CHƯƠNG X:
HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC

I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN
Cho
ABC
Δ
có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của



A,B,C, R
là bán kính
đường tròn ngoại tiếp
ABC
Δ
, S là diện tích
ABC
Δ
thì

===
=+− =+−
=+− =+−
=+− =+−
222 22
222 22
222 22
abc
2R
sin A sin B sin C

()
()
⇔−=
⇔− −− =
⇔−=
⇔− + − =
⇔+ −=
⇔ −= += >
⇔−=∨−=π−
⇔ =
22
sin A sin B sin B sin C
11
1 cos 2A 1 cos 2B sin B sin C
22
cos 2B cos 2A 2 sin B sin C
2 sin B A sin B A 2 sin B sin C
sin B A sin A B sin B sin C
sin A B sin B do sin A B sin C 0
ABBAB Bloại
A 2B

Cách khác:
−=
⇔− +=
+− + −
⇔=
22
sin A sin B sin B sin C
(s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin C

=Ta có
−−
=
22 22 22
222
ab 4RsinA4RsinB
c4RsinC()()
()()
()() ()
()
()
−−−
−
==
−+ −
−
==
+− −
==
+= >
22
22
22
2

A B1 A B A B
tg tg 3sin sin cos cos
223 22 22A B
do cos 0,cos 0
22
⎛⎞
>>
⎜⎟
⎝⎠()
A BABA
2sin sin cos cos sin sin
22 22 22
AB AB AB
cos cos cos
22 2
AB AB
cos 2cos *
22
⇔=−
+− +
⎡⎤
⇔− − =
⎢⎥
⎣⎦

ab2c
2R sin A sin B 4R sin C

+−
⇔=
−++
⎛⎞
⇔== =
⎜⎟
⎝⎠
A BAB CC
2sin cos 4sin cos
22 22
A BC AB AB
cos 2 sin 2 cos do sin cos
22 2 2
C
2

⇔+= −
⇔=
A BAB AB A
cos cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin
22 22 22 2
AB AB
3sin sin cos cos
22 22
B
2


sin A C
2cosB
Ta có: * sin B 2sin A sin C cos B
sin A sin C sin B
sinB cosA C cosA C cosA C
sin B cos A C cos A C cos A C
1
sin B cos B cos 2A cos 2C
2
1
sin B 1 sin B 1 2sin A 1 2sin C
2
2sin B sin A sin C
+
⇔=⇔=
⇔=− +−−−+
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
⇔= +−− +
⇔=− +
⎡ ⎤
⇔=− −− +−

⎣ ⎦
⇔=+
⇔
22 2
222
222
222

1
abc4bcsinA.cotgA
2
abc4ScotgA
bca
Do đó cotgA
4S
acb abc
Tương tự cotgB , cotgC
4S 4S
bca abc acb
Do đó: * 2
4S 4S 4S
2b a c
Bài 188: Cho
ABC
Δ
có
22
sin B sin C 2sin A
+=
2
Chứng minh

0
BAC 60 .
≤

22 22
22 2
22
0
2b c b c
bca
cos A ( do * )
2bc 4bc
bc 2bc1
do Cauchy
4bc 4bc 2
Vạây : BAC 60 .

Cách khác:
đònh lý hàm cosin cho
=+− ⇒+=+
222 222
a b c 2bc cos A b c a 2bc cos A

Do đó
(*) a bc cos A a
abc
cos A ( do Cauchy)
bcbc
⇔+ =
+
⇔== ≥
22
222
22

Ta có: cotgA
4S
acb abc
Tương tự: cotgB ,cotgC
4S 4S
abc abc
Do đó cot gA cot gB cot gC
abc
4S
4
4R
abc
R
abc
2

Bài 190:
Cho
ABC
Δ
có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2.
Giả sử A < B < C.
Chứng minh:
= +
111
abcDo A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A
24

11 1 1
Ta có:
b c 2R sin B 2R sin C
11 1
24
2R
sin sin
77
42
sin sin
1
77
24
2R
sin sin
77
3
2sin .cos
143
77
do sin sin
23
2R 7 7
sin .sin
77
cos
11
7
R2RsinA
2sin .cos
Do đònh lý hàm sin:
abc
2R
sin A sin B sin C
===

nên :
()
sin A sin B sin C
*
12
3
==abc
2R 4R
2R 3
bc
ba3
a
2
3
c2a
⇔= =
⎧
=
⎪

Δ
=
==
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=
⎪
⎩
⎧
=
⎪
⇔
⎨
=
⎪
⎩
2

Ghi chú:
Trong tam giác ABC ta có
a b A B sin A sin B cos A cos B=⇔ = ⇔ = ⇔ =II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
Cho UABC có trung tuyến AM thì:

α
0
a/ Chứng minh:
22
bc
cotg
−
4S
α=

b/ Giả sử
α=
, chứng minh: cotgC – cotgB = 2
0
45

a/ UAHM vuông
HM MB BH
cotg
AHAH
−
⇒α= =

()
aBH
cotg 1
2AH AH
⇒α= −