Chuyên đề 9:

HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC

TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Các ký hiệu:
• A, B, C: là các góc đỉnh A, B, C
• a, b, c : là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C
• h
a
, h
b
, h
c
: là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C
• m
a
, m
b
, m
c
: là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C
• l
a
, l
b
, l
c
: là độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A, B, C
• R : là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
• r : là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

⎧
==
==
⎩
⎨
⎧
==
==
=
+=
=
+=
==
gBbtgCbc
gCctgBcb
BaCac
CaBab
cbha
cbh
cbh
cba
cabab
cot..
cot..
.7
cos.sin.
cos.sin.
.6...5
111
.4

II.
Các hệ thức lượng trong tam giác thường
1.
Đònh lý hàm số CÔSIN:
Trong tam giác ABC ta luôn có : Cabbac
Bcaacb
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
−+=
−+=
−+=47c
b
a
A
B
C


2.
Đònh lý hàm số SIN:
Trong tam giác ABC ta có : R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
=== Hệ quả: Với mọi tam giác ABC, ta có: CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 === c
a
b
O
A
B

=
−
+
=
−
+
=48 4. Đònh lý về diện tích tam giác:

Diện tích tam giác ABC được tính theo các công thức sau: ))()((.5
.4
4
.3
sin
2
1

c
a
b
m
a
M
B
A
C
c
a
b
h
a
H
B
A
C

5. Đònh lý về đường phân giác: ba
C
ab
l
ca

Phương pháp 1
: Biến đổi vế này thành vế kia
Phương pháp 2
: Xuất phát từ một một hệ thức đúng đã biết để suy ra đẳng thức cần chứng minh
VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1
: Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
AB
sin A sinB sinC 4.cos .cos .cos
22
++=
C
2

b)
222
sin A sin B sin C 2 2cosA.cosB.cosC++=+
Ví dụ 2
: Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (
tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC++=
Δ
ABC không vuông)
b)
AB BC CA
tg .tg tg .tg tg .tg 1
22 22 22
++
=

II. Các bất đẳng thức cơ bản :
1.
Bất đẳng thức Cauchy: 49

Cho
hai số không âm a; b
ta có :
2
ab
ab
+
≥

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b

Tổng quát
:
Cho
n số không âm a
1
,a
2
,...a
n
ta có :

12

Cho hai bộ số (, và ta có :

12
,...)
n
aa a
12
( , ,..., )
n
bb b222 222 2
11 2 2 1 2 1 2
( ... ) ( ... )( ... )
nn n n
ab ab ab a a a b b b+++ ≤+++ +++

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
12
12
...
n
n
a
aa
bb b
===
với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng


...
(
)(...)()(
2121
n
xxx
f
n
xfxfxf
nn
++
≤
+++

)2( ≥n
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
n
xxx === ...
21

2) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) > 0
);( bax ∈∀
(f là hàm lõm) thì
Với mọi ta có: );(,...,,
21
baxxx
n
∈

50