CHƯƠNG VIII

PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM

Áp dụng Nếu
A 0B0
AB0
≥∧ ≥
⎧
⎨
+=
⎩
thì A = B = 0

Bài 156 Giải phương trình:

22
4cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + +=Ta có:
()( )
⇔−++
⎧
=
⎪
⎪
⇔

1
tgx
3
xk2,k
6
=Bài 157
Giải phương trình:

( )
2
8cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+− +=Ta có:
() ( )
⇔ +++−* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0=

()
()
⇔+++−
⇔++−=
⎧⎧
=− =−
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪

3


=






= = = +



= +


1
cos 4x
2
22
x +m2hay xm2hayxm2,m
33
2
xm2,m
3

(ta nhaọn
= k1
vaứ loaùi k = 0 )

()
()
+ =

+=



+ =


22 2
2
242
2
222
1
Vaọy: * sin x sin 3x sin x sin 3x vaứ sin 4x 0
4
111
sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
244
11
sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
24




+=


==


=

=


sin 4x 0
sin 4x 0
1
sin 3x 0 sin x
2
sin x 0 (VN)
sin 3x 1





=



=

3
sin 4x 0
1

sin 4x 0
5
xk2 k2,k
66
5
xk2x k2,k
66 Trường hợp 2 Phương pháp đối lập
Nếu
A MB
AB
≤≤
⎧
⎨
=
⎩
thì
A BM= =

Bài 159 Giải phương trình:
−=+
44
sin x cos x sin x cos x (*)Ta có: (*)
⇔−=+
22

cos 2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 0
sin 2x 0 (cos 2x 1 )
sin 2x 2 sin 2x
cos 2x 1
xk,k
2

Cách khác
Ta có

−≤ ≤≤+
44 4
x cos x sin x sin x sin x cos xsin

Do đó

=
⎧
⎪
⇔⇔=
⎨
=
⎪
⎩
4
cos x 0
(*) cos x 0

62
≥−
sin 3x 1 sin3x4
+ ≥

Vậy
22
4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+
Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi
⎧
=
⎧
⎪
=
=⇔
⎨⎨
= −
⎩
⎪
=−
⎩
2
2
2
sin 3x 1
sin x 1
sin x 1
sin 3x 1
sin 3x 1


Điều kiện:
si

n x 0 cos x 0
≥∧ ≥
Ta có: (*)
()( )
( )
( )
22
cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔− + = − +()
()
−=
⎡
⎢
⇔
+=+ +
⎢
⎣
cos x sin x 0 (1)
1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2)

Ta có:

(1)
π
⇔=⇔=+π∈

13
1sin2x
22
+≤

Do đó (2) vô nghiệm
Vậy: (*)
π
⇔=+π∈
xk,k
4Bài 162: Giải phương trình:
3 cos x cos x 1 2(*)−− += Ta có: (*)
3cosx 2 cosx1⇔− =+ +()
3cosx 5cosx4cosx1
2cosx 1 4 cosx 1
⇔− =+ + +
⇔− + = +

Ta có:
( )
2cosx 1 0 x−+≤∀

222
1cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2
+− ≤ +− =

Dấu = xảy ra
2
cos3x 2 cos 3x⇔=−22
cos3x 0
cos 3x 2 cos 3x
cos3x 0
cos3x 1
cos3x 1
≥
⎧
⇔
⎨
=−
⎩
≥
⎧
⇔⇔
⎨
=±
⎩
=
Mặt khác:
()

2
x2m,m
g)Bài 164: Giải phương trình:
22 5
tg x cotg x 2sin x (*)
4
π
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠ Điều kiện:
sin 2x 0
≠

•
Do bất đẳng thức Cauchy:
22
tg x cotg x 2+ ≥

dấu = xảy ra khi
tgx cotgx=

•
Mặt khác:

4
π
⎛⎞
+≥≥ +
⎜⎟
⎝⎠

Dấu = của (*) xảy ra
tgx cotgx
sin x 1
4
=
⎧
⎪
⇔
π
⎨
⎛⎞
+ =
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩