Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
=+ π
⎡
=⇔
⎢
=π− + π
⎣
uvk2
sin u sin v
uvk2

cos u cos v u v k2
=⇔=±+π

π
⎧
≠+π
⎪
=⇔
⎨
⎪
=+ π
⎩
uk
tgu tgv
2
uvk'



cos u 1 u k2
= ⇔= π

()

kZ∈
sin u 1 u k2
2
π
=− ⇔ =− + π

cos u 1 u k2
= −⇔ =π+ π

Chú ý :
sin u 0 cos u 1
≠⇔ ≠±
cos u 0 sin u 1
≠⇔ ≠±Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002)
[ ]
x0,14∈
nghiệm đúng phương trình Tìm
( )
cos 3x 4 cos 2x 3 cos x 4 0 *−+−=

Ta có (*) :

=+π∈Z

Ta có :
[]
x0,14 0 k 1
2
4
π
∈⇔≤+π≤

⇔

k14
22
ππ
−≤π≤ −

⇔

1141
0, 5 k 3, 9
22
−=−≤≤−≈
π

Mà
k
nên
Z∈
{ }

⎣⎦
=
)

⇔

()(
2cosx 1 sinx cosx 0− +=

⇔

1
cos x sin x cos x
2
=∨ =−

⇔

cos x cos tgx 1 tg
34
ππ
⎛⎞
=∨=−=−
⎜⎟
⎝⎠

⇔

()
ππ


⇔

5x x
4 cos cos x cos 0
22
=

⇔

5x x
cos 0 cos x 0 cos 0
22
= ∨=∨ =

⇔

ππ π
=+π∨=+π∨=+π
5x x
kx k k
22 2 22

⇔

()
ππ π
=+ ∨=+π∨=π+π ∈
2k
xxkx2,


⇔

4 cos 2x cos5x cos x 0
=

⇔

cos 2x 0 cos 5x 0 cos x 0
= ∨=∨=

⇔

ππ π
=+π∨ +π∨=+π∈
2x k 5x k x k , k
22 2

⇔

ππ π π π
=+ ∨= + ∨=+πk
kk
xx x
42 105 2

∈
,k

Bài 32 : Cho phương trình


⇔

−+ =−−
11 3
sin x cos 4x cos 4x 2 sin x
22 2

⇔

1
sin x cos 4x cos 4x 1 2sin x 0
2
+++=

⇔

⎛⎞⎛⎞
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
11
cos 4x sin x 2 sin x 0
22

⇔

()
1
cos 4x 2 sin x 0

⎢
⎢
π
⎢
= +π
⎢
⎣
xk
6
7
x2
6
2
h

Ta có :
− <x1 3

⇔

⇔

3x13
−< − <
2x4− <<

Vậy :
2k2
6
π

6
4⇔

π π
−− < π< − ⇔− − < < −
π π
77172
2h24 h
6612
7
12

⇒
h = 0
⇒
π
=
7
x
6
.Tóm lại
−ππ
==
7
xhayx
66


33 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+=

Ta có : (*)
⇔

()( )
33 3 3 3
sin x 4 cos x 3 cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x−+ − =

⇔

33 3 3 33 3
4 sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4 sin x cos x sin 4x
−+− =
⇔

()
22 3
3sin x cos x cos x sin x sin 4x−=
⇔

3
3
sin 2x cos 2x sin 4x
2
=

⇔


( )
22 22
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *−=−

Ta có : (*)
⇔

()()()()
11 1 1
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
22 2 2
−−+=− −+

⇔

cos 6x cos 8x cos10x cos12x
+= +
⇔

2cos7xcosx 2cos11xcosx
=
⇔

( )
2cos x cos7x cos11x 0−=

⇔

cos x 0 cos7x cos11x
=∨ =


()( )
2cos x 1 sin 2x cos 2x 0+ −=

⇔

12
cos x cos sin 2x cos 2x
23
π
=− = ∨ =

⇔

2
xk2tg2x1
34
tg
π π
=± + π∨ = =

⇔

()
π ππ
=± + π∨ = + ∈
2
xk2xk,k
382
Z

( )
xk2kZ=π∈Bài 37 : Giải phương trình
( )
33 2
4 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0 *+−− =

Ta có : (*)
⇔

()( )
22
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3cos x 0
2
− −−=

⇔

() ( )
⎡⎤
−− − − =
⎣⎦
22
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 0
2
=
=


2x k2
3
tgx 1
π
⎡
=± + π
⎢
⎢
=
⎣

⇔

xk
3
xk
4
π
⎡
= ±+π
⎢
⎢
π
⎢
= +π
⎢
⎣

( )
kZ∈

=−
⎡
⎢
π
⎢
=− =
⎣

⇔

tgx 1
2
xk
3
=−
⎡
⎢
π
⎢
=± + π
⎣
2

⇔

xk
4
2
xk2
3

()( )( )( )
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 1 2sinx 0+ +−++ − =

⇔

() ( )
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 0+ +−+−
⎡⎤
⎣⎦
=
=

⇔

()()
3cos4x 1 2sinx 1 0−+
⇔

1
cos 4x 1 sin x sin
26
π
⎛⎞
=∨ =− = −
⎜⎟
⎝⎠

⇔

ππ

⇔

()( )
6262
sin x 1 2 sin x cos x 2 cos x 1 0
−− −=

⇔

−=
66
sin x cos 2x cos x.cos 2x 0
⇔

()
66
cos 2x sin x cos x 0
−=
⇔

66
cos 2x 0 sin x cos x
=∨ =
⇔

6
cos 2x 0 tg x 1
= ∨=

⇔

cosx.cos2x.cos4x.cos8x *
16
=

Ta thấy
xk
= π
không là nghiệm của (*) vì lúc đó
cos x 1, cos 2x cos 4x cos 8x 1
=± = = =

(*) thành :
1
1
16
±=
vô nghiệm
Nhân 2 vế của (*) cho
16sin x 0
≠
ta được
(*)
⇔
và
()
16sinxcosx cos2x.cos4x.cos8x sinx=
sin x 0
≠
⇔
và

πππ
=∨=+ ∈
k2 k
xx ,k
15 17 17
Z

Do : không là nghiệm nên
=π
xh
≠
k 15m
và
()
+≠ ∈2k 1 17n n, m Z

Bài 42: Giải phương trình
()
3
8cos x cos 3x *
3
π
+=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Đặt
tx xt
33