thể đợc mô tả bằng một hệ phơng trình vi phân (t)
gồm phơng trình vi phân dẫn nhiệt và các phơng trình mô tả các đIều kiện đơn
trị nh đã nêu ở mục (9.3):





=


dkdt các tả mô trinh phong Các

ta
t
)t(
2


(3)
(2)
(1)
2
1
2
2
t)(t
t)0(t
0
dx
td
)t(

9.4.1.2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x)

Nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân dẫn nhiệt (1) có dạng
t(x) = C
1
x + C
2
. Các hằng số C
1
, C
2
đợc xác định theo các ĐKB (2) và (3):


).

9.4.1.3. Tính dòng nhiệt dẫn qua vách

Theo định luật Fourier ta có:

R
t
tt
dx
dt
q
21

=



==
, (W/m
2
),
với R =


, (m
2
K/W) gọi là nhiệt trở của vách phẳng.

9.4.2. Vách n lớp, biên loại 1