CHƯƠNG IX:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ

Bài 173: Giải hệ phương trình:
( )
()
2cosx 1 0 1
3
sin 2x 2
2
−=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩Ta có:
()
1
1cosx
2
⇔ =()
xk2k

π
⎛⎞
=−+π=−≠
⎜⎟
⎝⎠
3
2
(loại)
Do đó nghiệm của hệ là:
2,
3
π
= +π∈
xkkBài 174: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 1
xy
3
+ =
⎧
⎪
π
⎨
+=
⎪
⎩
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
π
⎪⎪
+=
+=
⎪
⎪
⎩
⎩
xy
xy
2.sin .cos 1
cos 1
62
2
xy
xy
3
34
2
2
3
3
−

⇔∈
⎨
π
⎪
=−π
⎪
⎩
xk
kZ
ykCách 2:
Hệ đã cho

3
3
31
sin sin 1
cos sin 1
3
22
3
3
sin 1
2
3
32
2
6

⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
ππ
⎛⎞
⎪⎪
+=
+ =+ π
⎜⎟
⎪
⎪
⎩
⎝⎠
⎩
π
⎧
=+ π
⎪
⎪
⇔∈
⎨
π
⎪
=− π
⎪
⎩

yx

2cos cos 2 (2)
22
+−
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
+−
⎪
=
⎪
⎩

Lấy (1) chia cho (2) ta được:

+
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
xy xy
tg 1 ( do cos 0
22
−
=
không là nghiệm của (1) và (2) )

24

⎜⎟
⎝⎠
π
⇔− = π∈
=

x
xhh

Do đó: hệ đã cho
()
2,
4
2,,
4
π
⎧
=+ π∈
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
= +− π ∈
⎪
⎩


xhh

⇔
⎨
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⎪
++ +=
⎜⎟ ⎜⎟
⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩
sin x cos x sin y cos y 0
sin x cos x sin y cos y 2 2
2sin x 2sin y 0
44
2sin x 2sin y 2 2
44
sin sin 0
44
sin sin 0
44
sin 1
4
sin sin 2
44
sin 1
4
2
42
2
42

⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎪⎪
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎪⎪
π
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞
⎩
+=
⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎩
⎧
ππ
+=+π
⎪
⎪
ππ
⎪
⇔+=+π
⎨
⎪
⎪
ππ
⎛⎞⎛⎞
−+ −=
⎜⎟⎜⎟

⎪
⎩
tgx tgy tgxtgy 1 (1)
cos2y 3cos2x 1 (2)

Ta có:
tgx tgy 1 tgxtgy− =+()
2
1tgxtgy 0
tg x y 1
tgx tgy 0
1tgxtgy 0
1tgx 0(VN)
⎧
+=
−=⎧
⎪⎪
⇔∨−=
⎨⎨
+≠
⎪
⎩
⎪
+=

⎛⎞
+ ++ π=−
⎜⎟
⎝⎠cos 2 3 s 2 1
31 1
s2 cos2 sin2
222 6
yiny
in y y y
⇔− =−
π
⎛⎞
⇔−=⇔−
⎜⎟
⎝⎠
1
2
=()
5
222 2
66 6 6
y h hay y h h Z
ππ π π
⇔−=+π −=+π ∈

⎪
⎩Bài 177: Giải hệ phương trình
3
3
cos x cos x sin y 0 (1)
sin x sin y cos x 0 (2)
⎧
−+=
⎪
⎨
−+=
⎪
⎩

Lấy (1) + (2) ta được:
33
sin x cos x 0+ =

33
3
sin x cos x
tg x 1
tgx 1
xk(k
4
⇔=−
⇔=−
π
⎛⎞
=− − + π
⎜⎟
⎝⎠
1
sin k
24⎧
⎪
⎪
=
⎨
⎪
−
⎪
⎩
2
(nếu k chẵn)
4
2
(nếu k lẻ)
4

Đặt
2

yh2,hyh2,hII. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG

Bài 178:
Giải hệ phương trình:
()
()
1
sin x.cos y 1
2
tgx.cotgy 1 2
⎧
=−
⎪
⎨
⎪
=
⎩Điều kiện:
cos x.sin y 0≠

Cách 1: Hệ đã cho
() ()
11
sin x y sin x y
22

⎪
⇔
⎨
−=
⎪
⎩
sin x y sin x y 1
sin x cos y sin y cos x 0
sin x y sin x y 1
sin x y 0
−( )
()
+=−
⎧
⎪
⇔
⎨
−=
⎪
⎩
π
⎧
+=−+ π ∈
⎪
⇔
⎨
⎪

y2kh,k,h
42
(nhận do sin y cos x 0)