Trường THCS Lê Ninh
1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC:
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
1. Một số hệ thức:
1) c
2
= ac
’
, b
2
= ab
’
2) h
2
= b
,
c
,
3) ah = bc
4)
= +
2 2 2
1 1 1
h b c
5) a
2
= b
2
+ c
2

Chứng minh: AH = 3HI.
2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và
cắt đường thẳng DC ở F.
Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
AE AF a
+ =
GV : Vâ Trêng Thµnh
A
C
H
B
c
b
a
c
,
b
,
Trường THCS Lê Ninh
II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN:
1. Định nghĩa:
2. Tính chất:
- Một số hệ thức lượng giác cơ bản:
2 2
sin cos
sin cos 1; tg .cot g 1; tg ; cotg
cos sin
α α

α
< tg
α
; và cos
α
< cotg
α
.
HD: Xét tam giác ABC vuông tại A, B =
α
.
sinB =
AC
BC
; tgB =
AC
AB
Vì BC > AC nên
AC
BC
<
AC
AB
Suy ra sin
α
< tg
α
;
Chứng minh tương tụ ta được cos
α

o
.
Nên cos55
o
< sin50
o
< Cotg40
o
< tg70
o
NX: Nhờ có tính chất sin
α
< tg
α
mà ta có thể so sánh được các TSLG.
Bài 4: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:
a) M = sin
2
10
o
+ sin
2
20
o
+ sin
2
45
o
+ sin
2

.
GV : Vâ Trêng Thµnh
Trường THCS Lê Ninh
b) Biết tg
α
=
12
35
, hãy tính sin
α
, cos
α
, cotg
α
.
Bài 6: Cho biểu thức
2 2
1 2sin cos
A
sin cos
− α α
=
α − α
với
α
≠
45
o
.
a) Chứng minh rằng

.
NX. Nếu chi tg thì chia cả tử và mẫu cho sin.
Bài 7. Tìm x biết tgx + cotgx = 2.
HD.
Tìm 1 tỉ số lượng giác của góc đó.
sinx = cosx . Suy ra tgx = 1 = tg45
o
.
Vậy x = 45
o
.
4. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 20; AC = 21. Tính các TSLG của góc B và
góc C.
Bài 2:
a) Biết cos
α
=
3
4
, hãy tính sin
α
, tg
α
, cotg
α
.
b) Biết cotg
α
=

+ sin
2
47
o
+ sin
2
48
o
.
b) N = cos
2
15
o
- cos
2
25
o
+ cos
2
35
o
- cos
2
45
o
+ cos
2
55
o
- cos

+ (cos
α
+ sin
α
)
2
.
b)
2 2
(cos sin ) (cos sin )
cos .sin
α − α − α + α
α α
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB.
GV : Vâ Trêng Thµnh
Trường THCS Lê Ninh
a) Chứng minh răng:
a b c
sin A sin B sin C
= =
b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ?
III. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
1. Trong tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos của góc kề.
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề.
b asin B acosC ctgB ccotgC
c acosB asinC bctgB btgC
= = = =
= = = =
2. Bài tập:

trường hợp:
a)
µ
o
A 40=
b)
µ
o
A 140=
HD. Tính đường cao CH. Tính diện tích tam giác.
Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh được rằng: Diện tích tam giác bằng nửa
tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
1 1 1
S a.b.sin C b.c.sin A c.a.sin B
2 2 2
= = =
Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD. Biết AB = 6,
AC = 9 và
µ
o
A 68=
, tính độ dài AD.
Giải.
Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC là lượt là S
1
, S
2
, S. Ta có:
GV : Vâ Trêng Thµnh
50

1 1 1
AB.AD.sin A AD.AC.sin A AB.AC.sin A
2 2 2
+ =
1 2
AB.AD.sin A AD.AC.sin A AB.AC.sin A⇔ + =
o
o o
1 2
AB.AC.sin A 6.9.sin 68
AD 6
AB.sin A AC.sin A 6.sin 34 9sin 34
⇔ = = ≈
+ +
Bài 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16. Tính góc B và
góc C.
KQ:
µ
o
B 53 7≈
Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết:
a) a = 18; b = 8.
b) b = 20;
µ
o
C 38=
.
Bài 6: Tam giác ABC cân tại A,
µ
o

.
b) b = 13; c = 20.
Bài 6: Giải tam giác ABC biết:
AB = 6,8;
µ
o
A 70=
;
µ
o
B 50=
Bài 7: Giải tam giác ABC biết:
AB= 4,7; BC = 7,2;
µ
o
A 66=
GV : Vâ Trêng Thµnh
9
6
2
1
D
C
B
A