CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC

I. Đònh nghóa
Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M
trên đường tròn lượng giác mà sđ

AM = β
với
02≤ β≤ π

Đặt
k2 ,k Zα=β+ π ∈
Ta đònh nghóa:
sin OKα=

cos OHα=

sin
tg
cos
α
α=
α
với
co

s 0α≠
cos
cot g
sin
α

π

()
o
90
2
π

sinα

0
1
2

2
2

3
2

1
cos
α

1
3
2

2
2

2
2
1
1tg
cos
+α=
α
với
()
kkZ
2
π
α≠ + π ∈

2
2
1
tcotg
sin
+=
α
với
( )
kkZα≠ π ∈

IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai
π
; phụ chéo)
a. Đối nhau: và
−α


c. Sai nhau : vaø
π+

π
α α
( )
()
()
()
sin sin
cos cos
tg t g
cot
g cot g
π+α =− α
π+α =− α
π+α = α
π+α = α

d. Phuï nhau: vaø
α
2
π
−α

sin cos
2
cos sin
2

π
:
α
vaø
2
π
+α

sin cos
2
cos sin
2
t
g cot g
2
cot
g tg
2
π
⎛⎞
+α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞

()
sin a b sinacosb sin b cosa
cos a b cosacos b sinasin b
tga tgb
tg a b
1tgatgb
±= ±
±=
±
±=
m
mVI. Công thức nhân đôi
=
=−=− =
=
−
−
=
22 2 2
2
2
sin2a 2sin acosa
cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1
2tga
tg2a
1tga
cotg a 1

=+
−
=
+IX. Công thức chia đôi
Đặt
a
tt
g
2
=
(với
ak
)
2≠π+ π
2
2
2
2
2t
sina
1t
1t
cosa
1t
2t
tga
1t

+−
+=
+−
−=−
+−
+=
+−
−=
±
±=
±
±=XI. Công thức biển đổi tích thành tổng
() ()
() ()
()()
1
cosa.cosb cos a b cos a b
2
1
sina.sin b cos a b cos a b
2
1
sina.cosb sin a b sin a b
2
=⎡ + + −⎤
⎣⎦
−

sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1
sin a cos a sin acos a 1
1 2sinacosa sinacosa 1
3sin acos a
+−= + − +
=+ − −
=− − −
=−
−

Do đó:
44 22
66 22
sin a cos a 1 2sin acos a 2
sin a cos a 1 3sin acos a 3
+−−
==
+−−Bài 2: Rút gọn biểu thức
()
2
2
1cosx
1cosx
A1
sin x sin x
⎡ ⎤
−

2
21 cosx
1cosx
A.
sin x sin x
−
+
⇔=

( )
2
2
33
21 cosx
2sin x 2
A
sin x sin x sinx
−
⇔= = =
(với
sinx 0
≠
)
Ta có:
22
13
sin x 1 cos x 1
44
= −=−=


b.
2cotgx
B
tgx1 cotgx1
+
=+
−−
1a. Ta có:
4422
A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +
2

( ) ( ) ( )
()
2
42 22 2
42424
A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x
A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x
⇔= −− +− + −
⇔= −− + + − +−
2

A2⇔=
(không phụ thuộc x)

b. Với điều kiện

( )
21tgx
1tgx
B1
tgx 1 tgx 1
−−
−
⇔= = =−
−−
(không phụ thuộc vào x)

Bài 4: Chứng minh
()
2
22
22
222
1cosa
1cosa cosbsinc
1cot
g bcotg ccotga1
2sina sin a sin bsin c
⎡⎤
−
+−
− +−=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
−

()
2
2
1cosa
1cosa
1
2sina sin a
⎡⎤
−
+
−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

()
2
2
1cosa
1cosa
1
2sina 1 cos a
⎡⎤
−
+
=−
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦

Nên:
( )
tg A B tgC
+=−

tgA tgB
tgC
1 tgA.tgB
+
⇔=
−
−

tgAtgBtgCtgA.tgB.tgC⇔+=−+

Vậy:
PtgA.tgB.tgCtgAtgBtgC==++

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
tgA,tgB, tgC
ta được
3
tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC
++≥

3
P3P⇔≥

32
P3

84
y2sinxcos2x=+
b/
4
ysinxcos=−x

a/ Ta có :
4
4
1cos2x
y2 cos2x
2
−
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

Đặt với thì
tcos2x= 1t1−≤ ≤
()
4
4
1
y1t
8
=−+t

=>
()

⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
7

Do đó :
∈
=
x
y3
Max
và
∈
=
x
1
y
Min
27b/ Do điều kiện :
sin
và
co
nên miền xác đònh
x 0≥ s x 0≥
π
⎡⎤

−
=−<
−
3
7
4
8
t
y' 1 0
2. 1 t

[
)
t0;1∀∈

Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy :
( )
∈
= =
xD
max y y 0 1,

( )
∈
= =−
xD
min y y 1 1Bài 7: Cho hàm số

x∀
()
fx 0x R≥∀∈
⇔

2
1
1tmt0
2
−−≥
[

]
t1,1−∀∈

⇔

()
2
gt t 2mt 2 0=+ −≤
[ ]
t1,∀∈− 1
t

Do nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t
1
, t
2

2

2m 1 0
2m 1 0
−−≤
⎧
⎨
−≤
⎩
⇔

1
m
2
1
m
2
−
⎧
≥
⎪
⎪
⎨
⎪
≤
⎪
⎩

⇔

11
m

⇔

1
m
2
1
m
2
−
⎧
≥
⎪
⎪
⎨

⎪
≤
⎪
⎩
m⇔− ≤ ≤
11
22Bài 8 : Chứng minh
4444
357
A sin sin sin sin
16 16 16 16 2
π πππ
22
12sin cos
= −αα2
1
1sin2
2
= −α